FIG. ordinaire dans lequel m=2, n=1, est la moitié du cylindre 212. 213. 214. circor.fcrit. CD=AD=4, Ex. IV. De même, fi l'hyperbole dont l'équation est y m 2n-m π ( a3 — x y2 ), & par conféquent le folide décrit par a l'espace infiniment long O ADX ordinaire. eft au cylindre décrit par ce cylindre dans l'hyperbole Des Surfaces courbes des Solides de révolution. A E 918. La différentielle de la surface décrite par la courbe AM= le petit cône tronqué décrit par l'élément M m. Donc cette furface courbe = SMm circ P M = 2 π Sy √ (dx2 + dy2 ) + C = ette 2 x n d x + C, en appellant n la normale M N. Ex. I. Dans la sphere, n = a. Donc la furface d'une calotte Ex. II. La surface du paraboloïde, eft, à cause de n=√(yy+&pp), 2π P y=0, on aura C =— T — [(PP + 4 y y ) 13 — p3 ]. 6 p Ex. III. Dans l'ellipfe, y = b √(aa-xx). Donc la surface a décrite la révolution de l'arc A M autour de l'axe a, fera expripar S-dxV[aa-(aa-bb) ], & comme a eft a a l'axe de révolution, il défignera le demi-grand axe dans l'ellipfoïde allongé, & la moitié du petit dans l'ellipfoïde applati. 2bx m Dans le premier cas, foit a a b b — mm, on aura a a cercle DBN, on aura pour l'expreffion de la furface décrite par la révolution de A M autour de AP, 267 m a a × ABNP a4 a a b ་ m2 2 m 1- [x+ √( a+ a a m2 aa m a a 214. b π m x x2)]= la furface décrite par la révolution de A M autour de C E. On doit remarquer qu'ici C Ea, CA=b, CQ=x, QM=y. b Ex. IV. Dans l'hyperbole, y= √ (xx-aa). Donc fi a cette courbe tourne autour de l'axe AP, la furface décrite par l'arc AM fera, en faisant a a + b b = mm & déterminant la conftante, axe CQ, alors y =MQ− − √ ( b b +× ×). Donc la surface De la Méthode inverfe des Tangentes, & des Equations différentielles. 919. On appelle Méthode inverfe des Tangente's, celle qui apprend à trouver l'équation d'une courbe, dans laquelle on connoît úne propriété quelconque des tangentes. 920. Cherchons, par exemple, la courbe dans laquelle la founormale eft conftante, oùa. Puifque nous favons d'ailleurs que a, y dyadx, & en intégrant, pour exprimer que la pro priété donnée convient à tous les points de la courbe, on a yy= 2 a (x+c) équation à la parabole qui réfout le problême propost. 921. La méthode inverfe des tangentes fe réduit toujours à la folution d'une équation différentielle; ainfi comme nous n'avons pas encore parlé de ces fortes d'équations, il eft à propos d'en dire quelque chose, avant d'aller plus loin. On appelle équations différentielles du premier ordre, celles où il n'entre que des différences premieres. Les équations différentielles du fecond ordre font celles où il entre des différences fecondes, fans différentielles d'un ordre plus élevé; & ainfi de fuite. 922. Soient donc en général P & Q deux fonctions quelconques des variables x &y, P d x + Qdyo repréfentera généralement toute équation différentielle du premier ordre à deux variables x &y, & il eft évident qu'elle fera intégrable, 1°. lorfque P fera une fonction de x ou de y seule, & qu'il en fera de même de Q. 2°. Lorsqu'on dy P dxQ aura = dy dx 923. Mais lorsque ces conditions n'ont pas lieu, on tâche de séparer l'équation, c'est-à-dire, de la partager en deux membres qui ne renferment l'un & l'autre qu'une feule variable avec fa différentielle, Il s'en faut bien qu'on ait des méthodes générales pour faire cette féparation dans tous les cas. En voici cependant quelques-uns où elle réuffit. Y'dy 924. Si PXY, &Q=X'Y', X & X' étant des fonctions Xdx X' Y de x Y & Y' des fonctions de y, on aura équation féparée, & reduite à l'intégration des différentielles à unc feule variable. 925. Si P & Q font des fonctions homogenes de x & de y, c'eftà-dire s'il y a dans tous leurs termes le même nombre de dimensions de x & de y, alors, en faisant =z, on voit aisément que fera une fonction Z de z. Ainfi, on aura dx+Z dyo, ou z dy+ y d z + Zdy—o, & en féparant on trouvera dz 2+3 Par exemple (ax + by) dx — (mx +ny) dy devient en faisant (az + b) dz ; équation facile 926. Soit maintenant l'équation (ax+by+ c) d x + (mx+ ny+p)dy—o, on fera ax+by+c=u xy+p={, & on aura x — mx+ nu- b z + b p an mb (`az —bu) dz—o dont l'intégrale est facile à trouver par ce qui jaz précede. Soit encore a x dy+ by dx + xy" (fx dy+gy dx) g d x a b + ). Si on fait y x x bdx + bn-am gqm, on aura p= de P-40, ou ng-mf ag-bf -9 C, ou (bn-am) a b -P (y" x ) ag-bf+(ng—mf) (y' x x ) =(ag-bf)C=C'. 927. Soit à préfent dy+Pydx=aQdx, P & Q étant des fonctions de x on fera, felon la méthode de Bernoulli y=Xz, X étant une autre fonction de x, alors X dzzdX + PXqdx=aQdx. Suppofons zdX+PXzdx=o, nous aurons === Pdx, 1X — sP d». X=e lX dx Par exemple, l'équation dy+ydrax" dx donne y=4c-* FIG. (C+Se* xdx)=aCe ̄*+a(x2 -mxm-1+m. m − 1 . xTM-2- ¿c). 928. On intégrera par la même méthode l'équation Xy”dy + X'ym1dx=X"y" dx, en divifant par Xy" & faifant yn+1=? Il y a peu d'autres cas où la féparation générale d'une équation foit poffible. Voyons maintenant quelques applications de ces principes à la méthode inverse des tangentes. PROB. I. Trouver la courbe dont la foutangente m y d x PROB. II. Quelle eft la courbe dont la foutangente aa + xx on aura d'abord y dx dy dy xd x puis yy= y aa+xx 216. (aa+xx), équation à l'hyperbole. PROB. III. Quelle eft la courbe dans laquelle l'espace APM= བ།。 PROB. IV. Trouver la courbe B M dont l'efpace ABMP l'arc 217. B M multiplié par une conftante a, ou telle quefy dx=af√(dx2+dy2). PROB. V. Trouver la courbe A M dans laquelle le rayon ofcula — y ddy+dx2 + dy2 = o. Pour intégrer, soit dx=pdy, -ddy |