487 粥粥粥粥粥粥 粥粥粥粥:粥粥粥光光諾光光光光光光光光光浩 ANALYSE COMPOSÉE, OU ANALYSE QUI ENSEIGNE A RESOUDRE les Problêmes qui se réduisent à des équations Où l'on fait voir l'usage de l'Analyse dans la Geometrie & dans les fciences phyfico-mathematiques; c'est à dire, on explique la maniere de fe fervir de l'Analyse pour refoudre les Problemes de ces fciences. N AVERTISSEMENT. On a ajouté ce dernier Livre pour les Lecteurs qui fçavent au moins mediocrement la Geometrie ordinaire: Ils y verront comment les calculs & les operations de l'Analyse font les expreffions de tous les rapports des lignes & des figures de la Geometrie fimple & compofée, qui en font découvrir les proprietés les plus compliquées, & refoudre les Problêmes d'une maniere fimple, facile, qui n'embaraffe pas l'imagination, & qui laiffe à l'efprit l'étendue dont il a befoin pour découvrir aifément tout ce que ces fciences peuvent contenir de plus difficile, & pour penetrer jufqu'à l'infini. Pour exciter la curiofité des Lecteurs, & pour faire voir l'utilité de l'Analyse, qui étoit regardée par ceux qui ne la fçavent pas comme contenant de pures fpeculations, on a mêlé dans ce huitiéme Livre plufieurs Problêmes des fciences phyfico-mathematiques, comme ceux qui fervent à Qq q ij donner aux pendules à fecondes toute la justesse poffible pour les rendre la mesure exacte du temps; ceux qui fervent à l'art de jetter les bombes, pour les faire tomber exactement où l'on voudra; ceux qui fervent à faire connoître les figures que l'on doit donner aux verres pour rassembler en un point les rayons de lumiere, &c. On s'eft feulement propofé de faire connoître les ufages de l'Analyse, & la maniere de s'en fervir dans la refolution des Problêmes qui s'expriment par des figures; & non pas de faire un corps de Geometrie dont toutes les parties fuffent liées par la dépendance mutuelle des propofitions qui feroient déduites les unes des autres. Cependant on a tâché de mettre de l'ordre dans les matieres qu'on y traite, de maniere que les plus fimples précedaffent, autant que cela fe pouvoit, les plus compofées, & qu'elles ferviffent à s'éclaircir mutuellement; & l'on a pris foin pour rendre tous les Problêmes que l'on refout clairs & faciles aux Lecteurs qui commencent, de mettre du moins en fuppofitions ( n'étant pas ici le lieu de les démontrer) tous les principes d'où ils dépendent, & qu'il faut avoir en vûe pour en concevoir clairement la refolution. On partagera ce huitiéme Livre en trois Parties. On expliquera dans la premiere la maniere de fe fervir de l'Analyse dans la refolution des Problêmes de Geometrie & des fciences phyfico-mathematiques, en n'employant dans les operations que les calculs de l'Algebre ordinaire. Dans la feconde Partie on enseignera les usages de l'Analyse dans la refolution des Problêmes des mêmes fciences, en y em ployant le calcul differentiel. On fera voir dans la troifiéme Partie comment l'Analyse fait trouver les Regles du calcul integral; & on expliquera enfuite l'ufage de ces Regles dans la refolution des Problêmes de la Geometrie & des fciences phyfico-mathematiques, PREMIERE PARTIE. De l'ufage de l'Analyfe dans la refolution des Problêmes PREMIERE SECTION. Où l'on fait voir comment les calculs de l'Analyfe expriment PREMIERE SUPPOSITION OU DEMANDE. a 267. POUR exprimer par les calculs de l'Analyse les rapports F 1 0. L & les proprietés des figures de la Geometrie, il faut mar quer les lignes de ces figures par les lettres de l'alphabet; par exemple dans la premiere figure on nommera à le côté AB du triangle ABH; b, le côté BH; c, le côté AH; & de même des autres figures. On marque ainfi ces dénominations, AB = a; BH = b; AH = c; ou bien AB (a) &c. 268. Quand il y a dans les figures des lignes égales, on les nommera par une même lettre; de même quand une ligne eft double, triple, &c. d'une autre ligne déja exprimée par la lettre a, on la nommera 2a, 3a, &c. quand elle en eft la moitié, le tiers, &c. par a, a, &c. FIG. Il est évident que l'addition & la fouftraction des lettres qui expriment les lignes des figures, marquent que ces lignes font ajoutées ensemble, ou retranchées les unes des autres; par exemple fi AK=d, & AB=a; la fouftraction ad Fro, L. marquera que AK eft retranchée de AB; par confequent ad KB. Il en eft de même de l'addition. 