Pour intégrer la feconde, foit y = 90°-7, & on aura dy =➡dzi dz I + cofy fin y = cofz; donc Scof = tang (45° // }) ==cot I dy Nous fin y avons déja vu (886) que fdy fin" y cofy sinn-1 y + M-2 cof y n cofy fin-my+ + ou 12 m, & nous I m d 2-772 fin y finm-2y m1° fin m-1 m2 m-1.m y m cofy jufqu'au terme + M2.m 4. m2. m ; donc I min m2.m4 cof y m-1.m-3.m-5° finm-s m-2.m- 4... y dy 3.....2 fin y 892. Suppofons y=99-, & la formule précédente donnera fim eft pair. I finy m— 1.m — 3° cosm-3 + m2. m 4 m1.m2-- 3.m cofm-xz fin z 일 jufqu'au terme fin 2, fim est pair, & jusqu'au terme+ cof cof z m-I.m = 6 cof y I tang (45°+y). 893. Il eft donc facile d'intégrer la formule dy cofy: car fi m cft qui eft évidemment intégrable, quel que foit n. Si m eft un nombre dy(1-fin' y), expreffion qui dy finy dy fin m y & la formule ... s'intégreroit par les mêmes principes; enforte qu'il "fin" y cof" y eft aifé d'intégrer les différentielles où il entre des finus & des cofinus, lorfqu'elles font fufceptibles d'intégration. Dè l'Intégration des Différentielles à plufieurs Variables. 895. SOIT Pdx+Qdy une différentielle à deux variables, dans laquelle P &Q font des fonctions quelconques de x & dey. Si T eft fon intégrale, on aura dT Pdx+ Qdy. Donc fi on ne prend la différentielle de T qu'en faifant varier y, on aura dTQdy, & fi on ne prend la différentielle de T qu'en faisant varier x, on aura d T - = Pdx. Marquant donc par d'T la différentielle de T prife en faisant variery seul, & par d* T fa différentielle en ne faisant varier que x, on aura dTQdy, d* T = Pdx. Donc d* (dT)=dy d* Q, d” (d* T)= dx d3 P. Or il est clair que d* d'T=ďď T. Donc ; c'est-à-dire, que fi la diffé dyd*Q=dxd3 P ̧ ou d* Q dx = d' P dy rentielle Pdx+Q dy peut être intégrée, la différentielle de Q prife en faisant varier x feule & divifant par dx, doit être égale à la différentielle de P prife en faisant varier y seul & divisant par d y. 896. Cette condition ayant lieu, il fera facile d'intégrer. Car puifque d*T=Pdx, fi on marque par les intégrales prifes en ne confidérant que x comme variable, on aura T = /* P dx+une constante qui peut être une fonction Y de y comme il est évident. Ainfi T ou (Pdx+Qdy) = fx (Pdx )+Y. On a de même T=S(Pdx + Qdy) =S' (Qdy) + une fonction X de x. Donc (Qdy)+X=S* (Pdx)+Y, ou f' Q ¢y — f * P d * .X. On fera donc dans la quantité qu'on aura pour la valeur de ƒ” (Qdy) — §* (Pdx),x=0, & on aura Y. Si on fait yo, on aura la valeur de X, & par-là l'intégrale de Pdx+ Qdy fera déterminée. =Y z Soit, par exemple, la quantité ( 3 72 + 2 b 2 y — 3 y2 ) d z + ( b z2 — 6 x y + 3y2) dy, qui eft intégrable, parce que d2 (bz2 - 6 % y + 3¢ y3) d3 ( 3 z2 + 2 b z y − 3 Y Y ) = 2 b 2 — 6 y = dy = 362-6 2 dz On aura (Pd) — z3 + by ? ? — 3 y3 { ; S′ ( Qdy ) = b q2 y -37y+cy3. Par conféquent Y-X=cy3 3, faisant zo, on a Y=cy3, & fi on fuppofe y=o, on aura X = 3. Donc l'intégrale de la différentielle proposée eft z 3 + b z3 y − 3 ? y2+ cy3 + C. 897. On pourroit trouver la quantité Y fans avoir besoin de JQdy. Car puifque ƒ ( Pdx+Qdy) = S* Pdx+ Y', il est = clair fi on que différentie (Pdx) en faifant varier y seul, en forte que le réfultat foit P'dy, on doit avoir Qdy P'dy+dY; donc Y=(Q-P') dy. Ainfi dans l'exemple