Cette regle ne fouffre aucune exception; & voilà comme l'Algebre s'éleve à des réfultats généraux, pendant que l'Arithmétique n'y parvient que par analogie, en fe traînant d'exemple en exemple. Quant aux fignes, ils font tous pofitifs, lorfque les deux termes du binome ont le même figne; & lorfque ceux-ci ont des fignes différents, le produit du double du premier par le fecond eft le feul terme négatif. En élevant au quarré le trinome a+b+c, on trouvera, réduction faite, a2 ab+b2+2 ac +26c+ c2. C'eft-à-dire que le quarré d'un trinome contient les quarrés de chaque terme en particulier, plus le double du premier par le fecond, plus le double du premier & du fecond par le troifieme. 2 D'après cela, il est aifé de voir que le quarré de (ax+y?) =a2x2+2axyz+y2 2..... que celui de (3mn-4m2) =9m2 n2 24m3n+16m*. . . . . & que (x+ a )2=x} a2 4 ax. On voit auffi que (b+2c —y )2=b2+4bc +4c2 2by — 4cy+y2. 142. Remarquez que pour compléter le quarré d'un binome, lorfqu'on a déja les deux premiers termes de ce quarré, il ne faut que leur ajouter le quarré de la moitié du Coefficient total du fecond. (J'appelle ainfi tout ce qui affecte ce fecond terme, foit en chiffres foit en lettres). Si j'avois, par exemple, x2+2ax à compléter, je prendrois a, moitié de 2 a, coefficient total du fecond terme 2 ax, & j'ajouterois fon quarré a' aux deux autres termes x2+2ax, ce qui me donneroit alors le quarré parfait du binome xa. Donc toutes les fois qu'on voudra compléter un quarré, ayant déja deux termes de cette forme, x2+ax, il n'y aura qu'à écrire x2+ax + Ceci trouvera plus d'une fois fon application. a2 143. Si m=3, alors le binome a+b, doit être multiplié deux fois de fuite par lui-même; ou, ce qui est la même chofe, fon quarré doit être multiplié par la premiere puiffance. Or toute réduction faite, on trouve que On doit donc en conclure généralement que le cube d'un binome quelconque contient quatre termes; 1o, le cube du premier terme du binome. 2°, le triple du quarré de ce premier terme multiplié par le fecond. 3°, le triple du quatré du fecond multipiié par le premier. 4°, le cube du fecond. Ou plus brièvement; le cube d'un binome contient les cubes de fes deux termes, & les produits refpectifs du triple du quarré de chacun de ces deux termes par l'autre. Quant aux fignes, ils font tous pofitifs quand ceux du binome le font ; on vient de le voir dans le cube de a+b. Lorfque les deux fignes du binome font négatifs, tous ceux du cube le font auffi. 6m3n-12mn Exemples. (m2n)3 —— m3 — 8n3... — (a + 1 ) 3 — — a3 — 3 a2— 3 a— 1. ( Le figne mis avant la parenthese annonce qu'il faut changer les fignes de tous les termes qui y font compris ). Lorfque des deux termes du binome, il y en a un négatif, ceux du cube le font alternativement, de maniere que les feuls termes négatifs du cube, font ceux qui renferment les puiffances impaires de la partie du binome affectée du figne 3 Exemples. (p+ q)3 = — p3 + 3 p2 q — 3 p2 q2 + q3... (2 a x x x)38 a3 x3-12 a2x2 + 6 ax3 144. Si m=4, le binome a+b doit être élevé à la quatrieme puiffance, & il en résultera cinq termes, (a+b) * = a* + 4 a3 b+ 6 a2b2+4 a b3+b*. Sim5, on aura par un procédé femblable la cinquieme puiffance de a+b, compofée de fix termes. (a+b)s=a3 +5 a1b + 10 a3b2+ 10 a2b3+ 5 a ba+bs. Et ainfi des autres puiffances d'un binome quelconque, qui toutes ont pareillement un terme de plus qu'il n'y a d'unités dans leurs expofants. 145. Mais s'il falloit paffer par toutes les puiffances intermédiaires, avant d'arriver à une puiffance plus élevée dont on auroit befoin, on fent bien que le calcul en feroit fouvent fort long & toujours indirect, Les Géometres du fiécle dernier avoient tant de fois éprouvé cet inconvénient, qu'ils tournerent leur attention vers la recherche d'une méthode qui pût les mener directement à leur but. Cette méthode, ils la trouverent; & Newton en eut la principale gloire. Ce n'eft pas encore ici le lieu de la démontrer : mais nous pouvons d'avance en préfenter les résultats, comme une des chofes les plus utiles qu'il y ait dans l'Algèbre. 