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Du refte il feroit aifé de suppléer à ce défaut en calculant les FIG trapezes élémentaires compris entre deux fpires voifines. Le même 208. inconvénient auroit lieu pour la formule ordinaire Sy dx, fi plufieurs ordonnées répondoient à la même abscisse.

Ex. IV. Dans la fpirale hyperbolique, a: dx:: y: Mr

dx

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_dx; donc COMC=/2yd*, Or x y = ab, donċ

α

a

• y y d x = b d y, & l'espace compris entre la courbe & deux

a

ordonnées

by + C.

De la Rectification des Courbes.

910. S1 on imagine le point m infiniment proche de M, M m 209 fera la différentielle de l'arc A M, & on aura dA MV (dx2+dy). Par conféquent A M = √ √ ( d x2 + dy2)+C; formule qui a lieu foit que les ordonnées foient paralleles, foit qu'elles partent d'un point fixe.

911. Ex. I. Dans le cercle y=V (a a − x x ) ... ... ... dy2 = 1991

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Ex. II. Dans la parabole, A M=Sdy v (1+ 4yy

PP

)=...

ƒ2dy √ (iPP +yy). Or nous avons trouvé ( 870 ) Sdx √xx+aa

P

=С + 1⁄2 x √(xx + aa)+{aal ( x + √xx+aa), Donc A M

= C + 2 √ (y y + ‡ P P } + {p2 [y+√(yJ±§ pp)]; faisons

1984

FIG.

210,

y

y=o, nous aurons C=-pl÷p. Donc AM = ± √ (yy+ipp )

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P

912. On peut remarquer que fi du centre A & du demi-grand axe BA = p, on décrit une hyperbole équilatere В N', l'espace ABN'Q fera fdy v (yy+\PP). Donc A Mxp=AB N'Q; d'où il fuit que la rectification de la parabole dépend de la quadrature de l'hyperbole, & réciproquement.

Ex. III. Dans l'ellipse, si on suppose le demi-grand axe=1, on aura y = √(1-xx), & en faifant V (1-bb) ou la demidx √ (1 — ccxx), indistance des foyers =c, on a B M = √

V(1-xx)

tégrale qu'on ne peut avoir par les regles précédentes. Il faut donc réduire en séries; mais pour simplifier, nous ne réduirons que V ( 1 − c c x x ); alors nous aurons .

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dx

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Donc B M = (1 —

√(1-xx) 32.52.7c8

dx

22. 42. 62.82

2

3.5 ch

22 4

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2

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&c.) f- + c2 x ( 1 − xx) 3 [ 2

√(1-xx)

I

+ &c. ] +c+ x3 (1−x x) 2 [——

3.5.764

2.

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toutes les quantités qui entrent dans cette fuite dont il eft facile de FIG. reconnoître la loi.

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la périphérie de l'ellipfe eft à celle du cercle circonscrit : : 1 —

I.12 364 1.12.32 $co

Ι

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22.42.62

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&c. : I. (en

fuppofant a le demi-grand axe). Cette fuite fera très-convergente, lorfque les foyers feront peu éloignés. Par exemple, fi c = a, la circonférence de l'ellipfe fera à celle du cercle circonscrit. . . .

:: 0,997 495 292 861 261: I.

913. La rectification de l'hyperbole se trouve en suivant à peu-près la même méthode, & on peut voir dans les Mémoires de Berlin, an. 1746, & fuiv. la maniere de ramener à la rectification de ces deux courbes, les intégrales d'un grand nombre d'autres différentielles.

Ex. IV. L'équation à la feconde parabole cubique eft y3 = a x2. Donc ƒ √ ( dx2 + dy3 ) = Sdy √ ( 1 + 2 2 ) = 3, a (1 + 2%)

4 a

44

+C, faisant yo, on a C-a, & un arc quelconque de cette courbe compté depuis l'origine = a[(1+2 -)2 - I].

y

4 a

Ex. V. Dans la cycloïde, dy = d x √(*). Donc 2114

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-: intégrant, on a A M = 2 √ a x =

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Ex. VI. Dans la logarithmique y d x =ady, V (dx2+dy2 ) =dy √(yy+aa), soit √(yy+aa)=z, on aura yy={{

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FIG. al[a+v (aa+yy)] + C, expreffion d'un arc quelconque de

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logarithmique dans laquelle C eft facile à déterminer.

