2o. Pour diviser un entier x par une fraction, 9 on écrira xy. 3°. Le quotient d'une fraction divifée par une autre frac tion, fe trouve comme celui des fractions numériques. 134. Il a été dit (129) que pour réduire certaines expreffions algébriques à leurs moindres termes, il falloit fe fervir de leur plus grand divifeur. Voici la maniere de le trouver. Elle ne differe de celle qui a été prefcrite pour les nombres, que dans quelques cas particuliers. Après avoir ordonné les deux quantités, il faut divifer la plus grande par la plus petite. Si la division fe fait fans refte, la plus petite eft le divifeur cherché auquel cas il faut effectuer les deux divifions, & fubftituer les deux quotients aux quantités propofées. En divifant aa xx par ax, la divifion fe fait exactement. Donc ax eft le plus grand commun divifeur. Effectuant donc la divifion, ou trouvera 1°, que Si la plus grande quantité ne pouvoit fe divifer fans. refte par la plus petite, on diviferoit à fon tour celle-ci par le refte de la premiere; & ce refte feroit le plus grand commun divifeur, s'il divifoit exactement la plus petite, &c. Jusque-là c'est la même méthode pour les lettres & pour les nombres: mais cette méthode ne s'étend pas à tous les cas algébriques qui font fufceptibles de réduction, comme nous allons le voir, après les deux remarques fuivantes. 135. 1°. Il n'eft pas rare de trouver dans l'une des deux quantités propofées, un divifeur commun à tous fes termes. Quand on en trouve, & que ce divifeur n'eft pas commun à tous les termes de l'autre quantité, on peut l'effacer dans la premiere quantité avant que de commencer la divifion. Le calcul n'en fera que plus fimple, & le plus grand commun divifeur n'en fera point altéré. Par exemple, dans - je vois que x' eft commun aux deux termes du divifeur, & qu'il ne l'eft pas à ceux du dividende. Il ne peut donc pas faire partie du plus grand commun divifeur que je cherche. Je l'efface donc, & par-là j'ai z4 - ༢4 x2 - 22 fans refte. D'où je conclus que *2 ¿2 est le diviseur cherché. Effectuant donc tes deux divifions, je trouve ; expreffion plus fimple que la premiere. 23 b+x plus grand divifeur que ; & réciproquement. Soit donc que fon divife, foit que l'on multiplie l'une des deux quantités données par une grandeur qui n'ait aucun diviseur commun avec l'autre, les résultats auront toujours le même plus grand commun diviseur que les deux quantités données. fi 136. 2°. Le changement des fignes dans une de ces quantités, n'en produit aucun dans leur divifeur commun, pourvu qu'on les change tous à la fois dans cette quantité. Il eft clair, par exemple, que a2 = b2 eft divifible pat a-b, il le fera encore par a+b. Toute la différence fera dans les fignes des quotients. Cela pofé, cherchons le plus grand divifeur commun de 6x3 - 6x2у+ 2xy2 — 2y3 On voit d'abord que tous les termes du dividende peuvent être divifés exactement par 2, mais non ceux du divifeur. On peut donc fimplifier l'opération en divifant les premiers 12x2 par 2. 15.xy - 3y2 Par la même raifon, on peut divifer par 3 les termes du diviseur. Ainfi tout le réduit à trouver le plus grand divifeur commun de 3x33x2y+xy2-y3 4x2 sxy+ y2 Mais ici la méthode eft en défaut, parce que le coefficient ; n'est pas divifible par 4. Pour y fuppléer, on multipliera tout le dividende par 4, & l'on divifera 12x3 12x2y + 4xy2 - 4y' par 4x2.. sxy+y2. Le quotient fera 3x, que l'on négligera à l'ordinaire : le refte fera 3x'y + xy2 4y3. Suivant la méthode, il faudroit divifer 4x2- 5xy+y3 par ce refte. Mais avant de procéder à cette divifion, on effacera d'abord dans tous les termes de ce refte la lettre y, qui leur eft commune, & qui ne l'eft pas à tous ceux du nouveau dividende. On aura donc 3x2+xy — 4y2. pour divifeur. On remarquera enfuite que cette quantité ne peut pas diviler exactement 4x2-5xy + y2, à caufe des coefficients. On multipliera donc celle-ci par 3, & on effayera la divifion. Le quotient fera 4, & le refte fera 19xy + 1972. Ce fecond refte fervira de divifeur à 3x2+xy4y2: mais auparavant on effacera dans les deux termes la quantité 19 y qui leur eft commune. Procédant alors à une troisieme divifion, on aura 3x2+ xy-4y2 pour dividende, x+y pour diviseur, & 3x 4y pour