d'intégrer. J'obferve d'abord que a* dxlad (a*); donc fa* dx= .q*, & puifque fa* Xdx = X fa* dx-fdXfa* dx, on a arrive à une intégrale fa* dx', qui fera au moins la plus fimple s des intégrales tranfcendantes de fon efpéce, fi elle n'eft pas fufceptible d'une intégration exacte. 881. Remarquons que fi e eft le nombre dont le logarithme =1, on a fe* X dx — e * X — e* X' + e* X11 ex X111 +ex XN on aura X1= e* X▾ +&c. Soit, par exemple, X=x”, nx"-1,X"=n.n-1.xn-2, X111 = n. n — 1 . n — 2. x ~ -: ax Donc fa* x* dx = = = (x* 12.12 I 12 2 • (la)3 la -3, &c. x "-3+ &c), & par conféquent Se* x" dx=e* (x2 - 12x2 - 1+n.n➡I. xn-2 -n.n I. 72-2 - 3+ &c). 882. Pour trouver l'intégrale de ax dx comme les regles précé dentes deviennent inutiles, je réduis en férie, & j'ai x C + 1 x + x la+1⁄2. a* dx dx = x x2 12 a dx (1+xla+ + &c.) +dx lat 2 x x dx 2 2 ex x x tielle d'une quantité tranfcendante qui eft égale à la férie infinie z ll z — fd z l l z, il est clair que fd z ll z = zllz-S dz grale qui dépend encore de la quantité tranfcendantes 41. da, inté 883. Lorsque les regles précédentes ne pourront pas s'appliquer à l'intégration d'une quantité exponentielle, on la réduira en féries par la formule a*=1+x la+ +&c, & il sera facile d'intégrer. 2 + 2 + x+ 14 a 2 • 3 Soit dy=xmxdx; on aura par les féries, dy=dx(1+mxlx m2 m2 x2 12 x m3 x3 13x + + &c ) = d x + m x d x 1 x + 2 x2 d x l2 x + &c, dont l'intégrale fe trouve par celle de x d x 1" x (878), & on a sx* = d x = x ( 1 — Cet exemple fuffit pour faire voir comment on peut intégrer ces fortes de quantités par séries. De l'Intégration des Quantités différentielles où il entre des Sinus, des Cofinus, &c. 884. Puifque d x cof x=d finx, & que dx fin x = d cof x, il est évident que fdx cof x=finx, que fdxfin x =— cof x, que sdy cofny == == Sndy cofn y ==/ fin ny, & que Sdy fin ny———= cos ny. Il eft clair auffi que fd z cofz ( fin x )TM =S(finz )" d fin z = (fin z )n+1, & que ƒ (dź finz) I I n+ I cof" z=- (cof)+1. De même, fi on avoit à intégrer dy fin y cof a y, on feroit fin y cof ay = fin (a+1) y − fin (a-1)y, & l'intégrale deviendroit I cos(a+1) y 2 (a+1) 885. Il en feroit de même pour d x fin x fin ax, pour dx cof x cof ax, &c. On traiteroit avec la même facilité dx finx fin ax cofb x, &c, en réduifant ces produits à des finus ou à des cofinus fimples, par le moyen des valeurs de fin a cofb, fina finb, &c. On pourroit donc intégrer par cette méthode, d x fin' x, dx fin3 x, dx cof x, &c: mais il eft plus fimple de les intégrer de la maniere fuivante. I 2 886. La formule dx fin" x=dx fin x. fin"-1 x. On a donc fdx fin" x = finn-1 x fdx finx-f[d (finn-1x). fdx fin x]= - cof x finn-1 x + (n-1) fdx finn-2x cof2 x=- cofx fin"-ix +(n-1) fdx finn-2x-(n-1) fdx fin" x; & en tranfpofant, Sdx fin" x=- cof x finn-1x+ fdx finn-2 x. On a I n n-I Sdx finn-4x; & par conféquent fd x fin" x=— === cos x fin"-xx 12-1.12 -4 n.n-2 n cof x finn-x 3 n.n-2. n = 4. n. 6 &c. ... 2 cof x; formule qui n'a lieu que dans les cas où n eft impair, & alors l'intégrale ne dépend que des quantités cofx, fin x. Mais lorsqu'il eft pair, au lieu du dernier C 887. Faisons x = 90° - %, nous aurons d x = - dz n-I .fin x = = cos 2 & ƒ dz cofa z = = finz cofn=1 z+ fin z cof n-3 z+...... n-1.n-3.n n.n-2.12 4 - fin z cof n-1 z+.... ༡ 888. Soit maintenant à intégrer dy fin" y cof" y; puisque d( fino y coƒa y ) =p cof2*1 y fin? -1y.dy-q cof9-1y fin2+1y cofn-1 y + "=fdy cofn-2 y fin m+2y. Substituant 1 — cosy m+I à la place de fin1y, & transposant, on a Sdy fina y cof" y= I m+n 12 I finm+1ycosμ-xy+ Sdy fin my cofn-zy: = I m+n. m+n Par exemple, la premiere formule donne...fdy cofs y fin 5 y = fin y (cofy +})=} fin° y (‡—fin' y), & la feconde..... fdy cof3 y fin y = — {} cof 4 y ( fina y +} fin2 y +†). Il faut donc que ces deux résultats foient égaux, ou tout au moins qu'ils ne différent que d'une quantité conftante. Dans le cas préfent, cette quantité est, en réduisant tout en finus, & comparant les deur réfultats. 890. Confidérons maintenant les fractions où il entre des sinus; & dy cofy fin y La |