8 Réduction faite, (a + b) a'+9 a3 b+36a2 b2 + 84ab3+126 as b2 + 126 a*bs + 84a3b+36 a2b2 + 9 a b3 + b9. Soit propofé maintenant de calculer les premiers termes de la millieme puiffance de a+b. On fuppofera m=1000, & on trouvera (a+b) =a °+1000 a??? b + 1000 1000.999 2 a998b2+ &c. 1000 De la maniere d'exprimer & de calculer toutes fortes de 149. PUISQUE les degrés des puiffances dépendent de leurs expofants, il eft clair qu'il y a autant de puiffances différentes d'une quantité quelconque b, qu'il peut y avoir d'expofants différents. Or 1°, il y a une infinité de nombres entiers; voilà donc déja une infinité de puissances différentes; & celleslà fe conçoivent fans peine. `Mais 2o, il y a auffi une infinité de nombres frac tionaires. Or ceux-là peuvent-ils, à leur tour, fervir d'expofants? Et au cas qu'ils en fervent, quelles puiffances indiquent-ils ? 3°. Il y a de plus une infinité de nombres négatifs, foit entiers foit fractionaires. A quelles puiffances répondent-ils, quand ils fervent d'expofants? Pour répondre à cette double queftion, nous allons développer la Théorie des expofants, l'une des plus impor tantes de l'Algèbre élémentaire. 150. On a vu (125) que le produit d'une quantité affec tée d'un expofant, par cette même quantité affectée auffi d'un expofant, fe trouvoit tout de fuite, en écrivant une feule fois cette quantité avec un expofant égal à la fomme de ceux des facteurs. Ainfi a'xaa3....b3xb2=b1°.. Et généralement cxc"=c+". m+n 6 Donc par la raifon contraire, fi le dividende ne differe du divifeur que par fon expofant, leur quotient doit être la quantité qui leur eft commune, affectée d'un expofant égal à la différence de ceux qu'ils avoient avant la divifion. Ainfi a3 ; a2 = a8-2 =a6. blo: b7b10-1 cm-fn: cn= cm+n-n = cm. 2 Ou 151. Cela pofé, reprenons (129) la divifion de a3: a3. On écrira, fuivant la regle précédente, a3: as a3-¶ a. (On prononce a élevé à la puiflance bien pour abréger, a puiffance-2). Voilà donc des puiffances négatives introduites dans le calcul par une fuite de principes & d'exemples qui ne fouffrent aucune difficulté. Mais nous avons trouvé (129) que a3: a'= Donc la quantité a élevée à la puiffance négative — 2, n'eft autre chose que l'unité divifée par cette même quan tité a élevée à la puiffance pofitive 2, 152. Et comme au lieu des expofants 3 & 5, on peut en fubftituer une infinité d'autres, tels que leur différence foit également négative, il eft évident que a-m peut représenter en général toutes les puiffances négatives I am d'une quantité quelconque. Or am Donc (& cette regle eft d'un grand ufage), toutes les fois qu'une quantité a un expofant négatif, elle équivaut à l'unité divisée par cette même quantité, affectée du même expofant, mais pofitif. 153. Soit maintenant la quantité cm: c"; on écrira pour quotient cm-n. Or il peut arriver 1o, que m foit plus grand que n 2°, que m=n 3o, que m foit plus pe¬ tit que n....4°, que mn donne un réfultat fractionaire, pofitif ou négatif, Dans le premier cas, la quantité c doit être élevée à une puiffance pofitive, marquée par le refte de m, quand on en a fouftrait n. Dans le fecond cas, l'expofant m-n fe réduit à 0; résultat qui paroît au moins fingulier, la premiere fois qu'on le trouve. Ce résultat en effet indique la puissance zéro de c, & il femble que la puiffance o d'une quantité quelconque, doit être o. Elle équivaut pourtant à' l'unité; car aoam-m. Or am-m am m I. 154. Donc une quantité quelconque élevée à la puissance o, eft toujours égale à l'unité. Ainfi a°=b°=(cd)°=(p+q)°=( ;-)°=(-{;)° = 1; Dans le troifieme cas, m étant plus petit que n (ce qui s'exprime quelquefois ainfi, m < n; & pour exprimer que m eft plus grand que n, on écrit m>n), la différence des deux expofants eft négative. Par exemple, fi n=2m, on aura am: ar — am ; a2m = am-2m a-m. Or am Donc, encore une fois, toute quantité affectée d'un expofant négatif, n'est autre chose que l'unité divisée par la puissance égale, mais pofitive de cette quantité. 