275. fer AH, n'a aucune lettre commune avec l'expreffion du AB D'où il eft vifible que(), qui eft l'expreffion du rapport de AH à AB, est la même chose que(); les rapports égaux exprimant des grandeurs égales; & l'on voit auffi qu'on peut toujours fous-entendre l'unité écrite fous une grandeur entiere ou rompue, comme étant le dénominateur de la fraction dont cette grandeur eft le numerateur, fans que cela en change la valeur. REMAR QUE. 276. On doit remarquer que dans les comparaisons des lignes, l'unité eft ordinairement arbitraire, c'eft à dire, qu'on peut prendre une des lignes données pour l'unité, en rapportant toutes les autres à cette ligne comme à leur unité: Mais quand on a ainfi déterminé l'unité, on ne doit plus dans toute la queftion que l'on veut refoudre, prendre d'autre FIG. I. ligne pour l'unité; ainfi fuppofant dans les deux triangles femblables AMK, AHB, que AK = a, AB = a, AB = b, AH =d, AM= c; fi l'on prend la ligne AK (a) pour l'unité, l'expreffion br = AH (d) marquera le produit des lignes AB (b), AM(c), qui eft AH = be aa Quand on a ainfi déterminé une des lignes d'une question comme a pour être l'unité, on y trouve ces deux commodités. 1°. On peut l'effacer des produits où elle fe trouve, ce qui abrege l'expreffion de ces produits, fans en diminuer la valeur, l'unité ne changeant rien dans la valeur des produits où elle fe trouve; ainfi zabc = bc, bed = bcd. 2°. On peut dans une équation rendre tous les termes d'un même nombre de dimenfions, en multipliant chaque terme par l'unité repetée autant de fois qu'il lui manque de dimenfions pour égaler les dimensions des autres termes, ce qui les rendra homogenes. Ainfi on rendra tous les termes de x3 +px bcdo, homogenes, en écrivant x3 + apx =9; ou bien en divifant les termes qui ont le plus de dimenfions par l'unité repetée autant de fois qu'il manque bcd de 277. de dimenfions aux autres pour les égaler. Par exemple, on peut rendre homogenes tous les termes de xx-bbcx bbcx- ccdd = o, en écrivant xx bbcx- ccdd aa O. Les extractions des racines dans les calculs de l'Analyse, que l'on marque par les fignes radicaux V, V, V, &c. comme Jab, Vabc, &c. & par les grandeurs mêmes qui font les racines, quand cela fe peut, comme a eft la racine quarrée de aa, b la racine cubique de b3, &c. font les expreffions des Problêmes ou des figures que l'on fait dans la Geometrie, pour trouver les lignes qui font moyennes proportionelles entre d'autres lignes, ou entre l'unité & d'autres lignes. Par exemple Vab marque la ligne qui eft moyenne proportionelle entre la ligne a & la ligne b; Vabc exprime la premiere des deux lignes moyennes proportionelles entre la ligne qui eft prife pour l'unité, & la ligne qui eft exprimée par le produit abc des trois lignes a, b, c; & ainfi des autres. COROLLAIRE I. L 2 78. Il est évident, aprés ce que l'on vient d'expliquer, que tous les calculs de l'Analyse peuvent être representés par les lignes & les figures de la Geometrie, par le moyen des triangles femblables & des proportions des lignes; & que tous les rapports de ces lignes qui forment les figures de la Geometrie, peuvent être marqués par les expreffions & les calculs de l'Analyse. 279. IL eft de même évident que l'on peut changer, pour la commodité du calcul, des expreffions compofées en d'au tres plus fimples, & des expreffions embaraffantes en d'autres plus faciles, fans en changer la valeur. Par exemple, en nommant a la ligne prife pour l'unité, on peut réduire les produits les plus compofés à une feule lettre. Si l'on a bcde, 1°, faifant a .b::c., qu'on fuppofera =m, l'on aura ambc; & fubftituant am au lieu de bc, on aura amde = bcde. 2°. Faisant enfuite a . m :: d . ::d.n, l'on aura an = md; & fubftituant cette valeur de md dans amde, on aura aane = bcde. 3°. Faifant enfin a. ne. p, on aura. ap ne; & fubftituant cette valeur de ne dans aane, on aura p=bide où fupprimant l'unité a',on aura p = bcde.. Rrr Si l'on avoit de, on trouveroit