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D'où l'on voit que les aires qui font dans les côtés oppofés de la ligne qu'on a prife pour terme entre les grandeurs pofitives & les négatives, font l'une positive, & l'autre négative.

On peut aifément appliquer ceci aux produits qui expriment la folidité des corps.

COROLLAIRE.

282. Les deux mêmes lignes DAE, CAB fe coupant au Fic. I.
point A à angles droits, ou en faifant ensemble au point A
tel angle aigu qu'on voudra; qu'on tire la ligne FA I, faisant
au point A avec l'une ou l'autre tel angle aigu OAL qu'on
voudra: Concevant ces lignes prolongées à l'infini, & que
par tous les points de DAE on mene des lignes comme DI,
RQ, OL, EF, &c. paralleles à la ligne CAB, jufqu'à la
rencontre de FAI, & de même par tous les points de CAB
des paralleles à DAE, jufqu'à la rencontre de la même
ligne FA1, comme PQ, CI, KL, BF, &c. On fupposera
la ligne 40+ a, OL=+b; on nommera aussi + x
chacune des lignes comme AE depuis A en defcendant
prises fur AOE, jusqu'à la rencontre de chaque parallele,
comme EF; on nommera + y chaque ligne comme E F
menée par ce point E parallele à AB; mais on nom-
merax chacune des parties AR, AD de la ligne AD,
qui vont en montant & qui fe terminent aux paralleles
RQ, DI, à CBA,& ces paralleles R2, DI feront nom-
mées-y.

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Cela fuppofé, il est évident, à cause des paralleles, que AO (+a). OL (+b) :: A E ( + x). E F (+ y); & par confequent + bx = + ay, &+y+b: Et de même AO(+a).OL(+ b ) :: AD ( — x ) . DI (—y) ; d'où l'on - bx=—ay, &—y=

aura

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bx

a

Il est évident que l'équation y convient à chacune
des paralleles menée de chacun des points de AOE jufqu'à
la ligne ALF; de forte qu'en déterminant la grandeur de
chaque x, comme AE, la grandeur de EF (y) qui lui ré-
pond est déterminée. Il faut entendre la même chofe de
l'équation -y=
par rapport aux paralleles RQ,
Di de l'autre côté.

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bx

1

bx

D'où l'on voit que l'équation indéterminée y = convenant à toutes les paralleles y par rapport aux x qui leur répondent, & en exprimant la grandeur par rapport à ces x correfpondantes; elle détermine le lieu de tous les points de la ligne droite AF qui paffe par toutes les extremités des y, & elle détermine ce lieu de la ligne droite AF par rapport à la ligne AOE. Cela eft caufe qu'on nomme l'équation y = bx le lieu à la ligne droite, ou l'équation à la ligne droite ; & la ligne droite AF eft la ligne à qui convient cette équation, qui étant prolongée en Al eft auffi la ligne à qui convient l'équation —y= bx, qui eft la même que la précedente.

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bx

Dans un lieu, par exemple, exprimé par y=x, & construit geometriquement par la figure EAF, DAI, on nomme le point A où commencent les x pofitives prifes fur AE, & les x négatives fur AD, l'origine : la ligne AE & AD fur laquelle fe prennent les x, fe nomme la ligne des coupées ou des abciffes: les lignes AE, AD, nommées x, s'appellent les coupées ou les abcifles : les paralleles EF, OL, &c. qui font les yi se nomment les ordonnées, & encore les appliquées ; chaque abciffe x & fon ordonnée correspondante y, fe nomment les coordonnées : la ligne CAB menée par l'origine A parallele aux ordonnées, s'appelle la ligne des ordonnées ; & l'on peut concevoir que les y fe prennent fur cette ligne, & rapporter le lieu IAF à cette ligne CAB par le moyen des paralleles KL, PQ, &c. à la ligne DAE ; car l'on aura AK =OL(+b). KL = A0 (a) :: AB =EF EF (y). BF = AE ( x ); d'où l'on déduira BF (x); l'on trouvera de même Pou CI (— x) —— 23.

Dans une équation comme yx, qui exprime le lieu d'une ligne les x, & de même les y marquant des lignes qui vont en croiffant fucceffivement, ou en diminuant fucceffivement; on les appelle grandeurs changeantes ou variables & les grandeurs déterminées, comme AO (a), OL (b), se nomment grandeurs conftantes.

D'où l'on voit que dans les Problêmes de Geometrie, il faut diftinguer les grandeurs variables, les inconnues, les indéterminées, & les déterminées ou connues. Les variables font celles qui dans une figure vont en croiffant ou en diminuant fucceffivement, aufquelles convient un même raport,

& elles font marquées par des inconnues x, y, &c. Les inconnues font les grandeurs qu'on cherche pour la réfolution d'un Problême. Les indéterminées font les grandeurs qu'on met pour en representer d'autres; comme dans x", l'expofant n reprefente les grandeurs qu'on peut mettre à la place de cet expofant, comme 1, 2, 3,,, &c. on avertit quand les grandeurs font indéterminées; l'on a vû dans les livres precedens des exemples des indéterminées. Les grandeurs déterminées, qu'on nomme auffi données & connues, & qu'on nomme conftantes dans les Problêmes où il y a des variables, font les lignes ou figures déterminées, comme font les trois côtés d'un triangle donné, comme font des angles donnés, des triangles, des quarrez connus, &c.

Quand une ligne eft fuppofée tracée fur un plan, fi elle eft indéterminée, on dit qu'elle eft donnée de pofition ; & fi de plus fa longueur est déterminée, on dit qu'elle est donnée de grandeur.