155. Il fuit de-là que l'on peut faire paffer au numérateur toutes les quantités qui font au dénominateur d'une fraction & réciproquement, fans altérer la valeur de la fraction. Il ne faut pour cela que changer les fignes de leurs expofants. 156. Dans le quatrieme cas, où m-n fe réduit à un expofant fractionaire, on a toujours une racine à extraire. Pour s'en affurer, & difcerner en même temps le degré de cette racine, il faut fe rappeller la maniere dont on à formé les puiffances. Or nous avons dit (140) que pour élever une quantité à fes diverfes puiffances, il falloit multiplier fon expofant par celui de la puiffance à laquelle on vouloit l'élever. 157. Donc, quand on voudra extraire une racine quelconque d'une quantité donnée, il faudra divifer l'expofant de cette quantité par celui de la racine. Exemples. On demande la racine quarrée de b2? . . . . On écrira b qui fe réduit à b........... On demande la ra m eft c c2. = 158. La division ayant réuffi dans tous ces exemples, on eft sûr d'avoir exactement les racines demandées. Mais il arrive très-fouvent que l'on ne peut divifer fans refte l'expofant de la quantité par celui de la racine; & alors il faut bien, de toute néceffité, fe contenter d'une fimple indication; ce qui introduit dans le calcul, les expofants fractionaires dont l'ufage eft fi fréquent. I Par exemple, fi on demandoit la racine quarrée de b; il faudroit, suivant la regle précédente, écrire ¿a3. Ainst la puiffance d'une quantité quelconque n'eft autre chofe que la racine quarrée de cette quantité. Pour avoir la racine cubique ou troisieme de b, il fau droit écrire b3. Donc la puissance d'une quantité quelconque n'eft autre chofe que la racine cubique de cette quantité. Il en eft de même pour les puiffances,,, &c, &c, qui répondent aux racines quatrieme, cinquieme, fixieme, &c. 159. En général, tout expofant fractionaire annonce une racine à extraire; & le degré de cette racine eft toujours égal au dénominateur de la fraction. Ainfi a NE la racine la racine n de la quan 160. On a coutume de fe fervir de la lettre initiale r du mot racine, pour défigner toute extraction de racine à faire mais afin que ce figne Radical fe diftingue mieux, on a altéré fa forme ordinaire, & on l'écrit ainfi ; de maniere que pour indiquer la racine quar I rée de c, on écrit c. On a donc vc c3. Pour défigner la racine cubique de c, on écrit c. On a donc c = c3. Pour défigner la racine quatrieme de 1 I en gf, on écrit gƒ=(gf)4; & ainfi des autres affectant le figne radical, du chiffre qui marque le degré de la racine. bc On excepte le radical quarré, parce que l'on eft convenu de prendre pour tel, celui qui n'a point d'expofant. Toutes les fois donc que l'on trouve des expreffions de cette forme, Va... V(-) . . . V (a2 — b2), c'est toujours de la racine quarrée de ces quantités qu'il s'agit. Et même le feul nom de racine s'applique toujours à la racine quarrée, de forte que pour en défigner une autre, on eft convenu d'ajouter à ce mot le numéro qui la diftingue, 161. Puifque les expofants fractionaires annoncent des fignes radicaux, on peut donc transformer toutes les quantités radicales en puissances fractionaires; ce qui eft d'une |