avant ou après ce point de partage, ces quatre bateaux dépenferont cinq éclufées.

2o. Si deux bateaux s'étant rencontrés au point de partage, les deux fuivans s'y rencontrent encore, ces quatre bateaux ne dépenferont que quatre éclufées.

3o. Si deux bateaux qui ont paffé se sont rencontrés avant ou après le point de partage, & que les deux bateaux qui viennent après fe rencontrent auffi avant ou après le point de partage, alors ces quatre bateaux ne dépenferont que quatre éclufées, fi le premier bateau eftvenu du côté oppofé à celui qui avoit paffé précédemment, & cinq s'il eft venu du même côté.

Et en général on a dû obferver qu'un bateau tire toujours une éclufée du point de partage pour y monter, mais que fouvent il n'en tire point pour defcendre de l'autre côté.

L'on voit par conféquent que lorqu'il n'y a point d'éclufes contigues dans un canal, les bateaux ne dépenferont qu'une éclufée pour toute leur traverfée, toutes les fois qu'ils pafferont au point de partage alternativement, l'un venant d'un côté, & l'autre venant du côté oppofé; que dans ce même cas, lorfqu'il y aura des éclufes contigues, les bateaux dépenferont dans leur traversée, autant d'éclufes qu'ils en rencontreront, en montant dans le corps d'éclufes où il y en aura le plus, & que ce n'eft que lorsqu'un bateau en fuivra un autre, qu'il dépenfera deux

éclufées, foit que les éclufes foient contigues, ou qu'elles foient toutes ifolées.

L'on remarquera que l'on ne doit confidérer le paffage des bateaux que par rapport aux éclufes qui joignent le point de partage, lorfque les éclufes ne font pas contigues, & que leur chûte eft égale; ce qui arrive dans les biefs inférieurs n'influe en rien fur la dépenfe des eaux, fur-tout lorfque les bateaux ne s'arrêtent pas un long-temps dans les biefs.

En donnant cent toifes au moins de longueur à chaque bief, il eft certain que quand même deux bateaux fe fuivroient, ils ne se trouveroient pas enfemble dans le même bief, puifque pendant que le fecond pafferoit par l'éclufe, le premier auroit eu le temps de parcourir le bief & d'entrer dans l'éclufe fuivante: ainfi deux bateaux ne peuvent fe rencontrer dans les petits biefs, que lorfque l'un y monte & que l'autre y defcend; & dans ce cas, comme l'un tire une éclufée du bief, tandis que le fecond en verfe une autre, l'eau de ce bief ne diminue ni n'augmente.

On remarquera encore que lorsque les éclufes contigues font éloignées du point de partage, il arrive affez fouvent que l'on n'en tire pas immédiatement les éclufées, & qu'on la prend dans des réfervoirs intermédiaires; mais lorsqu'il n'y a pas de feconde prife d'eau entre le point de partage & les éclufes contigues, c'est toujours ce point de partage qui fournit feul à la partie du canal qui eft au deffus de ces éclufes contigues, & cela revient

revient au même que fi elles étoient placées immédiatement après.

Ce n'eft pas encore affez de connoître la quantité d'eau que dépense chaque bateau dans la traversée d'un canal, fuivant qu'ils paffent alternativement, ou à la fuite les uns des autres, pour favoir l'eau qu'il faut amaffer afin de fournir à la navigation; il faudroit encore connoître combien il y a de ces bateaux qui paffent de fuite, & combien il en paffe alternativement: il n'eft pas difficile de favoir combien il en arrive à chaque extrêmité du canal, mais cette connoiffance ne fuffit pas encore; car quand même on fauroit, par exemple, qu'il part autant de bateaux de l'une des extrêmités d'un canal qne de l'autre, il s'en faut de beaucoup que dans ce cas même, tous les bateaux paffent toujours alternativement; il arrivera le plus fouvent qu'il en paffera plufieurs de fuite venant d'un côté, & auffi plufieurs de fuite venant de l'autre, & par conféquent que ces bateaux dépenferont plus fouvent deux éclufées qu'une feule.

Si cependant, dans des temps où il y a difette d'eau, on vouloit néanmoins faire paffer la plus grande quantité de bateaux poffible, on pourroit en faire attendre quelques-uns au point de partage, relativement à la plus grande quantité qu'il en pafferoit venant d'un côté que de l'autre, & les faire defcendre à mesure qu'il en monteroit d'au

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tres, ce feroit fans doute une gêne; mais l'inconvenient feroit moindre que de ne faire paffer que la moitié peut-être, ou les deux tiers des bateaux néceffaires au commerce.

Si l'on formoit un femblable réglement, on pourroit alors favoir exactement la quantité d'éclufées néceffaires pour faire paffer dans un canal le plus grand nombre de bateaux poffible.

Par exemple, s'il paffoit exactement autant de bateaux venant d'un côté que de l'autre, chaque bateau ne dépenferoit qu'une feule éclufée.

S'il venoit deux fois plus de bateaux d'un côté que de l'autre, trois bateaux dépenseroient quatre éclufées, & chaque bateau moyennement une éclufée & un tiers.

S'il venoit trois fois plus de bateaux d'un côté que de l'autre, chaque bateau dépenseroit une éclufée & demie.

Enfin, s'il venoit deux bateaux d'un côté, & trois de l'autre, les cinq bateaux dépenferoient fix éclufées.

Et en général, fi l'on a le rapport du nombre des bateaux qui viennent d'un côté, avec celui des bateaux qui viennent du côté oppofé, pour avoir la quantité d'éclufes que dépenferont ces deux nombres de bateaux, il fuffira de doubler le plus grand des deux nombres, fans avoir égard au plus petit.

Par exemple, s'il vient d'un côté trois bateaux, tandis qu'il en vient cinq de l'autre,

doublez ce nombre cinq, & vous trouverez que les huit bateaux dépenferont dix éclufées.

S'il en vient cinq d'un côté & fept de l'autre, ces douze bateaux dépenferont quatorze éclufées (1).

L'on voit par-là combien il est intéressant de faire paffer, autant qu'il eft poffible, les bateaux alternativement à la fortie du point

(1) Pour donner une démonstration de cette régle, il n'y a qu'à faire attention que le nombre de bateaux qui peut paffer alternativement, ne peut être que le double du plus petit nombre & que le nombre des bateaux qui pafferont de fuite, eft la différence entre les deux nombres.

Ainfi pour avoir le nombre d'éclufées que dépenferont les bateaux qui paffent alternativement, il faut d'abord prendre le double du plus petit nombre.

Enfuite, comme le nombre des bateaux qui feront obligés de paffer de fuite, eft la différence des deux nombres, & qu'il faut pour chacun de ceux-ci deux écluiées, il s'enfuit que le nombre d'éclufées que dépenferont les bateaux qui feront obligés de paffer de fuite, eft le double de la différence des deux nombres.

Par conféquent, la totalité des éclufées que dépense le total de ces bateaux, eft donc le double du plus perit nombre joint au double de la différence entre les nombres. Or, il eft évident que le double du plus petit nombre joint au double de la différence des deux, eft égal au double du plus grand; car foit a au plus petit nombre; b la différence des deux nombres, le plus grand fera a + b; le double du plus petit nombre joint au double de la différence des deux, eft 2a + 2b qui eft le double de at b, & qui eft auffi le plus grand des deux nombres C. Q. F. D.