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qu'elle foit moindre que le diametre AB, on trouvera la valeur de y qui lui répond; & de même en déterminant telle valeur de y qu'on voudra, pourvu qu'elle n'excede pasd, on trouvera la valeur de x qui lui répond, par la * 76. résolution des équations du second degré. * Cela eft cause qu'on nomme l'équation yy = dxxx, ou xx — dx + yy =o, l'équation au cercle, ou le lieu du cercle. Les abcifles x font fur le diametre BA, & B eft leur origine; & les DE (y) font les ordonnées,

V I.

Suppofant toujours AB=d, ED=y, fi l'on fuppofe chaque CD=x, l'on aura DE' (yy)

= ADX DB =

{d+xx1⁄2d — x=dd — xx; ainfi yy = dd

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2

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+yy — 1dd = 0, eft auffi l'équation du cercle, ou le lieu au cercle. L'origine eft au centre C; les abciffes CD (x) font fur le demi diametre CB ou CA, & les ED (y) font les ordon

nées.

VII.

2

290. On peut par le moyen du troifiéme Corollaire, changer l'expreffion d'un rectangle ab en un quarré cc, fans en changer la valeur; il n'y a qu'à mener une ligne droite AB égale à la fomme des lignes AD (a) + DB (b), tracer une demicirconference dont AB foit le diametre, & élever au point D, où elles fe joignent, la perpendiculaire DE, qu'on nommera e jufqu'à la circonference; & l'on aura DE' (cc) = AD × DB (ab). D'où l'on voit que fi l'on avoit xx = ab, ou trouveroit de la même maniere la valeur de x, car faifant AD =a, &DB=b, DE fera égale à x, étant moyenne proportionnelle entre AD (a) & DB (b). Si l'on avoit xx = aa— bb, on trouveroit de même la faifant AD=a+b, & DB —a— en - b, car DE feroit égale à x, puisque DE' (xx) = AD × DB = aa bb, &x= Vaa- bb.

291.

valeur de

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2

On peut encore trouver de cette autre maniere la valeur de x dans l'équation xx — aa — bb. Il faut faire AB=a, = tracer un demi cercle fur le diametre A B (a); & après avoir ouvert le compas de la grandeur de la ligne AE, qu'on fuppofe égale à 6, & mis une des pointes fur l'extremité A, il faut marquer le point E où l'autre pointe coupe

292.

la demi-circonference, & tirer EB, ce fera la valeur de x;
car EB' (xx) = AB2 (aa) — AE2 (bb) ; & x = √aa — bb.

Quand on a l'équation xx = aa + bb, on trouvera la
valeur de x, en faisant un angle droit AEB des deux lignes
AE, EB, dont on suppose la premiere égale à a,& la feconde
égale à 6; puis tirant l'hypothenuse AB par les extremités
A, B de ces lignes, AB fera la valeur de x; car AB2(xx)
AE (aa) + EB (bb) ; & x=√aa → bb.

2

2

VIII

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Refolution geometrique des équations du fecond degré.

PREMIERE MANIERE.

293. TOUTES les équations du fecond degré peuvent se resoudre geometriquement par les Corollaires précedens; c'est à dire, on peut trouver les deux valeurs en lignes de l'inconnue de ces équations; car toutes ces équations peuvent fe réduire à cette formule xx + dx± ce = 0; d, c, e, reprefentent des lignes données dans les Problêmes de ces équations. Or il faut réduire le terme connu ce* à un quar- *2907 ré bb, & la formule fera xx dx + bb = o.. Il faut faire évanouir le second terme, en fuppofant. x = z = {{ d; & l'on aura la transformée z dd bb ; & z = ± √1dd On trouvera la valeur de z par le feptiéme Corollaire, à laquelle ajoutant la ligned, quand le fecond terme a-, & en retranchant d, quand le fecond terme a +; l'on aura la valeur de x.

=

༢.

SECONDE MANIERE.

bb.

294. POUR rendre cette refolution plus distincte, on réduira toutes les équations du second degré à ces quatre formules.

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La feconde racine.

1d+√1dd+bb. x=

2°, xx + dx — bb — 0. x = −1 d + √12 dd + bb. x—

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Pour trouver les valeurs geometriques des deux racines de la premiere & de la feconde formule, dont l'une est

Sff ij

1

Fic.IL. pofitive, & l'autre négative; 1o, on tirera la ligne CD égale à la moitié de la ligne representée par d dans les Problêmes exprimés par ces deux équations; c'est à dire, on fera CD

d. 2°. On élevera la perpendiculaire DE= b. 3°. Du centre C avec l'hypothenufe CE, on tracera la demi circonference AEB, & on prolongera CD de côté & d'autre jufqu'à la circonference; & AD fera la racine positive de la premiere formule, & DB fa racine négative. Et au contraire DB fera la racine pofitive de la feconde formule, & AD fa racine négative.

