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275.

fer AH, n'a aucune lettre commune avec l'expreffion du
diviseur AB, que AH eft, par exemple, exprimée par c,
& AB par a,
la divifion fe marque ainfi ; & fuppofant
que AK est l'unité, l'on a toujours la même proportion
AB (a). AH (c) :: AK (1). AM.

AB

D'où il eft vifible que(), qui eft l'expreffion du rapport de AH à AB, est la même chose que(); les rapports égaux exprimant des grandeurs égales; & l'on voit auffi qu'on peut toujours fous-entendre l'unité écrite fous une grandeur entiere ou rompue, comme étant le dénominateur de la fraction dont cette grandeur eft le numerateur, fans que cela en change la valeur.

REMAR QUE.

276. On doit remarquer que dans les comparaisons des lignes, l'unité eft ordinairement arbitraire, c'eft à dire, qu'on peut prendre une des lignes données pour l'unité, en rapportant toutes les autres à cette ligne comme à leur unité: Mais quand on a ainfi déterminé l'unité, on ne doit plus dans toute la queftion que l'on veut refoudre, prendre d'autre FIG. I. ligne pour l'unité; ainfi fuppofant dans les deux triangles femblables AMK, AHB, que AK = a, AB = a, AB = b, AH =d, AM= c; fi l'on prend la ligne AK (a) pour l'unité, l'expreffion br = AH (d) marquera le produit des lignes AB (b), AM(c), qui eft AH =

be

aa

Quand on a ainfi déterminé une des lignes d'une question comme a pour être l'unité, on y trouve ces deux commodités. 1°. On peut l'effacer des produits où elle fe trouve, ce qui abrege l'expreffion de ces produits, fans en diminuer la valeur, l'unité ne changeant rien dans la valeur des produits où elle fe trouve; ainfi zabc = bc, bed = bcd. 2°. On peut dans une équation rendre tous les termes d'un même nombre de dimenfions, en multipliant chaque terme par l'unité repetée autant de fois qu'il lui manque de dimenfions pour égaler les dimensions des autres termes, ce qui les rendra homogenes. Ainfi on rendra tous les termes de x3 +px bcdo, homogenes, en écrivant x3 + apx =9; ou bien en divifant les termes qui ont le plus de dimenfions par l'unité repetée autant de fois qu'il manque

bcd

de

277.

de dimenfions aux autres pour les égaler. Par exemple, on peut rendre homogenes tous les termes de xx-bbcx bbcx- ccdd = o, en écrivant xx

bbcx- ccdd

aa

O.

Les extractions des racines dans les calculs de l'Analyse, que l'on marque par les fignes radicaux V, V, V, &c. comme Jab, Vabc, &c. & par les grandeurs mêmes qui font les racines, quand cela fe peut, comme a eft la racine quarrée de aa, b la racine cubique de b3, &c. font les expreffions des Problêmes ou des figures que l'on fait dans la Geometrie, pour trouver les lignes qui font moyennes proportionelles entre d'autres lignes, ou entre l'unité & d'autres lignes. Par exemple Vab marque la ligne qui eft moyenne proportionelle entre la ligne a & la ligne b; Vabc exprime la premiere des deux lignes moyennes proportionelles entre la ligne qui eft prife pour l'unité, & la ligne qui eft exprimée par le produit abc des trois lignes a, b, c; & ainfi des autres. COROLLAIRE I.

L

2 78. Il est évident, aprés ce que l'on vient d'expliquer, que tous les calculs de l'Analyse peuvent être representés par les lignes & les figures de la Geometrie, par le moyen des triangles femblables & des proportions des lignes; & que tous les rapports de ces lignes qui forment les figures de la Geometrie, peuvent être marqués par les expreffions & les calculs de l'Analyse.

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279. IL eft de même évident que l'on peut changer, pour la commodité du calcul, des expreffions compofées en d'au tres plus fimples, & des expreffions embaraffantes en d'autres plus faciles, fans en changer la valeur.

Par exemple, en nommant a la ligne prife pour l'unité, on peut réduire les produits les plus compofés à une feule lettre. Si l'on a bcde, 1°, faifant a .b::c., qu'on fuppofera =m, l'on aura ambc; & fubftituant am au lieu de bc, on aura amde = bcde. 2°. Faisant enfuite a . m :: d . ::d.n, l'on aura an = md; & fubftituant cette valeur de md dans amde, on aura aane = bcde. 3°. Faifant enfin a. ne. p, on aura. ap ne; & fubftituant cette valeur de ne dans aane, on

aura p=bide où fupprimant l'unité a',on aura p = bcde..

Rrr

Si l'on avoit de, on trouveroit a'p=bcde, & aaq=fgh,

bede
f8h

& l'on auroit == 45 enfuite faisant q . p :: a (1) . r,

bede
fgh

on auroit=r.

a2q

Si l'on avoit une fraction dont le numerateur & le dénominateur fufsent complexes; c'est à dire, continffent plufieurs produits joints par + &, on pourroit abreger de même l'expreffion de cette fraction complexe.

efg

la

On peut auffi abreger l'expreffion des fractions dont le numerateur & le dénominateur contiennent le produit de plufieurs lettres comme bed, en faisant en forte que même lettre se trouve au numerateur & au dénominateur, ce qui la fait évanouir; car faifant a. b:: cm, on aura am = bc, & a b c d = aamd; puis faifant comme a. m :: d. n. on aura abcd = aaan; faisant de même pour le dénominaf.p, on aura ap=ef, & efg apg; faifant enfuite a. p:: g.q, on aura aq=pg; ainfi efg = aaq, & a; enfin faifant q, a :: n. r, on aura r=“. Si l'on avoit bede, en trouvant m moyenne proportionelle entre 6 &c, & n moyenne proportionelle entre d& e, l'on changeroit l'expreffion bc―de en mm — nn qui lui feroit égale.

teur a e ::

abcd

ef8

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aaq

Il y a beaucoup d'autres manieres de changer ainfi les expreffions en d'autres, fans en changer la valeur que l'on tire des triangles femblables, & des autres figures de la Geometrie ordinaire.

