t dans le temps T est - égale à la viteffe pofitive +V,& la longueur -que la vitelle - empêche de parcourir en fe perdant par le mouvement retardé, eft à la longueur +Z que la viteffe+feroit parcourir en s'acquierant par le mouvement acceleré, comme le quarré du temps du mouvement retardé au quarré du temps T du mouvement acceleré, & encore comme le quarré de la vitesse -V au *307. quarré de la viteffe + V. * l. + L :: tt. TT :: VV.VV; & comme les viteffes font égales, les temps le font aufsi; &—1=+Z: Par confequent puifque le corps en remontant avec la viteffe acquife V, parcoureroit 2L ou 2 EA dans le même temps T, fi le mouvement demeuroit uniforme, il ne parcourera que Z ou EA dans le mouvement retardé, puifqu'il faut ôter - Z de + 2L, c'est à dire — EA de +2EA ; & fa viteffe étant entierement détruite par la pesanteur à la fin du temps T, haut que EA(L), d'oùi, il ne peut pas remonter plus étoit 315. Un corps pouffé par un mouvement uniforme fuivant telle direction qu'on voudra avec la viteffe qu'il auroit acquife FIG, V. en tombant de la hauteur AE(L) dans le temps T, parcou rera 2Z dans le même temps T, & 4Z dans 27 ; & dans le mouvement retardé s'il eût efté pouffé en haut avec la même vitesse V, il n'auroit remonté pendant le temps T que la hauteur Z, & enfuite retombant par la pefanteur dans le fecond temps Tégal au premier,il auroit parcouru la même hauteur L, & feroit arrivé au point d'où on l'auroit pouffé en haut, c'est à dire qu'avec cette même viteffe dans le temps T de la montée Z du mouvement retardé, le corps parcourera deux fois Z par le mouvement uniforme, & dans le temps de la montée & de la defcente du mouvement retardé & acceleré, il parcourera quatre fois Z par le mouvement uniforme. SIXIE' ME SUPPOSITION. Sur les mouvemens composés. 316. U N Corps A eft pouffé en même temps par deux forces, FIG. VI. l'une fuivant la direction AB, l'autre fuivant AD, qui font l'angle quelconque BAD, de maniere que la vitelle que donne la premiere foit à la viteffe que donne la feconde dans le même temps, comme AB eft à AD; fi l'on acheve le 317. QUAND 318. COROLLAIRES. I. UAND un corps A parcourt l'hypothenufe AC d'un FIG. VII. triangle rectangle ABC d'un mouvement uniforme, fa viteffe peut être regardée comme venant de deux forces qui lui donneroient des viteffes fuivant les deux côtés qui feroient entr'elles comme AB & BC, & qui lui feroient parcourir feparément ces côtés dans le même temps qu'il parcourt AC. I I. Quand un corps A va rencontrer obliquement un plan FIG. VII. ou une ligne BC au point C fuivant AC, en tirant d'un point A pris fur AC la perpendiculaire AB à BC, & prenant AC pour exprimer la force totale ou la viteffe totale du mobile, AB exprimera l'effort de ce mobile contre BC, ou la vitesse avec laquelle il pouffe BC. 319. Le côté BA(a) du triangle rectangle ABC étant fuppofé FIG.VII. vertical, fon côté BC (b) horizontal, & l'hypothenufe AC (c) inclinée fur l'horizontale AK: fuppofant qu'un mobile foit pouffé de A en B avec la viteffe qu'il auroit acquife par le mouvement acceleré en tombant depuis le repos de la hauteur BA dans le temps T, & parcourre d'un mouvement uniforme AB avec cette viteffe acquise =√AB*(√a) dans le temps T*: Trouver, 1°, de quelle hauteur, qu'on nommera x, il devroit tomber pour acquerir la viteffe Vx*, avec laquelle il parcourera d'un mouvement uniforme le côté horizontal BC (6) dans le temps. T. 2°. De quelle hauteur, 2 * * * 308. 312. 308. qu'on nommera y, il devroit tomber pour acquerir la vitesse 308. ✔y*avec laquelle il parcourera d'un mouvement uniforme l'hypothenufe AC (c) dans le même temps T. Refolution. Le temps étant égal, c'est à dire 4T, 1°, AB(a). 3o4. BC (b) :: VAB (√a) . √x*. Donc a√x = b√a,&√x= &x= bb = Ce qu'il falloit premierement trouver. a BCX BC ba a *304. 2°. AB(a). AC(c) :: VAB (Va). Vy*. Donc a√y = c√a, &√y=ca, &y=" Ce qu'il falloit fecondement FIG. VII, trouver.. ACX AC Refolution geometrique. Il faut mener par le point C, CH perpendiculaire à AC, & le point Hoù elle rencontrera *288. AB prolongée, déterminera, 1o, BH= 288. 2°. HA* : = сс — ACX AC = (=y.. COROLLAIRE. bb * BCX BC = x. a AB 320. Si l'on tire dans un demi-cercle ACEGH, dont le diameFIG. VIII. tre HA eft vertical, de tous les points C, E, G de la demicirconference des perpendiculaires CB, ED, GF, &c. au diametre HA, & les cordes CA, CH; EA, EH; GA, GH, &c. de chacun de ces points aux extremitez du diametre, on aura autant de triangles rectangles qu'il y a de points dans la demi-circonference; & ce que l'on a dit du triangle rectangle ABC, convient à chacun de ces triangles. = Ainfi nommant d le diametre HA; x, chacun des côtés. verticaux AB, AD, AF, &c. de tous les triangles, le refte: du diametre HB, HD, HF, &c. fera = d — x; chacune *288. des hypothenuses AC, AE, AG, &c. fera = √dx*; chacun * 287. des côtés horizontaux BC, DE, FG, &c. fera — √dx— xx.