206. Ex. VII. Dans la spirale d'Archimede, fi on fait A GF BN

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y dx

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a

y2 d x2

a2

a

). Or x = cy. Donc COM

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dy(yy+. Décrivons une parabole CN dont le para

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l'ordonnée QN, CN'=S_—_ dyv (+yy). Donc CN'= COM. D'où l'on peut conclure qu'il regne une certaine analogie entre la fpirale d'Archimede & la parabole.

Ex. VIII. Dans la fpirale hyperbolique, l'arc COM sdy v (bb +yy). Donc fi on décrit une logarithmique N K dont

y

la foutangente =b= celle de la spirale, on aura M OC=
l'arc infini NK, en prenant l'ordonnée N R = C Q = CM.
Mais fi on veut avoir l'expreffion d'un arc de fpirale ou de loga-
rithmique compris entre les deux ordonnées y, y', on
No ( b b + yy ) — √ ( b b + y'y' ) + b 2 y ( b + √ bb + yy •)
y' (b + √bb+yy)

trouvera

Ex. IX. Dans la fpirale logarithmique, cof M m r( c ) : mr(dy) dy. Donc AD M= У

:: 1: Mm

MT.

De la Mefure des Solidités.

914. UN folide étant propofé à mesurer, on l'imaginera décom pofé en une infinité de petites tranches paralleles entre elles. Nommant donc t la furface d'une de ces tranches, dx fon épaiffeur ou une portion infiniment petite d'une ligne perpendiculaire à cette tranche, f(tdx)+C fera la folidité du folide propofé; il ne s'agira plus que d'avoir t en x.

L

915. Par exemple, foit B la base du folide, H fa hauteur ou la FIG distance de cette base à fon fommet ; fi on fuppofe que les furfaces de ces tranches foient proportionnelles à une puiffance m de leur dif tance x au fommet, on aura H": B

Bx m

:: xm

Hm

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Donc

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fi cette portion commence au fommet. Donc

BH

m+ I

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BH, parce que m = 2.

Ainfi dans les pyramides cette folidité

916. Si une courbe quelconque A M tourne autour de fon axe 213 AP, elle engendrera un folide de révolution dont chaque coupe perpendiculaire à l'axe fera un cercle qui aura pour expression πyy, en faifant P M=y, &=3. 141 &c. Donc un folide quelconque de révolution = C+ Sxyy dx..

Ex. I. Dans la sphere, y y = 2 ax-xx. Donc la folidité d'un fegment fphérique ( 535), =x x x ( a − } x ), & la sphere . 2 a3 les deux tiers du cylindre circonfcrit.

Ex. II. Dans l'ellipfe, yy=

b b

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folide engendré par fa révolution autour du grand axe eft à la sphere circonfcrite :: bb : aa, ou = les deux tiers du cylindre qui lui est circonfcrit.

917. On nomme Ellipfoïde allongé celui que nous venons de confidérer, & Ellipfoïde applati celui qui eft formé par la révolu tion de l'ellipfe autour de fon petit axe. Or il est aisé de trouver que ce dernier folide eft auffi les deux tiers du cylindre qui lui eft circonfcrit. Donc l'ellipfoïde allongé eft à l'ellipfoïde applati:: abb: aab:: b: a. Ex. III. Si une parabole d'un ordre quelconque dont l'équation eft y=x" a m-n tourne autour de fon axe, elle engendrera un folide qui aura pour expreffion fxy' d x =

m

π x y2, ou

m + 2 n

qui fera au cylindre circonfcrit::m: m+27; ainfi le paraboloïde

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