146. 1°. Une puiffance quelconque d'un binome algébrique ne pouvant être compofée que de fignes, de coefficients, de lettres & d'expofants qui doivent en former les différents termes, il falloit, avant tout, des regles générales pour ces diverfes parties. Or 2o, La regle des fignes ne pouvoit fouffrir aucune 'difficulté. (122). 3°. Celle des lettres n'en pouvoit pas fouffrir non plus (124). 4. Celle des expofants fut d'abord déduite par une fimple analogie que voici. On avoit remarqué que le premier terme de toutes les puiffances auxquelles on élevoit un binome, étoit formé de la premiere partie de ce binome, élevée à la puiffance dont il s'agiffoit. On avoit remarqué auffi que dans les termes fuivants, l'expofant de cette premiere partie diminuoit fucceffivement d'une unité, pendant que l'expofant de la feconde partie augmentoit dans la même proportion. 1 On avoit remarqué enfin que cette diminution gra duelle fe continuoit jufqu'au dernier terme, ou la feconde partie du binome reftoit feule avec un expofant égal à celui de la puiffance demandée. De-là on conclut que pour élever un binome quelconque p+q à la fixieme puiffance, par exemple, on n'avoit qu'à écrire, ( abstraction faire des coefficients) (p+q)°=p°+p3q+p*q2+p3 q3 + p2q*+pq + q s & ainfi des autres puiffances plus élevées. 6 5°. Reftoit donc la regle des coefficients à trouver, & c'étoit la plus difficile. On avoit bien remarqué que le coefficient du premier terme étoit toujours l'unité, & que celui du fecond terme étoit toujours l'expofant de la puiffance propofée. Mais jufqu'à Newton, on n'avoit fait qu'entrevoir la loi qui fert maintenant à déterminer tous les autres coefficients. Voici à-peu-près comment on l'avoit devinée. En dépouillant fucceffivement de leurs coefficients les cinq premieres puiffances d'un binome quelconque, on avoit trouvé que ces coefficients étoient, pour la 3o. pour la 4. pour la 5. , Σ 24 ΙΟ 10, 5 de maniere que chaque premier coefficient de toutes ces puiffances étoit 1, ainfi que le dernier, & que chacun des autres étoit la fomme des deux coefficients correfpondants de la puiffance immédiatement précédente. Ainfi les coefficients de la cinquieme puiffance, à compter du fecond jufqu'à l'avant-dernier, fe forment en difant 1 +4= 5...4+6=10...6+4=10...4+1=5... Cette loi s'obfervant dans toutes les puiffances que l'on avoit calculées, la feule analogie portoit à la regarder comme générale. Mais outre que l'analogie n'eft point une démonstration, l'inconvénient de ne pouvoir connoître les coefficients d'une puiffance, fans la connoiffance préala ble de ceux de la puiffance précédente, reftoit dans fon entier. On s'avifa donc d'un autre expédient qui fournit la regle fuivante, dont nous donnerons la démonftration (313). 147. Pour trouver le coefficient d'un terme quelconque de la puiffance propofée d'un binome p+q, multipliez le coefficient du terme précédent par l'expofant que pa dans ce terme précédent, & divifeż le produit par le nombre qui marque le rang de ce terme précédent. Le quotient fera toujours le coefficient cherché. Exemple. On voudroit avoir le développement de la feptieme puiffance de p+q.... Ecrivez 148. Et fi on veut généralifer les regles que nous venons d'indiquer, on trouvera que pour élever un binome quelconque a+bà une puiffance quelconque m, il faut écrire 2. 3. 4 Et ainfi de fuite jufqu'à un dernier terme qui aura cette forme m bm Si l'on veut maintenant appliquer cette Formule à quelques exemples, on verra avec quelle promptitude elle les expédie. Soit donc propofé de trouver la neuvieme puiffance du binome a+b. On fera m9, & on fubftituera les valeurs conve⇒ nables dans la formule, ce qui donnera |