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Si n =m, on a dx=±ydy (cc-yy ), & x=c'± CC- yy) équation au cercle. Si m2n, on a dx ±dy vy

v (c-y)

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équation à la cycloïde.

PROB. VI. Trouver une courbe B M, telle qu'en menant par l'ori- 219. gine A une droite AO, qui faffe avec l'axe un angle de 45°, on ait toujours cette proportion....l'ordonnée PM eft à la foutangente PT: :: une ligne donnée a: OM.

On voit par l'énoncé de ce problême, que dy:dx::a:
:y

& adx=(y-x) dy. Soit y-x=z, on aura

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dy

dz

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a

a-z a

On auroit pu trouver im

dy=

médiatement cette intégrale, en comparant l'équation dx+* dy

a

ydy, avec celle des numéros 926 & 917. La plus petite ordonnée

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PROB. VII. Trouver la courbe BM qui faffe par tout avec l'or- 270. donnée PM un angle EMP proportionel à l'abfciffe A P.

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On aura donc EMP ——, m étant conftant, & tang EMP

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fin

m

[8

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Done y = C+m log fin

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5 équation qui fait

voir que la courbe rencontre la ligne des abscisses en des points

x

E, F, E', F', &c, tels que log fin

m

C

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275

conféquent xm multiplié par tous les arcs dont le finus = e or le nombre de ces arcs eft infini; car fi le premier est a, & fi l'arc de 180° eft C ceux qui auront le même finus, formeront la fuite —a, 2 c + a, 3 c — a, 4 c + a, 5 c — a, &c : ainfi les distances où la courbe rencontrera la ligne des abfciffes, feront représentées par ma, m (c-a), m (zc + a), m (3 c — a), &c.

a,

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On prendra donc A Em a AF me ma A E' 2 mc+ma, A F': 3 mc-ma, &c; & on aura les valeurs pofitives de x. On trouveroit de même fes valeurs négatives, c'est-àdire, les abfciffes comptées vers la gauche de AS, & on verroit que les intervalles EF, E'F', &c. font égaux.

Cherchons maintenant en quel point l'ordonnée de cette courbe eft

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Et puisque sin — est égal à x dans ce cas, on a y = C; done

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aux points les plus élevés C, C', &c. les ordonnées font égales entre elles & à la conftante.

Pour trouver les afymptotes, on fuppofèra y∞ ce qui donnera

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m

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+, ou + 2c, ou ± 3, &c. Alors x aura une des

valeurs fuivantes, 0, + cm, +2 cm, 3 am, à l'infini. La courbe doit donc avoir une infinité d'afymptotes perpendiculaires à l'axe. La premiere paffe par l'origine des abfciffes, c'eft AS, la feconde

paffe à la diftance A D cm, la troisieme, à une distance A D' FIG =2AD=2cm, &c. Il en eft de même dans le fens négatif.

PROB. VIII. Entre toutes les courbes ifopérimetres qui paffent par les points B & D, trouver celle qui rend l'aire ABDE un 221. Maximum, en fuppofant la ligne AE donnée de pofition.

Nn= =t,

Si on confidere les trois éléments confécutifs MN, NS, SV, il faudra qu'entre tous les ifopérimetres qui paffent par les points M & V, MN SV foit propre à rendre l'aire MP TV M Maxımum. Suppofons donc les dy conftantes, & nommons PM a, NQ ≈ SR= = c, Nr Sn = V s=m, M ru, Ss=z, on aura 1o, à cause des points M & V dont la distance eft constante du + dt +dz=0. 2°, à cause de l'arc MNSV dont la longueur est constante auffi, √ (u2 + m2 ) + √ (c2+m2) + u du ▼(z2+m2)= à une conftante; & par conséquent

+

b,

tdt

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zdz
√ ( {2 + m2 )

√ ( u2 + m2 )

0.3°, l'efpace MPT V

√ ( t2 + m2 ) étant un Maximum, on a adu+ b d t + c dz = 0. Éliminant dz & dt au moyen de ces trois équations, & ayant égard à ce que

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Exprimant cette équation à la maniere accoutumée, c'est-à-dire faifant Mr dx, MN = √ (dx2 + dy2), on a

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√ ( d x2 + dy2) dx2 + dy2

dx2

=

C'

(y + C')2

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x=C"±√[C2 — (y + C')2 ] ;

équation au cercle. Donc le cercle eft la courbe qui, fous le même périmetre, renferme le plus de furface.

929. Pour déterminer les conftantes C", C', C, ou pour décrire le cercle cherché, on aura ces trois conditions. 1°, lorfque x=0 y=AB. 2o, lofque x=AE, y =D E. 3°, on cherchera par l'équation précédente la longueur de l'arc B MD, & comme cette longueur eft fuppofée connue, on aura la troifieme condition`néceffaire pour déterminer les conftantes C", C', C.

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Ibid. D....Soixante-fept mille cinq cents-neuf.

Ibid. E. Dix millions deux cents mille fept cents-un,

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Ibid. F...

Ibid. G......

Ibid. H..

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Ibid. X..

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