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SECTION II.

Où l'on fait voir l'ufage de l'Analyfe dans les fciences
Phyfico-mathematiques qui fervent à perfectionner

les Arts.

Usage de l'Analyse pour refoudre les Problêmes de l'art de jetter les Bombes.

Principes que l'on fuppofe pris des traités du mouvement.

DEFINITIONS.

=

I.

298. ON fuppofera la masse du mobile =m, sa vitesse = v, la longueur parcourue = 1, le temps employé à parcourir cette longueur =t. Quand il y aura differentes masses, viteffes, longueurs, temps, on marquera les maffes differentes par des m differentes, & de même les viteffes, les longueurs & les temps.

299.

300.

II.

La quantité du mouvement est le produit de la maffe par la vitelle, c'est à dire mu; mais pour ne pas multiplier les difficultés, on ne confiderera dans la fuite qu'un même mobile, ainfi la quantité ou la force du mouvement sera sa viteffe.

III.

Le mouvement égal ou uniforme eft celui dont la viteffe demeure la même pendant la durée du mouvement. Le mouvement acceleré eft celui qui à chaque instant de fa durée reçoit une nouvelle augmentation de vitesse; le mouvement retardé, celui qui perd à chaque inftant une partie de la viteffe qu'il avoit : Le mouvement uniformement ou également acceleré ou retardé, celui qui à chaque inftant reçoit une égale augmentation ou perd une égale quantité de fa viteffe. Comme on ne parlera ici que du mouvement acceleré ou retardé de cette derniere maniere, on le nommera fimplement mouvement acceleré ou retardé.

SUPPOSITIONS QU'IL FAUT SE RENDRE FAMILIERES.

I.

Pour comparer ensemble les mouvemens uniformes.

301. DANS les mouvemens uniformes la vitesse est égale à la longueur parcourue divisée par le temps employé a la parcourir, z=÷; par consequent = {,&l=tu.

302.

303.

Par confequent quand les mouvemens uniformes font differens, V. u :: 1 :: :: Lt. IT ; & F.t. Lu. ιν L V IV :: 4. 1 ; & L. ITV.tu: 7.7. Τ พ

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T t

T

T

::

Il fuit de là, 1o, que quand v=u; // u;==÷, & L. l :: T.t, ce qu'il faut bien remarquer, & que Lt = IT. 304. 2o. Que quand T = t; L.:: V.u, ce qu'il faut bien remarquer, & que LulV.

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305. 3°. Que quand L = l; V. u :: t. T, & que VT=ut.

I I.

Sur la pesanteur.

306. La pefanteur, dont on n'examinera point ici la cause, fait qu'un corps pefant en defcendant librement depuis le repos, acquiert à tous les inftans de la chute des degrés égaux de vitesse. L'on n'aura ici nul égard à la resistance de l'air, l'experience faisant connoître qu'elle n'apporte pas de changement confiderable à un corps tres pefant comme l'est une bombe. C'est pourquoi on fuppofera que les degrés de viteffe que le corps pefant acquiert pendant chaque inftant de fa chute, fe confervent entiers dans les inftans fuivans de la chute, pendant lefquels le même corps en acquiert toujours de nouveaux. De forte que partageant la durée de la chute en trois temps égaux, dont chacun foit =t, le premier degré de viteffe s'acquiert depuis le repos jufqu'à la fin de it, & il est tout acquis à la fin de it, & il demeure entier dans les deux temps fuivans; pendant le second temps

le

corps pefant acquiert un second degré de vitesse égal au premier, & ce fecond degré est tout acquis à la fin de 2t; & le mobile a deux degrés de vitesse acquise à la fin de 2t. Le troifiéme degré de viteffe s'acquiert pendant le troifiéme temps, & il est tout acquis à la fin de 3t, & alors le corps pefant a trois degrés de vitesse acquife.

Sur

307. LES

III.

Sur les mouvemens accelerés.

Es longueurs parcourues par un même corps qui defcend librement, prifes chacune depuis le repos, font entr'elles comme les quarrés des temps employés à les parcourir; elles font auffi entr'elles comme les quarrés des viteffes acquises à la fin des temps employés à parcourir ces longueurs.

Par exemple un corps pefant tombant librement depuis FIG. V. le repos A, parcourt AB pendant it; AC pendant 27; AD pendant 35 AE pendant 4t. La viteffe acquise à la fin de it eft u ; à la fin de 2t, elle eft zu ; à la fin de elle eft zu ; à la fin de 37, elle eft 34 ; à la fin de 4t, elle eft 4u.

3u

AB. AC: Itt. 4tt :: xuu . 4uu. De même AC. AD :: 4tt. 9tt: 4uu. 9uu. De même AD. AE :: 9tt. 16tt :: 9uu. 16uu. De même AC. AE :: 4tt. 16tt :: 4uu. 16uu, &c.

Ainfi nommant Z une longueur parcourue depuis le repos; 7, le temps employé à la parcourir, V, la vitelle acquife à la fin de ce temps, & / une autre longueur parcourue depuis le repos, t, le temps employé à la parcourir, u, la viteffe acquife à la fin de ce temps; on aura cette expreffion generale de la troifiéme fuppofition L. l :: TT. tt :: VV.