269. L'expreffion marque le rapport de la ligne AB (a) à la ligne BH (6), ce qu'il faut remarquer dans l'expression de tous les autres rapports des lignes. 270. La multiplication des grandeurs, par exemple de la grandeur a par la grandeur 6, que l'on marque par ces lettres jointes ensemble ab, ou par « × b, est une proportion Q ૧૧ ñj 271. 272. dont le premier terme eft l'unité, le fecond & le troifiéme font les grandeurs a & b à multiplier l'une par l'autre, & le quatrième terme eft le produit ab de ces grandeurs; ainsi chaque produit dans les operations de l'Analyfe exprime une ligne qui eft le quatrième terme d'une proportion, dont les trois premiers termes qui font connus, font l'unité & les deux grandeurs multipliées l'une par l'autre. Par exemple dans la premiere figure, fuppofé que AK foit l'unité; ainfi AKI; que AB = a, AM=e; l'on a, en fuppofant KM & BH paralleles, cette proportion AK(1). AB(a):: AM(e). AH=4, ou fimplement aeАH; parcequ'on peut toujours fous-entendre l'unité fous un produit, ou fous une grandeur fans la marquer. L'on voit donc que le produit de deux lignes AB (a) & AM (e) est une autre ligne AH= ae, qui est la quatrième proportionelle à l'unité AK & à ces deux lignes AB (a) & AM(e). En fuppofant que les triangles AKM, ABH font femblables, que AK = 1, AB—a, KM=k, BH=h; BH eft auffi le produit de KM(k) par AB (a); puisqu'on a cette proportion AK(1). KM (k) :: AB (a). BH (h =ak). D'où l'on voit que quand on a deux lignes données KM (k) & AB (a); pour trouver la ligne BH (b=ak), qui eft leur produit, il n'y a qu'à faire les deux triangles femblables AKM, ABH, où AK soit =1, KM=k, AB=a, & l'on trouvera BH = ak. Le produit de trois lignes aef, marque deux proportions; par la premiere, l'unité eft à la ligne a, comme la ligne e eft à la ligne ae, qui eft la quatrième proportionelle, à l'unité & aux lignes a & e; par la feconde proportion l'unité est à la ligne ae, comme la ligne ƒ eft au produit des trois aef, qui eft une ligne quatrième proportionelle à l'unité & aux lignes ae & f. D'où l'on voit que le produit de quatre lignes arfg, marque trois proportions; le produit de cinq lignes aefgh, marque quatre proportions, &c. & que dans ces proportions le produit total n'eft qu'une ligne qui refulte de toutes ces proportions. Quand les produits font compofés de lettres égales, comme 1, a, aa‚ àa‚ àa, a', &c. il eft évident que les pro portions des lignes qui donnent ces produits font continues, 273. La divifion d'une grandeur AH (ae) par une autre AM(c), Fi¢.L 274. D'où l'on voit que le quotient d'une divifion n'exprime qu'une ligne qui eft le quatriéme terme d'une proportion dont le diviseur eft le premier terme, la grandeur à diviser le fecond, & l'unité le troifiéme. De même en fuppofant les triangles AKM, ABH femblables, & que AB = a; BH➡h=ak; KM⇒k, & =1; la ligne KM(k) fera le quotient de BH(ak) divifée par AB(a); puisque AB(a). BH (ak):: AK(1). KM (k). AK=1; D'où il eft évident que quand on a deux lignes données BH(ak ou h), & AB (a); pour trouver la ligne KM (k), qui eft le quotient de BH (ak) divifée par AB(a), il n'y a qu'à faire les deux triangles femblables ABH, AKM, où BH➡ak ou h, AB = a, AK=1, & la ligne KM (k) fera le quotient. L'on voit auffi que fi la ligne à diviser étoit representée par le produit de plufieurs lettres aefg, qui marque que cette ligne eft le dernier terme d'une proportion précedée de plufieurs autres, l'on pourroit par la divifion en repaffant par toutes ces proportions, revenir à la premiere, dont le dernier terme ne feroit exprimé que par deux lettres, comme de. Quand l'expreffion de la grandeur ou de la ligne à divi |