Imágenes de páginas
PDF
EPUB

prietés, &, pour ainsi dire , la nature des lignes courbes; & tirer de là l'idée qu'on doit se former de toutes les courbes. Ce huitième Livre est divisé en trois Parties : Les usages de l'Analyse, en n'employant que le calcul ordinaire de l'Algebre, sont expliqués dans la premiere. La seconde contient le calcul differentiel, & les usages qu'en fait l'Analyse. On fait découvrir dans la troisiéme, par le moyen de l’Analyse , les regles du calcul integral, & l'on fait voir ensuite les usages qu'elle fait de ces regles..

PREMIERE PARTIE. Sur l'usage de l'Analyse, en n’employant que le calcul.

ordinaire de l’Algebre. N fait voir dans la premiere Section, que l'Analyse

represente les lignes & les figures de la Geometrie par les lettres de l’Alphabet, & tous les rapports simples & composés que peuvent avoir ces lignes & ces figures par le calcul de ces lettres ; & que par consequent les lignes & les figures sont les valeurs geometriques des expreslions litterales , & les rapports de ces lignes & de ces figures sont comme les objets representes par les calculs de l'Analyse. Cela doit faire appercevoir aux Commençans l'usage de l'Analyse dans la Geometrie, & leur faire concevoir tout l'artifice des Methodes qu'elle donne pour en résoudre les Problêmes, qui consiste en ceci.

Elle represente par des lettres differentes les grandeurs inconnues que l'on cherche, & les grandeurs connues ou données dans chaque Problême ; elle trouve par le calcul les équations qui expriment les rapports connus entre les grandeurs connues & les inconnues, lesquels rapports sont les conditions qui déterminent la nature du Problême: Elle découvre les grandeurs inconnues, en les separant des grandeurs connues, & faisant en sorte, par des calculs re

glés, que les lettres des inconnues deviennent égales à des Jettres des seules grandeurs. connues jointes ensemble

par l'addition, ou la soustraction, ou la multiplication, &c. & c'est là la résolution analytique du Problême. Pour avoir la résolution geometrique qu'elle represente, l'Analyse employe la Geometrie, & elle fait tracer les lignes & les figures qui ayent entr'elles les rapports & les proportions exprimées par la résolution analytique ; ce qui donne les lignes & les figures qui sont la résolution geometrique du Problême.

L'art qu'on vient d'expliquer est mis en pratique dans tout ce huitiéme Livre. Pour commencer par les choses les. plus faciles, on l'employe dans la premiere Section à découvrir les proprieres des triangles rectangles considerés seuls, & ensuite dans le cercle; & à trouver par ces proprietés la résolution geometrique des équations du second degré, c'est à dire, les lignes qui sont les valeurs de l'inconnue de ces équations.

Pour faire voir l'utilité de l'Analyse dans les Sciences Physico- Mathematiques, on l'employe dans la seconde . Section à découvrir la résolution des Problêmes de l'art de jerter des bombes, & de ceux qui sont sur les centres de pe. santeur & d'oscillation ; ces derniers servent à donner la justesse aux horloges.

Les Commençans pourront déja voir dans ces deux premieres Sections le parfait accord de l'Analyse avec la Geo. metrie & avec la nature même. Car lorsque l'Analyse exprime le Problême qu'on veut résoudre par une équation du second degré, & qu'elle donne deux valeurs positives de l'inconnue que l'on cherche dans le Problême, la résolu. tion geometrique fournit aussi deux lignes differentes representées par ces valeurs : dans les Problemes de l'art de jetter les bombes, il y a deux inclinaisons du mortier re. presentées par les deux valeurs analytiques, qui sont propres à lui faire jetter la bombe par une même force de poudre à l'endroit où on la veut faire tomber; & dans les Problêmes. sur le centre d'oscillation d'un pendule composé, il y a deux endroits dans le pendule , qui répondent aux deux valeurs analytiques, propres à placer la lentille, pour faire que les . vibrations du pendule marquent les secondes.. Quand les

[ocr errors]

deux valeurs analytiques se trouvent égales, les lignes geo. metriques qu'elles representent le font aussi ; les deux incli. naifons du mortier se réduisent à celle de 45 degrés, qui donne la plus grande étendue de tous les jets de bombe par une même force de poudre; & les deux endroits du

pendule où il faut mettre la leneille fe réunissent au point, où arrêtant la lentille, on rend les vibrations du pendule les plus prompres qu'il est possible. Quand l'Analyse découvre que les deux valeurs sone impoffibles, on trouve une contradiction dans la résolution geometrique ; l'endroit où l'on veut faire tomber la bombe, se trouve hors de la portée de la poudre ; & l'on trouve aussi qu'il y a une contradiction dans les fuppositions que l'on a faires sur le pendule compofé, &c. Tout le reste du huitiéme Livre est employé à faire voir les usages de l'Analyse dans la Geometrie compo. sée, c'est à dire, dans la science des lignes courbes , & dans la résolution des Problêmes Physico-Mathematiques qui en dépendent.