quotient exact. On peut donc affurer que-x+y eft le plus grand commun divifeur cherché; & fi on effectue les divifions, on 6x3 − 6x2y + 2xy2 - 2y3 se réduit à -611-2y 62827 12x2 - 15xy+3y2 trouvera que -12x+3y = Soit propofé maintenant de trouver le plus grand diviseur commun de 3bcq +30mp+18bc+ smpq 24ad-7fg9-42fg+4adq 1o. J'ordonne ainfi la quantité, ( 3bc + smp ) 9+18bc +30mp 2o. Pour rendre la divifion poffible, il faudroit multiplier tout le dividende par (4ad7fg): mais auparavant il faut être sûr que cette quantité ne divife pas exactement le divifeur lui-même. Or par le fait elle le divife, & le quotient exact eft q+6. Je fubftitue donc q+6 au premier divifeur, & je cherche le plus ( 3bc + smp ) 918bc+ 30mp : il est visible grand commun diviseur de 9+6 que c'eft q+6 lui-même, puisque la divifion réuffit. Ainfi l'expreffion propofée peut fe réduire à 3bc-smp 4ad7fg On trouvera d'autres exemples dans les Éléments d'Algèbre de M. Clairant. De la Formation des Puiffances. 137. On diftingue les degrés des puiffances d'une ON quản tité quelconque par les expofants de cette quantité. Ainfi a, ou a' eft la premiere puiffance de a. La feconde eft a, la troisieme eft a &c. En général am eft la puissance m de a, quelle que foit la valeur de m.. Cette quantité a eft la Racine de ces divers produits; & la dénomination de cette racine dépend de la puiffance correfpondante. On verra dans les Éléments de Géométrie, pourquoi la premiere puiffance d'une quantité s'appelle auffi la Puif Jance linéaire de cette quantité; & pourquoi la feconde puiffance s'appelle le Quarré; de maniere qu'au lieu de dire que ceft la feconde puiffance de 6, on dit que c2 eft le quarré de c. C'est encore de la Géométrie que dérive le nom de Cube, donné à la troifieme puiffance d'une quantité quelconque: les puiffances qui font audeffus, fe défignent fimplement par leurs expofants. Ainfi b eft la quatrieme puiffance de b, &c. 138. Réciproquement la racine feconde, ou la racine quarrée de c eft c. La racine troifieme, ou la racine cubique de a3 eft a. La racine quatrieme de x eft x, &ć, &c. Puifque la premiere puiffance de a eft a ou a1; que la feconde puiffance eft a ou a. a; que la troifieme puiffance est a3 ou a.a.a; que la quatrieme eft at ou a. a. a. a, &c; on peut en conclure que . . . 139. Pour élever une quantité à une puiffance donnée, il faut multiplier cette quantité par elle-même autant de fois moins une, que l'expofant de la puiffance contient d'unités. Ainfi pour élever le nombre 9 à la troisieme puiffance, il faut le multiplier deux fois par lui-même, en difant d'abord 9.981 puis 81.9=729: De même, le quarré de eft: fon cube eft fa quatrieme puillance eft... 3 I = 2 3 3 3 &c. Le quarré de eft; fon cube eft; fa quatrieme puiffance eft, &c. D'où l'on voit que la valeur d'une fraction diminue, à mesure qu'on l'éleve à de plus hautes puiffances, & que cette diminution eft d'autant plus rapide, que le dénominateur eft plus grand par rapport au numérateur. 140. Quant aux expreffions algébriques. 1°. S'il s'agit d'un monome, on met à toutes les lettres l'expofant de la monome a un coefficient, on éleve auffi ce coefficient II. S'il y a dans le monome d'autres expofants que l'unité, on les multiplie tous par celui de la puiffance à laquelle on veut l'élever. Ainfi la quatrieme puiffance de a3 b2 eft a12 b3 ; & en général la puiffance m de est III°. Pour un polynome, il fuffit quelquefois d'indiquer la puiffance à laquelle on veut l'élever. Cela fe fait, ou en le couvrant d'un trait au bout duquel on écrit l'expofant, ou en le renfermant entre deux crochets, Ainfi a+b & (a+b)" défignent également la puiffance m du binome a + b. m 141. Si m=2, alors le binome a+b, qui par fa généralité, peut repréfenter tous les binomes poffibles, doit être multiplié une fois par lui-même, & on trouve a+b ab a2+ab +ab+b2 donne... a2+2ab+b2 par le Or a eft le quarré du premier terme du binome; 2ab eft le double produit de ce premier terme fecond; b2 eft le quarré du fecond. Ainfi on doit conclure généralement que le quarré d'un binome quelconque contient trois termes, favoir; 1°, le quarré du premier terme. 2°, le double du premier terme multiplié par le fecond. 2°, le quarré du second, E 1 |