Exemples de l'ufage des calculs de l'Analyse pour découvrir les proprietés des Figures.

AVERTISSEMENT.

L'ANALYSE fuppofe les plus fimples proprietés des figures démontrées par la Geometrie, comme les proprietés des perpendiculaires, des paralleles, des angles, & celles qui ne contiennent pas de rapports ou de proportions; mais elle fert à démontrer toutes celles où entrent les rapports & les proportions, fi ce n'est la feule propofition qui eft le principe de toutes les proportions des lignes & des figures, fçavoir que dans tous les triangles femblables, les côtés oppofés aux angles égaux, qu'on nomme côtés relatifs ou homologues, font proportionels.

le

EXEMPLE I. SUR LES TRIANGLES RECTANGLES. AEB eft un triangle rectangle en E, fon hypothenuse AB FIG. II. est le diametre de la circonference A E B qui paffe par fommet E de l'angle droit; ED eft une perpendiculaire tirée du fommet E fur AB. Pour découvrir les proprietés de ce triangle, on fuppofera AE= a; EB = b; AB = di BDx, ce qui donnera ADdx.

283.

284.

1o. Les triangles femblables AEB, AED, donneront AB (d). AE (a) :: AE (a). AD (d— x); d'où l'on aura la premiere équation dd-dx = aa. Par les triangles fem blables AEB, EDB, l'on aura AB (d). BE (b) :: BE (b). BD (x); d'où l'on déduira la feconde équation dx = Ajoutant ensemble la premiere & la feconde équation, l'on trouvera ddaa bb, c'est à dire, le quarré de l'hypothenufe eft égal à la fomme des quarrés des côtés, qui eft la proprieté des triangles rectangles.

bb.

2o. Les triangles femblables ADE, EBD, donnent auffi, en fuppofant DE = c, AD ( d — x). DE (c) :: DE(c). DB(x); d'où l'on aura dx -xx = 66 ; c'eft à dire le quarré de DE, qui eft moyenne proportionelle entre les deux parties AD, DB de l'hypothenuse ou du Diametre AB, coupées par la perpendiculaire DE, eft égal au rectangle des deux parties du diametre, qui eft une autre proprieté des triangles rectan gles.

Corollaires qu'il faut fe rendre familiers.

I.

285. L'HYPOTHENUSE AB (d) d'un triangle rectangle, peut

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287.

√dd — aa.)

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III.

La perpendiculaire ED (c)=√AD x DB (Vdx-xx);
& fuppofant que le milieu de AB (d) eft au point C, & que
CD=x, l'on aura AD=AC + CD = 1 d
1d +x, &
DB BC-CD=d-x; ce qui donnera ED (c) =
√AD × DB = √ dd — xx. Si l'on fupofe AD=e, DB=f,
ED=c, l'on aura ED (cc) = AD × DB= ef, &c=
Vef.

=

2

IV.

288. Il est démontré dans la Geometrie qu'en tout cercle AEB, fi l'on tire de l'extremité A du diametre AB une corde à un point quelconque E de la circonference, & une autre

corde

2

corde EB de ce point E à l'autre extremité B du diametre, le triangle AEB est toujours rectangle en E; ainsi les expreffions précedentes conviennent à ces lignes du cercle; fçavoir AB2 (dd) = AE2 + BE = aa+bb; & AB (d) =√aa + bb ; & AE (a) = √AB2 — BE2 = √dd — bb; & BE (b) √AB2 — AE2 = Vdd—aa. De même ED2 (cc) =AD × DB = dx — xx, & ED (c) =√dx — xx; mais ― dx-xx + x x = dx ; c'eft

=

2

auffi EB2 = ED2 + DB2 — dx

pourquoi l'on aura BE√dx.

D'où il fuit que fi deux cordes égales BE, Be font en deux differens cercles, nommant dans l'un le diametre AB, d, & DB, x, & dans l'autre le diametre ♪, & la ligne qui répond à BD, %, l'on aura Vdx =√d§; & par confequent dx=d', d'où l'on déduira d . ♪ :: §. x.

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Si l'on fuppofe CD=x, l'on aura ED (c)=√AD × DB √ d + x x 1 d — x = √1⁄2dd — xx, & AD(1⁄2d +x) = D2

CC

( d - x)

AB=

DB

2

Si l'on fuppofe EB =m, AB =d, & DB = x, l'on aura DB (x). EB (m) :: EB (m). AB(d); d'où l'on

déduira DB ( x ) = E(mm), & AB (d)

AB

2

EB

DB

(mm). II

faut se rendre toutes ces expreffions familieres.

V.

L'on peut concevoir de tous les points E de la demi- 28 9. circonference BEA, en commençant au point B & allant de fuite de B par E jufqu'à l'extrémité A, des perpendiculaires comme ED fur le diametre AB; & fuppofant AB =d, chaque perpendiculaire ED=y, & chaque distance BD du point B, jufqu'à la rencontre D de chaque perpendiculaire, égale à x; x; il est évident que chaque DE' (yy) fera égale au rectangle qui lui répond des deux parties du diametre BD × DA=dxxx; ainfi l'équation yy = dx xx convient à chacune de ces perpendiculaires DE. Les extremités E de toutes ces perpendiculaires ED font dans la circonference; c'eft à dire, la circonference passe par tous les points E; ainfi l'équation yy = dx que le lieu de la circonference par rapport au diametre AB; & en déterminant la valeur de x telle qu'on voudra, pourvu

sff

xx mar

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