a'p=bcde, & aaq=fgh, bede & l'on auroit == 45 enfuite faisant q . p :: a (1) . r, bede on auroit=r. a2q Si l'on avoit une fraction dont le numerateur & le dénominateur fufsent complexes; c'est à dire, continffent plufieurs produits joints par + &, on pourroit abreger de même l'expreffion de cette fraction complexe. efg la On peut auffi abreger l'expreffion des fractions dont le numerateur & le dénominateur contiennent le produit de plufieurs lettres comme bed, en faisant en forte que même lettre se trouve au numerateur & au dénominateur, ce qui la fait évanouir; car faifant a. b:: cm, on aura am = bc, & a b c d = aamd; puis faifant comme a. m :: d. n. on aura abcd = aaan; faisant de même pour le dénominaf.p, on aura ap=ef, & efg apg; faifant enfuite a. p:: g.q, on aura aq=pg; ainfi efg = aaq, & a; enfin faifant q, a :: n. r, on aura r=“. Si l'on avoit bede, en trouvant m moyenne proportionelle entre 6 &c, & n moyenne proportionelle entre d& e, l'on changeroit l'expreffion bc―de en mm — nn qui lui feroit égale. teur a e :: abcd ef8 aaq Il y a beaucoup d'autres manieres de changer ainfi les expreffions en d'autres, fans en changer la valeur que l'on tire des triangles femblables, & des autres figures de la Geometrie ordinaire. Seconde fuppofition ou demande. 280. DANS les propofitions de Geometrie où il s'agit de la furface des figures, les produits des calculs de l'Analyse FIG. I. expriment les aires des figures; par exemple nommant a la bafe GF du quarré GH, & a la hauteur GI, aa eft l'expreffion de l'aire du quarré GH. De même nommant a la base AB du triangle rectangle ABH, & fa hauteur BH,b; Lab fera l'expreffion de l'aire du triangle ABH. Supposant auffi dans le rectangle GFBC, sa base GF➡a, fa hauteur GC = b; le produit ab fera l'expreffion de l'aire de ce rectangle. Il en eft ainfi des autres, Dans les propofitions qui regardent les corps folides, les produits des operations analytiques expriment la folidité des corps; par exemple nommant aa le quarré GH; L'addition & la fouftraction des produits qui represen- Troisième fuppofition ou demande fur l'usage des fignes + & - 281. SUPPOSANT que les deux lignes DAE, CAB fe coupent Fic. I. droite, ou de droite à gauche, eft la ligne DAE; le terme où commencent les pofitives qui defcendent & les négatives qui montent, eft la droite CAB. Appellant l'angle EAB le premier, DAB le fecond, CAE le troifiéme, & DAC le quatrième, les lignes du premier feront toutes pofitives; entre les lignes du fecond, celles qui font vers la droite font pofitives, & celles qui montent font négatives; dans le troifiéme, celles qui vont à gauche font négatives, & celles qui defcendent, pofitives; & dans le quatrième, les unes & les autres font négatives. Suppofant 40+a=+1, OL — + b, AE =+c, l'on aura dans les triangles semblables OAL, EAF, AO (+ a ou + 1). OL ( + b) :: A E (+c). EF =+ ; d'où l'on voit comment + multiplié par, donne un produit qui a + a Faifant 40+a+1, AE+c, ON——d, l'on aura dans les triangles femblables OAN, EAG, AO (+ a ou + 1). AE(+c) :: ON(d). EG—— _cd. Comme auffi en nommant KM, (e), on aura à cause des triangles femblables OAN, KAM, AO (+a ou + 1). ON(d)AK M{+e), AK—— de; d'où l'on voit comment multiplié par —, ou par+, + donne un produit quí a -. Suppofant encore AR = — ·ƒ, l'on aura à caufe des triangles femblables OAL, QAR, OL(+b) :: AR (—ƒ). RQ = a A(+ a ou +1). d'où l'on voit en core comment par—, ou — par +, donne un produit qui a Enfin à cause des triangles femblables OAN, RAM, l'on aura A0 ( + a ou + 1). ON(d) :: AR (—ƒ. RM; d'où l'on voit comment un produit qui a +. par donne De même dans les furfaces le rectangle AF fait du produit de + AE par + AB, fera pofitif. Le rectangle AH fait de — AD par + AB, sera négatif. Le rectangle AG fait de + AE par AC, fera négatif, Mais le rectangle AI. fait de AD par- AC, fera pofitif; & du côté oppofé au rectangle négatif AH fait de -DA par + AB. L'on fuppofe dans tous les produits. l'unité pofitive. |