trop-tôt l'habitude de bien féparer les colonnes, & de donner aux chiffres une forme bien diftincte. Cette double précaution fait éviter beaucoup de fautes. Il faut prendre garde auffi à une autre caufe d'erreur; on oublie quelquefois d'ajouter à la colonne fuivante ce que l'on a retenu fur celle qui précede. De la Soustraction. 17. LA Souftraction fert à trouver la différence de deux 17. quantités données. Or cette différence eft toujours égale à ce qui refte de l'une de ces quantités, quand on en a retranché l'autre. On la trouve fans calcul dans les nombres fimples. Il eft clair, par exemple, que fi on ôte 2 de 5, il refte 3, & qu'ainfi 3 eft la différence qu'il y a entre 2 & 5. Cette opération s'exprime ainfi en abrégé, 5-2=3; (ce figne fignifie moins); de même 9-4-5,& 8—7=1. 18. Regle pour la foustraction des nombres compofés. Pour fouftraire un nombre d'un autre, mettez le plus petit au-deffous du plus grand, comme dans l'Addition, & tirez un trait au-deffous; puis écrivez fucceffivement fous chaque colonne les excès des unités, dixaines, centaines, &c. du nombre fupérieur, fur les unités, dixaines, centaines, &c. du nombre inférieur, & vous aurez l'excès total ou la différence entre ces deux nombres. ... 243 du 695 243 452 Ainfi fouftraire le nombre pour nombre 695, je les écris d'abord comme vous le voyez. je dis enfuite, 5—3=2 que je pose fous la colonne des unités : 9-4-5, que j'écris fous la colonne des dixaines: 6-2 =4 que je pofe au rang des centaines. La différence cherchée eft donc 452. Il eft clair en effet qu'en prenant fucceffivement toutes les différences partielles, on doit avoir pour résultat la dif férence totale: & c'eft-là tout le fondement de cette regle. 19. Lorfque le chiffre inférieur eft plus grand que le chiffre qui lui correfpond dans le nombre fupérieur, il faut ajouter à ce chiffre correfpondant une dixaine prife fur le chiffre qui le fuit à gauche; puis écrire l'excès du chiffre fupérieur, ainsi augmenté, fur l'inférieur ; & fe fouvenir que par-là on a diminué d'une unité le chiffre fupérieur fuivant. Pour ôter 38 de 64, par exemple, je dis... 4-8, cela ne fe peut. Je détache une unité du 6, que je tranfporte fur la colonne des unités fimples, où elle vaut dix & ajoutant ces dix unités aux quatre autres, je dis...... 14-8-6, que je pofe au rang des unités : puis 5-3. 2. La différence eft donc 26. Par une opération femblable on trouveroit que NEWTON, a vécu 84 ans. Né en 1643, il eft mort en 1727. 20. Si le chiffre qui fuit à gauche étoit un zéro, ou s'il étoit fuivi lui-même d'autres zéros, on iroit de proche en proche, jufqu'à ce qu'on eût trouvé un chiffre dont on pût détacher une unité. Par la décompofition de cette unité, tous les zéros précédents deviendroient des 9, & il refteroit une dixaine pour l'ajouter au chiffre plus petit que le chiffre inférieur. 200 18 Si l'on vouloit, par ex. fouftraire 18 de 200, on diroit.... 0-8, cela ne fe peut. Alors il faudroit détacher une unité du 2, que l'on décompoferoit en dix dixaines; & de ces dix dixaines, on en laifferoit 9 à la place du fecond zéro. La dixieme, tranfportée fur le premier, rendroit poffible la fouftraction de 8, & on diroit 10 8=2.... 9- 1= 8. I O I; refteroit donc 182. 182 Un homme qui devoit 3000, en a payé 1296, que lai refte-t-il à payer ?... 3000 1296 1704 21. Lorfque le chiffre fupérieur n'eft pas affez grand, on peut lans avoir recours à ceux qui le fuivent, lui ajouter une dizaine: mais alors, pour compenfer ce que l'on a ajouté au nombre fupérieur, il faut fuppofer que le chiffre suivant du nombre inférieur est augmenté d'une unité. Ôn voit bien que cela revient au même. Voici quelques autres exemples. 22. Quand une Soustraction est bien faite, il faut néceffairement que le reste ajouté au nombre fouftrait, foit égal au nombre dont on avoit à le fouftraire. Car un Tout quelconque doit être égal à fes parties prifes enfemble: & c'eft de là que l'on a déduit un moyen prompt & facile de vérifier les fouftractions. Ajoutez donc le reste au plus petit nombre, & voyez fi leur fomme eft égale au plus grand des deux nombres. 