* La viteffe acquife par le mouvement accelere dans le temps T pour faire parcourir chaque côté vertical x d'un mouve312. ment uniforme dans le temps 7, fera Vx*; Vd-x fera la viteffe pour faire parcourir chaque côté horizontal Vdx-x dans le même temps T ; & Vd fera la vitefle pour faire parcourir dans le même temps T chaque hypothenufe Vdx.. I Application de ces principes à l'art de jetter les Bombes. DEMAND E. 321. Si une Bombe étoit jettée verticalement par un mortier FIG.VIII. fuivant la ligne verticale ABH avec quelle force de poudre on voudra, il est évident que quand la bombe feroit montée N DEFINITION. 322. On prendra pour la mesure de la force de la poudre ou de la F10.VIII. viteffe qu'elle donne à une bombe fuivant quelque direction AC, AE, AG, &c. que ce puiffe être, la hauteur HA d'où il faudroit que la bombe tombât librement depuis le repos pour acquerir par cette chute une viteffe égale à celle avec laquelle elle eft pouffée par la force de la poudre. On l'appelle auffi la force du jet. COROLLAIRE. 323. EN prenant le diametre HA ( qu'on suppose vertical) du FIG.VIII. demi cercle HGECA pour representer une force quelconque de poudre, toutes les cordes AC, AE, AG, &c. menées à tous les points de la demi - circonference, representeront toutes les inclinaifons qu'on peut donner au mortier sur l'horizontale AK, & par confequent les directions de tous les jets obliques qu'on peut faire par cette force de poudre. Nommant à la hauteur HA; x, le côté vertical AB, AD, AF, &c. des triangles rectangles ABC, ADE, &c. qui ont pour hypothenuses les jets obliques AC, AE, AG, &c. faits par une même force de poudre HA; les reftes du diametre "BH,DH,FH, BH, DH, FH, &c. feront exprimés par d-x; les côtés horizontaux des triangles comme BC, DE, FG, &c. par Ndx -xx; & les cordes AC, AE, AG, &c. par Vdx. La viteffe que la force de la poudre donne par chacune des cordes AC, AE, &c. eft VHA (Vd) qui demeure uniforme fuivant la direction de la corde pendant tout le jet. Et comme cette viteffe uniforme eft fuivant l'hypothenufe Vdx d'un triangle rectangle,* elle peut être regardée comme * venant de deux forces qui imprimeroient à la bombe l'une une vitefle uniforme fuivant le côté vertical du triangle qui 3178 eft reprefenté par x, & l'autre une viteffe auffi uniforme suivant le côté horizontal ✔dx -xx; & ces deux viteffes, pour faire parcourir chacune leur côté dans le même temps, doivent être l'une à l'autre comme ces côtés, c'est à dire, comme x eft à Vdxxx. Afin que ces deux viteffes ayent entr'elles ce raport des côtés, la viteffe uniforme par le côté vertical x, doit être égale à celle que la bombe auroit acquife 319. en defcendant depuis le repos de la hauteur x*, ainsi la vitesse uniforme par le côté x est égale à Vx; & demeurant uniforme par ce côté x, elle doit le faire parcourir dans la moitié du temps T que la bombe employeroit à tomber de la hau. teur x; & la viteffe uniforme par le côté horizontal Vdx — xx, doit être égale à celle que la bombe auroit acquife en tombant depuis le repos de la hauteur du refte du diametre * 319. d — x*: ainfi la vitesse uniforme qui fera parcourir le côté horizontal, fera exprimée par vd —x. & que La viteffe Vd fera donc parcourir la corde Vdx, dans le même temps que la viteffe Vx fera parcourir le côté vertical x & que la viteffe vdx fera parcourir le côté horizontal Vdx -xx, en les fuppofant toutes trois uniformes, que le temps pendant lequel elles font chacune parcourir les trois lignes qui leur conviennent, eft la moitié du temps la bombe employeroit à defcendre depuis le repos de la hauteur du côté vertical x. Par confequent dans ce temps entier ces trois viteffes feront parcourir par un mouvement 310. uniforme le double des lignes du triangle rectangle*; & en deux fois ce temps entier, le quadruple de ces mêmes lignes; c'est à dire dans le temps de la chute accelerée, ou de la montée retardée par x, elles feront parcourir par un mouvement uniforme le double de ces trois lignes; & dans le temps de la montée & de la chute, le quadruple de ces mêmes lignes. On doit fe rendre ces chofes familieres pour entendre facilement les Problêmes fuivants. 324. LA force de la poudre HA étant donnée, par exemple, FIG. VIII. de 400 toises, trouver pour telle inclinaifon qu'on voudra donner au mortier qu'on fuppofe au point A, 1o, la distance AO fur l'horizontale AK qui eft depuis le mortier jufqu'au point O |