On explique dans la troisiéme Section la maniere de reduire les courbes à des équations qui en expriment les principales proprietés : la voici

. On suppose sur le plan où est chaque courbe une ligne droite dont la position est donnée sur le plan , & un point fixe d'où elle part, qu'on nomme son origine, qui est aussi donné. Cette droite se nomme la ligne des coupées : on suppose une infinité d'autres droites toutes paralleles entr'elles qui partent de tous les points de la courbe , & vont toutes couper la ligne des coupées, on les appelle les ordonnées ; la partie de la ligne des coupées depuis l'origine jusqu'à l'ordonnée qui la termine , est la coupée de cette ordonnée; &, pour abreger, on nomme chaque coupée & son ordonnée correspondante, les coordonnées. Or dans toutes les courbes regulieres il y a un raport commun qui regne entre les coordonnées, qu'on peut regarder comme le raport commun à tous les points de la courbe d'où partent les ordonnées. Ainsi en nommant chaque cou. pée par une même lettre, qu'on appelle changeante, parcequ'elle represente successivement toutes les coupées ; representant de même chaque ordonnée par une autre lettre qu'on nomme changeante par la même raison; marquant aussi par des lettres differentes les lignes connues qui servent à déter.

[ocr errors]

miner le raport commun aux coordonnées : l’Analyse exprime ce raport commun à tous les points de la courbe

par une équation; les changeantes des coordonnées y ciennent lieu de deux inconnues. On a fait voir dans la premiere Section, que l'on

peut

de même exprimer par une équation le raport commun de tous les points d'une ligne droite, en concevant de tous ses points des droites paralleles tirées à la ligne des coupées sur le même plan où est la ligne droite.

C'est de ces équations, qui expriment la nature des cour. bes, que l'Analyse deduit leurs proprietés, & la resolution des Problêmes qui les regardent. C'est de ces mêmes équations qu'elle prend la distinction des courbes en geometriques & en mechaniques: les équations des premieres ne contiennent que des expressions ordinaires de l'Algebte , le nombre des dimensions des changeantes est détermine, & les coordonnées sont toujours de simples lignes droites : Parmi les courbes mechaniques, les unes ont des courbes pour l'une ou l'autre des coordonnées, ou pour toutes les deux ; d'autres ont des lignes droites égales à des arcs de courbe pour l'une ou l'autre des cordonnées, ou pour toutes les deux. Il y en a dont le nombre des dimensions des coordonnées n'est pas déterminé; la pluspart ne peuvent s'exprimer que par des équations qui contiennent des differentielles. Enfin les équations des courbes geometriques servent à les ranger en differens ordres qu'on appelle gentes,

selon le nombre des degrés où sont élevées les puislances separées des changeantes, ou selon le nombre des dimensions du produit des changeantes multipliées l'une par l'autre, quand ce produit est le seul terme qui contient des changeantes, ou quand il a plus de dimensions que la puissance la plus élevée de l'une ou de l'autre des changeantes separées.

Les courbes geometriques les plus simples, ou du premier genre , sont celles qui s'expriment par des équations où la plus haute puissance des changeantes feparées ne monte qu'au second degré, ou bien dans lesquelles le produit des changeantes multipliées l'une par l'autre, n'est que de deux dimensions ; on les appelle Sečtions coniques , parcequ'elles peuvent se former par la section commune d'un plan & d'un cône. Les Geometres anciens & nouveaux se sont appliqués à décrire ces courbes, à en découvrir les proprietés, à en

[ocr errors]

resoudre les Problêmes, & à les faire servir à la refolution de beaucoup d'autres Problêmes ; cela les a rendues de grand usage. On enseigne dans cette troisiéme Section leur formation, c'est à dire, la maniere de les décrire sur un plan, 1°, par le mouvement continu du point d'interfection de deux regles mobiles ; 2°, en trouvant successivement les points par où elles doivent passer. On tire de leur formation les équations qui en expriment la nature, & l'on déduit de ces équations les principales proprietés de ces courbes. On a eu soin de n'oublier aucune de celles qui sont necessaires à l'intelligence de ce huitième Livre, afin que les Lecteurs qui sçavent au moins mediocrement les Elements d'Euclide, n'eussent besoin d'aucun autre Ouvrage pour entendre celui-ci.

Dans les Sections coniques, (& c'est à peu près la même chose dans les courbes geometriques des genres plus élevés,) il y a une ligne déterminée des coupées pour chacun des angles que les ordonnées, paralleles entr'elles, peuvent faire avec leurs coupées : cette ligne déterminée s'appelle le diametre de la courbe: L'équation de la courbe par raport ce diametre est la plus simple de toutes, c'est à dire, qu'elle a le moins de termes : mais quand on prend sur le plan de chacune de ces courbes une ligne des coupées differente du diametre, & qui ne lui est pas parallele; l'équation de la courbe , par raport à cette ligne des coupées, a un plus grand nombre de termes que l'équation la plus simple. Dans la resolution des Problêmes qui se reduisent aux Sections coniques, on trouve rarement l'équation la plus simple, laquelle feroit distinguer d'abord celle des Sections coniques à laquelle le Problême se rapporte : mais il se presente ordinairement une équation qui a plus de ternes que celle de la courbe par raport au diametre; & cependant les changeantes de l'équation n'ayant que deux dimensions , la courbe qu'elle exprime est l'une des Sections coniques. Il faut donc avoir des marques certaines pour distinguer à laquelle des Sections coniques appartient l'équation qu'on a trouvée, & des moyens pour trouver le diametre de cette Section conique, & les autres lignes necessaires pour la décrire par la même methode dont on s'eft servi pour décrire une telle Section conique. On a mis pour cela un Problême dans la

troisiéme

« AnteriorContinuar »