précédent, Sz P dz=z3 + bz2 y −3% y2, dont la différentielle prise en faisant varier y seul donne P'dy(bq-6zy) dy. Donc Y(Q-P') dy = S3 cy2 dy=cy3. - 898. Si on a une différentielle à trois variables Pdx+Qdy + Rdz, en appellant fon intégrale T, on aura d*T=Pdx, d'T= Qdy,d2 T=Rdz. Donc pour que la différentielle proposée soit dy P d* Q complette, ou puisse être intégrée, il faut qu'on ait R d2 P'_d*R_d2 Q_d F = dz dx dz dy dy dx 1 Ces trois conditions ayant lieu, l'in tégrale sera s* P dx + V, V étant une fonction des deux autres variables y & z. 899. Pour la déterminer, on différentiera SP dx, en faisant varier y & z, & on aura une quantité de cette forme, P' dy +P" dz ; il faudra donc qu'on ait dV P'dy+P" dz=Q dy + Rdz, & par conféquent V = S [ ( Q — P' ) dy + (R— P") dz], intégrale où il n'entrera que deux variables, & qu'on aura par la méthode précédente. Il eft clair qu'on pourroit trouver l'intégrale par le moyen de ƒ Q dy, où par SR d z, de la même maniere que par f* Pdx. Soit, par exemple, la quantité (2 x y2+4b q2 x3 ) d x + y v(yy+zz) qui a les trois conditions néceffaires pour être intégrable; on aura ƒ*Pdx=y2 x2 + by2x2, dont la différentielle, prise en faisant varier y &, donne P'zy x2, P" 2 by x4. Donc d V= dz ર્ v (yy+33) ]d z = 4 z3 dz +3y2 dy + y dy + ?d?, dont l'intégrale s'apperçoit tout de + fuite, fans le fecours de la méthode précédente, & on a V=24+3+ ✓ (yy+zz). Donc celle de la différentielle proposée eft qa +y3 + ✓ (yy+z?)+ y2x2+b z2 x++C. Il n'est pas difficile à préfent de trouver les conditions que doivent avoir les différentielles à un plus grand nombre de variables, & d'intégrer lorsque ces conditions ont lieu. 900. Cela pofé, voyons comment on integre les différences fecondes. Soit d'abord la différentielle du fecond ordre P ddx+Qdx2, dans laquelle P & Q font des fonctions quelconques de la variable x. Si on confidere dx comme une variable y, la différentielle propofée fera P dy+Qyd x. Or pour qu'elle fait intégrable, il faut que d* P d'Qy ; mais il n'entre que des x dans Pil n'y a point dx = dy dP Qdy de y dans Q. Donc = =Q, ou dP =Qdx; condition dx dy néceffaire pour qu'une différentielle du fecond ordre Pd d x+Qdx foit intégrable. Si cette condition a lieu, on a (Pddx+Qdx') =f (Pd dx + dxdP) = f Pdy=Py = Pdx. EXEMPLE. La différentielle mxm-1d d x + m.m- B, xm•2 dx2 eft intégrable, parce que d P=m.m-1.xm-2 dx = Q dx ; & l'intégrale eft mxm-1dx, qui étant intégrée de nouveau donne x+C. 901. Si dx a été supposée conftante, la différentielle eft Q d x2 dont l'intégrale (à caufe de P=SQ dx) eft d x SQ dx+la conf tante Cd x. Par exemple, fdx2 (1-xx)= dxf (dx-xxdx) =dx(x- - 1⁄2 ×3 ) + Cdx, & en intégrant de nouveau Cx + C'+ 1⁄2 x x - -—1⁄2 x+. on a 902. Soit une différentielle générale du fecond ordre P ddx+ Qdx; fi on la différentie, on aura P d' x + (dP+2Qdx) d d x +dQdx2. Donc réciproquement une différentielle générale du troifieme ordre Rd3x+Sdxd dx+Tdx3 fera intégrable, ou réS dR ductible à une différentielle du fecond ordre, fi 2 2dx =fTdx; alors l'intégrale fera R d d x + d x2 ST d x. Par exemple, x x d3 x+ 2 x3 dxddx + ( 3 x x − 1 ) d x3, a la condition néceffaire pour être intégrable, & fon intégrale eft x x d d x + dx2 (x3 — 36) a Ja |