23. ON fe fert de la Multiplication pour trouver fans beaucoup de calcul, la fomme d'un nombre que l'on veut ajouter plufieurs fois à lui-même. Pour trouver, par exemple, la fomme de 12 ajouté neuf fois, il faudroit écrire neuf fois 12, & en chercher la fomme, ce qui feroit affez long; par la Multiplication on trouve tout de fuite que fois 12 font 108. 9 Dans cet Exemple, on appelle 12 le Multiplicande, 9 le Multiplicateur, & 108 le Produit. En général le multiplicande & le multiplicateur s'appellent les racines ou les facteurs du produit. 24. Le produit eft donc la fomme du multiplicande pris autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur: ou ce qui eft la même chofe, le produit contient autant de fois le multiplicande, que le multiplicateur contient l'unité. 25. Si au lieu d'écrire neuf fois 12 en colonne, pour en prendre la fomme, on écrivoit douze fois 9, il est clair qu'on trouveroit la même fomme 108; d'où il fuit que lorfqu'on a deux nombres à multiplier, on peut indifféremment prendre celui qu'on voudra pour multiplicande; l'autre fera le multiplicateur; le produit fera le même. 26. On n'a pas befoin de regles pour la Multiplication des nombres fimples; on voit facilement que le produit de 2 multiplié par 3, eft 6; ce qui s'exprime ainfi ; 2 x 3, ou 2.36. (le figne x, ou le point mis entre deux nombres, fignifie multiplié par); de même 3 ×4=12, 7.5=35, &c. Il faut fe rendre très-familiers les produits des nombres fimples, fi l'on veut pratiquer sûrement & promptement la Multiplication. Voici les moins aifés de ces produits...... 3×3 9 4×3=12 5×3=15 6x3=18 3x4 12 4×4=16 5×4=20 6x4=24 3×5=15 4×5=20 5×5=25 6x5=30 3x6=18 4×6=24 5×6=30 6x6=36 3×7=21 4x7=28 5×7=35 6x7=42 3x8=24 4x8=32 5×8=40 6x8=48 3×9=27 4×9=36 5×9=45 6×9=54 7×3=21 8×324 9×3=27 = 72 27. Lorfqu'on a deux nombres compofés, comme 32 & 24, à multiplier l'un par l'autre, il faut 1°. pofer celui que l'on aura choifi pour multiplicateur (c'eft ordinairement le plus petit) au-deffous du multiplicande, comme dans l'Addition; ainfi je pofe 24 fous 32. 2°. Il faut écrire au-deffous, en allant de droite à gauche, le produit de chaque chiffre du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur. Ainfi j'écris d'abord le produit de chaque chiffre du multiplicande, par les unités du multiplicateur, en difant.... 2 × 48, je pofe 8... 3×4=12, je pose 12. 32 24 128 64 768 Après cela, j'écris auffi de droite à gauche, en commençant par la colonne des dixaines, le produit des chiffres du multiplicande par les dixaines du multiplicateur, & je dis, 2x2=4, je pofe 4 au rang des dixaines....3 x 2=6, je pose 6.....3°. Il faut prendre la fomme de ces deux produits; ce qui donnera 768 pour produit total. 28. Pour concevoir cette opération, on peut, en la faifant, raisonner ainfi. Le produit de 32 par 24 eft évidemment égal aux dixaines & aux unités de 32, prifes autant de fois qu'il y a d'unités dans 24, c'est-à-dire, prifes 4 fois, & 2 dixaines de fois. Il faut donc dire d'abord, les unités du multiplicande prifes 4 fois produifent 8 unités que j'écris. Enfuite les 3 dixaines du multiplicande prifes 4 fois, produifent 12 dixaines; j'écris 12 fur la gauche de 8. Ainfi les 3 dixaines & les 2 unités de 32 prifes 4 fois, produifent 128 unités. Paffant maintenant aux 2 dixaines du multiplicateur, je dis; les 2 unités du multiplicande prifes 2 dixaines de fois, produifent 4 dixaines. J'écris 4 dans la feconde colonne à gauche, ou, ce qui revient au même, j'écris dans la colonne du multiplicateur actuel, parce que 4 exprime des dixaines, & qu'ainfi il doit être dans la colonne des dixaines. Enfin je dis, les trois dixaines du multiplicande prises 2 dixaines de fois, produifent 6 dixaines de 4 |