Seconde fuppofition ou demande.

280. DANS les propofitions de Geometrie où il s'agit de la furface des figures, les produits des calculs de l'Analyse FIG. I. expriment les aires des figures; par exemple nommant a la bafe GF du quarré GH, & a la hauteur GI, aa eft l'expreffion de l'aire du quarré GH. De même nommant a la base AB du triangle rectangle ABH, & fa hauteur BH,b; Lab fera l'expreffion de l'aire du triangle ABH. Supposant auffi dans le rectangle GFBC, sa base GF➡a, fa hauteur GC = b; le produit ab fera l'expreffion de l'aire de ce rectangle. Il en eft ainfi des autres,

Dans les propofitions qui regardent les corps folides, les produits des operations analytiques expriment la folidité

des corps; par exemple nommant aa le quarré GH;
l'on conçoit le cube dont ce quarré eft la base, a' fera l'ex-
preffion de la folidité de ce cube; de même abc sera l'ex-
preffion d'un prifme dont la base est representée par le pro-
duit des lignes a & b, & la hauteur par cabc fera l'expref-
fion d'une piramide qui aura la même base & la même hau-
teur que le prifme précedent. Il en eft ainfi des autres.

L'addition & la fouftraction des produits qui represen-
tent des surfaces, expriment que ces furfaces font ajoutées
les unes aux autres, ou retranchées les unes des autres:
C'est la même chofe des produits qui expriment des folides.

Troisième fuppofition ou demande fur l'usage des fignes + & -
par rapport à la Geometrie.

281. SUPPOSANT que les deux lignes DAE, CAB fe coupent Fic. I.
à angles droits au point A, & que les lignes paralleles à
l'une & à l'autre qui font dans les quatre angles droits,
comme RM, KM,OL, AO, KL, ON, PN, RQ, QP, &c.
foient comprises dans un Problême, quand on a besoin de
diftinguer entre les paralleles à AB, celles qui vont vers la
droite de celles qui vont vers la gauche, & entre les paral-
leles à DA E, celles qui defcendent de celles qui vont en
montant, on nomme parmi les premieres qui vont vers la
droite ou vers la gauche, les unes pofitives & l'on met au
devant le figne + & les autres négatives & l'on met au
devant le figne -; on fait la même chofe pour diftinguer
entre les paralleles à DAE, celles qui defcendent de celles
qui montent. Il est libre au commencement de l'operation
de prendre pour pofitives lefquelles on voudra entre celles
qui vont de gauche à droite, ou de droite à gauche; & de
même entre celles qui defcendent & celles qui montent :
Mais fi l'on fe détermine à mettre le figne devant celles
qui vont de gauche à droite, comme AB, DH, EF ; celles
qui vont de droite à gauche, comme AC, DI, EG, &c.
doivent avoir le figne De même fi l'on fe détermine à
mettre le figne + devant celles qui defcendent, comme AE,
BF, CG, &c. on doit écrire le figne devant celles qui
vont en montant, comme AD, BH, CI, &c. Le terme où
commencent les pofitives & les négatives de gauche à

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droite, ou de droite à gauche, eft la ligne DAE; le terme où commencent les pofitives qui defcendent & les négatives qui montent, eft la droite CAB.

Appellant l'angle EAB le premier, DAB le fecond, CAE le troifiéme, & DAC le quatrième, les lignes du premier feront toutes pofitives; entre les lignes du fecond, celles qui font vers la droite font pofitives, & celles qui montent font négatives; dans le troifiéme, celles qui vont à gauche font négatives, & celles qui defcendent, pofitives; & dans le quatrième, les unes & les autres font négatives. Suppofant 40+a=+1, OL — + b, AE =+c, l'on aura dans les triangles semblables OAL, EAF, AO (+ a ou + 1). OL ( + b) :: A E (+c). EF =+ ; d'où l'on voit comment + multiplié par, donne un produit qui a +

a

Faifant 40+a+1, AE+c, ON——d, l'on aura dans les triangles femblables OAN, EAG, AO (+ a ou + 1). AE(+c) :: ON(d). EG—— _cd.

Comme auffi en nommant KM, (e), on aura à cause des triangles femblables OAN, KAM, AO (+a ou + 1). ON(d)AK M{+e), AK—— de; d'où l'on voit comment multiplié par —, ou par+, + donne un produit quí a -.

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Suppofant encore AR = — ·ƒ, l'on aura à caufe des triangles femblables OAL, QAR,

OL(+b) :: AR (—ƒ). RQ =

a

A(+ a ou +1).

d'où l'on voit en

core comment par—, ou — par +, donne un produit qui a

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Enfin à cause des triangles femblables OAN, RAM, l'on aura A0 ( + a ou + 1). ON(d) :: AR (—ƒ. RM; d'où l'on voit comment

un produit qui a +.

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par

donne

De même dans les furfaces le rectangle AF fait du produit de + AE par + AB, fera pofitif.

Le rectangle AH fait de — AD par + AB, sera négatif. Le rectangle AG fait de + AE par AC, fera négatif, Mais le rectangle AI. fait de AD par- AC, fera pofitif; & du côté oppofé au rectangle négatif AH fait de -DA par + AB. L'on fuppofe dans tous les produits. l'unité pofitive.

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