นน.

COROLLA IR E.

u

308. D'où il fuit que dans les mouvemens accelerés V. « :: VL
.:: T. t. Par confequent dans les mouvemens accelerés
on peut exprimer les viteffes par les racines des longueurs.
parcourues depuis le commencement, ou depuis le repos;
on peut
auffi exprimer les temps par les racines des mêmes
longueurs; puifque ces viteffes font entr'elles, & ces temps
entr'eux comme les racines de ces longueurs; ainsi =√;
u =√l, & de même TVL, t=√l.

309. U

IV.

Sur les mouvemens retardés.

N corps pefant qui eft pouffé verticalement de bas en haut avec une viteffe quelconque toute acquife, perd à chaque inftant de la montée un degré de fa viteffe égal à celui qu'il acquiereroit à chaque instant en defcendant, jufqu'à

Ttt

ce que
l'action de la pefanteur lui ait fait perdre au dernier
instant de la montée le dernier degré de la viteffe avec la-
quelle il avoit été pouffé en haut; après quoi il retombe
librement par l'action de la pefanteur. Les longueurs que
les viteffes qu'il perd (en partageant en temps égaux la durée
de la montée) l'empêchent de parcourir, prifes depuis le
commencement, font entr'elles comme les quarrés des
temps, & auffi comme les quarrés des viteffes perdues ;
c'est à dire, nommant → Z la longueur prife depuis le com-
mencement de la montée, qu'empêche de parcourir la
viteffe perdue au corps pefant pouffé en haut, pendant
le temps T, est à une autre longueur —/prife auffi depuis
le commencement qu'empêche de parcourir la viteffe per-
due ❝ pendant un autre temps t, comme TT à tť,
comme à uu; ainfi -L.-L: TT, tt :: VV.uu; &
-VI.-VL :: - V - 16 :: T. t.

V:

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::

tt, &

Pour comparer les mouvemens accelerés & retardés avec
les uniformes.

310. U

N corps pefant étant defcendu depuis le repos pendant un temps quelconque 7 de la longueur Z en acquierant la viteffe ; fi dans le même temps 7, il eft mû uniformement felon une direction quelconque, foit verticale, soit horizontale ou inclinée avec la même viteffe toute acquife, il parcourera une longueur 2Z double de la premiere L. On peut appliquer la même propofition au mouvement retardé.

COROLLAI-R E S.

I.

11. POUR réduire les mouvemens accelerés ou retardés aux uniformes, il faut prendre les viteffes de mouvemens accelerés toutes acquifes, & les concevoir comme demeurant uniformes ; & fi l'on prend les mêmes temps, il faut doubler les longueurs parcourues par la viteffe qui s'acquieroit dans le mouvement acceleré. Ainfi dans le mouvement acceleré la viteffe qui s'acquieroit faifoit parcourir la longueur L dans le temps T; Pour le réduire à l'uniforme, il faut concevoir que la même viteffe toute acquife fera parcourir Z dans le même temps T,

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I I.

Par confequent la même viteffe toute acquife fera parcourir la même longueur Z dans le mouvement uniforme dans la moitié du temps 7; c'eft à dire, dans le temps T; elle fera, dis-je, parcourir la même longueur Z qu'elle feroit parcourir dans le mouvement acceleré pendant qu'elle s'acquieroit dans le temps entier T. Car puifque la viteffe acquife dans le temps T feroit parcourir 2Z dans le mouvement uniforme; dans le même mouvement uniforme, elle fera parcourir Z moitié de 2Z dans 7, qui n'eft que la moitié du temps T, pendant lequel la même longueur Z feroit parcourue dans le mouvement acceleré pendant que la viteffe s'acquiert.

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Il faut s'apliquer à concevoir clairement ce fecond Corollaire, & fe le rendre bien familier pour n'être pas embaraffé dans la fuite: car c'eft celui qui n'étant pas bien conçu, feroit de la difficulté au Lecteur.

III.

Si un corps pefant en defcendant librement depuis le FrG. V. repos au point A, & parcourant la longueur AE (L), acquiert la viteffe dans le temps T, & qu'il foit repouffé en haut de E vers A avec la même viteffe toute acquife, il est évident que fa pefanteur lui fera perdre dans un temps égal au premier T fa viteffe V, & que cette viteffe fera détruite par l'action de la pefanteur precifément à la fin du temps T..

IV.

14. Suppofé qu'un corps étant defcendu par le mouvement FIG. V acceleré de fa pefanteur depuis le repos en A, & ayant parcouru la longueur AE (L) en acquierant la viteffe dans le temps T, foit repouffe de E vers A avec la même viteffe toute acquife, & remonte par un mouvement retardé à caufe de fa pefanteur, il remontera precifément à la même hauteur dans le même temps T qu'il avoit employé à def cendre, c'est à dire, il parcourera en remontant precifément la même hauteur EA(L) dans le même temps T, & il ne: fçauroit remonter plus haut. Car avec la viteffe toute acquife il remonteroit 2Z dans le temps 7*, fi elle demeuroit uniforme, & que le mouvement ne fût pas retardé par la pefanteur; mais la viteffe dans le temps 7 étant entierement détruite par le Corollaire précedent, la viteffe perdue

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