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CB ou

2

Car+AD=CD (+ 1 d ) + CA ou CE, ou √Dc2 + DE (√dd +bb); ainfi AD=x=d+√dd + bb; & DB= ✦ DE2 ( — √ — dd +bb) + CD CE, ou - VCD2 + DE2(· (+÷d); ainsi DB = x ⇒x=+ 1⁄2 d—dd + bb; & pour la feconde formule, il faut prendre la racine négative du côté de DA, & l'on aura x=- DA=—DC (— 1d) — CA CE (√dd bb); & la positive x = DB = + ✈CB ou +CE ( + √ dd + bb) -CD (d),

ou

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Pour trouver les valeurs des deux racines de la troifiéme & de la quatriéme formule, 1°, il faut faire le diametre AB de la demi circonference AEB =d; ainfi CA ou CE ou CB =d. 2°. Il faut élever BF perpendiculaire fur AB à l'extremité B; & faisant BF = b, mener par F la ligne FE parallele à BA. 3° Abaiffer par le point E où elle rencontre la demi circonference, la perpendiculaire EB au diametre qui le rencontrera en un point D; AD fera la premiere racine pofitive de la troifiéme formule; DB fa feconde racine pofitive. De même AD fera la premiere racine négative de la quatriéme formule, & DB la 2o racine négative. Car x = AD=AC (+ 1⁄2 d ) + CD ou + √ CE2 ED ( + √ dd — bb ) ; · &x=+DB=+CB (+ 1 d) — CD VCE2 ED2 ( — √ dd — bb). Pour la quatrième formule, la premiere racine négative eft x=-AD-CA ( — 1d) -CD ou ·√CE2 - (√dd

ou

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2

2

ED2 ( — √ 1⁄2 dd — bb ) ; & la feconde racine négative x=- -DBCB (→ 1d) +CD (+√ dd — bb),

REMARQUE.

295. QUAND dans la refolution des deux dernieres formules BF (b) surpasse CB (d) la parallele FE au diametre AB (b) ne peut pas rencontrer la demi- circonference; & dans ce cas le Problême eft impoffible, c'est à dire il renferme contradiction; ce qui fait voir le parfait raport de l'Analyse à la Geometrie, car dans ce cas où b furpaffed, bb furpaffe 4dd; & √ dd — bb eft une grandeur imaginaire, ainfi dans ce cas les deux racines de la troifiéme & de la quatrième formule font imaginaires.

Dans le cas où BF (b) — CD (d), la parallele FE ne rencontre la demi-circonference qu'en ce point E, d'où menant la perpendiculaire ED (b), elle tombe au centre C; alors les deux racines font égales, & valent chacune AC(d); dans ce cas vdd—bb=0 ; & chaque racine eft égale à d.

EXEMPLE II.

296. ABDE est un quadrilatere infcrit dans un cercle, pour y FIG. III. trouver des triangles femblables qui faffent découvrir les proprietés qui lui conviennent; il faut tirer les diagonales AD, BE, & la ligne DF qui faffe au point D l'angle EDF égal à l'angle ADB ; & l'on aura, 1°, le triangle ADB semblable au triangle EDF ; car l'angle ADB est égal par la fuppofition à l'angle EDF, & les angles DAB, DEF font égaux, ayant chacun pour mesure la moitié de l'arc BD. 2o. Les triangles ADE, BDF font auffi semblables, parceque les angles ADE, BDF font égaux, contenant chacun les angles BDA, EDF égaux par la fuppofition ; & de plus l'angle commun FDA, & les angles DAE, DBF font auffi égaux, ayant chacun pour mefure la moitié de l'arc DE.

Suppofant à prefent AE= a, AB=b, BD = c, DE
=d, AD=e, B E = f, FE = x; par confequent BF
= BE (f) — FE (x). L'on aura à caufe des triangles fem-
blables ADB, EDF, AD(e). DE (d) :: AB (b). EF ( x ) ;
d'où l'on déduira cette premiere égalité ex =
bd. L'on aura
auffi à cause des triangles femblables ADE, DBF, BF
(f-x), AE (a) :: BD (c). AD (e); d'où l'on déduira
cette feconde égalité ef—exac. Ajoutant ces deux ega-

sff új

x

litez, on trouve AD × BE (ef) = AE × BD (ac) + AB × DE (bd); c'est à dire qu'en tout quadrilatere infcrit au cercle le rectangle des diagonales AD × BE (ef), eft égal à la fomme des rectangles des côtés oppofes AE × BD+AB × DE (ac + bd), qui eft une proprieté de ce quadrilatere qui fert dans la trigonometrie.

EXEMPLE III.

FIG. IV. PARTAGER une ligne donnée AB (a) en deux parties AC, CB, en forte que la Partie AC foit moyenne proportionelle entre la ligne entiere AB & la partie CB.

297.

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Soit la partie inconnue que l'on cherche AC=x, ainfi CB=a — x ; & par les conditions du Problême l'on aura AB(a). AC ( x ) :: AC ( x ) . C B ( a − x ); d'où l'on déduira l'équation aa ax = xx, ou xx + ax ad= 0. On trouvera la valeur pofitive de x ——— a + √ — aa + aa, ou — — a + √ aa, en faisant (fig. 2.) CD = a, la perpendiculaire DE = a; traçant du centre C avec l'hypothenufe CE prife pour rayon l'arc BE, & prolongeant CD jusqu'à l'arc en B, car DB fera-x=+CBou+CE (+Vaaaa) — CD ( — — a) — AC (fig. 4.) que l'on cherchoit..

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=

=

AVERTISSEMENT.

CES Exemples fuffifent pour faire voir l'usage de l'Analyse dans la Geometrie fimple; il fera plus utile de faire voir l'ufage de l'Analyse dans les sciences Phyfico-mathematiques qui fervent à perfectionner les Arts, & dans la Geometrie compofée, c'est à dire, dans la science des lignes courbes.

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