point O qui eft dans la verticale ONM où la bombe eft pendant le jet au point le plus élevé. 2o. Trouver la distance horizontale AK depuis le point A jusqu'au point K où la bombe retombera fur l'horizontale AK.

Pour refoudre ce Problême, je remarque, ro, que la force du jet étant donnée, HA (d) eft connue ; & concevant HA divifée en 400 parties égales, elle reprefentera la force du jet. Prenant une inclinaifon du mortier déterminée comme l'angle CAK que fait le mortier avec l'horizon AK, la pofition de la corde AC eft donnée, & par confequent le point C où elle rencontre la demi-circonference; ainfi le côté vertical AB (b), l'horizontal BC (Vdb — bb,) l'hypothenuse AC(db) du triangle rectangle ACB, font donnés. 2°. Que la vitesse par l'oblique AC eft VHA (Vd), qui demeure uniforme pendant le jet; que la viteffe par l'horizontale BC ou Vdb - bb, eft VHA BA(db); & que la vitesse par la verticale AB ou 6, est VAB (Vb). 3°. Que la moitié du temps 7 que la bombe employeroit à defcendre AB par le mouvement acceleré, ou à monter AB dans le mouvement retardé, cette moitié, dis-je, T eft le temps pendant lequel dans le mouvement uniforme ces trois lignes du triangle rectangle ABC font parcourues par les viteffes qui leur conviennent; ainfi dans le temps entier T de la montée de la bombe à l'endroit le plus haut du jet, les mêmes viteffes feront parcourir le double de ces trois lignes par le mouvement uniforme, & dans le temps 27 de la montée & de la defcente de la bombe au point K de l'horizontale, elles feront parcourir le quadruple de ces trois lignes.

T

T

2

Refolution. Soit la distance inconnue 40=2, & la distance inconnue AK = s; l'on aura, 1o, la longueur horizontale inconnue AO (z) est à la verticale 2BA(2b), toutes deux parcourues par un mouvement uniforme dans le temps entier T, qui eft celui où la bombe doit monter au point le plus élevé du jet; comme la viteffe par l'horizontale qui eft Vd — b, est à la viteffe par la verticale qui eft vb. L'on aura donc z√b=2b√d—b; par confequent 40(2) — 2√db — bb =*2BC. L'on aura, 2o, la distance horizontale inconnue * 288.. AK(s) eft à la verticale 4AB (46) parcourues l'une & l'autre

d'un mouvement uniforme pendant 27 qu'il faut à la bombe pour monter & enfuite retomber au point K; comme la viteffe par la premiere qui eft vdb, eft à la viteffe par la feconde qui eft vb. Donc svb-4b√d—b, &s= 4√db — bb *288. *4BC.

En marquant AB par une indéterminée x, on aura AO(z) =2√dx-xx ; & AK (s) = 4√dx — xx.

COROLLAIRE S.

I.

325. D'où l'on voit que la distance horizontale AK depuis le mortier A jufqu'au point K où tombe la bombe de chaque jet (ce qu'on nomme l'étendue du jet) est toujours quadruple du côté horizontal BC, ou DE, ou FG, &c. du triangle rectangle qui répond à ce jet; & que la distance A40 fur la même horizontale jusqu'à la verticale qui paffe par le point le plus haut de chaque jet, eft double de ce même côté horizontal.

326.

I I.

Par confequent dans le demi cercle HGECA, le diameFIG. VIII, tre HA étant pris pour une force de poudre quelconque, toutes les perpendiculaires CB, ED, GF, &c. ménées des cordes AC, AE, AG, &c. qui marquent toutes les directions du mortier; ces perpendiculaires, dis-je, feront chacune le quart de l'étendue du jet qui lui convient par raport à cette même force de poudre, & elles feront la moitié de la diftance horizontale qui eft depuis le mortier jufqu'à la verticale qui paffe par le point le plus haut du jet.

327.

III.

Comme le demi diametre DE eft plus grand qu'aucune des perpendiculaires BC, FG, &c. & que DE convient au jet fuivant la corde AE qui fait l'angle d'inclinaison EAK de 45 degrés, de tous les jets qui fe peuvent faire par la même force de poudre, celui qui fe fait, le mortier étant incliné 45 degrés fur l'horizon, a la plus grande étendue, c'est à dire, a la plus grande portée : & cette étendue étant quadruple du demi diametre, eft double du diametre, c'est à dire, la force HA du jet eft la moitié de l'étendue du jet de 45 degrés.

de

Et comme les perpendiculaires FG, BC, qu'on fuppofe également éloignées du centre D, font égales; tous les jets poffibles qu'on peut faire avec la même force de poudre, ont deux à deux une égale étendue, l'un au deffous de degrés, & l'autre autant au deffus de 45 degrés que le premier eft au deffous. Il n'y a que le jet de 45 degrés qui a la plus grande étendue, qui foit unique.

45

328. UN mortier ou un canon étant pointé de but en blanc, Fie.VIII.

c'est à dire dans une direction BC horizontale au deffus d'une
tour dont la hauteur reprefentée par AB (b) foit connue
par exemple de 10 toifes au deffus d'une plaine horizontale
reprefentée par AO; fuppofé qu'on tire une bombe ou un
boulet avec une force donnée de poudre representée par
HA(d); trouver la distance horizontale AO (2) où tom-
bera la bombe ou le boulet fur l'horifon..

La viteffe du jet, c'est à dire la vitesse de la bombe par P'horizontale BC (Vdb — bb, eft ici Vd*; la vitesse verticale * 320. qu'acquierera la bombe par fa pefanteur en tombant pendant le jet de la hauteur AB (b), eft vb; & cette viteffe lui feroit parcourir dans le temps 7 par le mouvement uniforme 2AB (2b). On aura donc,la viteffe du jet vd eft à la vitesse verticale vb acquife par la defcente de la bombe de la hauteur BA dans le temps T; comme la longueur horizontale courue par le mouvement uniforme avec la viteffe Vd,laquelle longueur est 40 (z), est à 2AB ( 26 ) qui eft la hauteur verticale que la viteffe V6 lui feroit parcourir par le mouvement uniforme; ce qui donnera zb 2b√d, &z=2√db 2√HA× BA= 2AC*. Ce qu'il falloit trouver.

par

Les Problêmes fuivants contiennent la pratique de l'art
de jetter les bombes.

329. TROUVER par un feul jet de bombe, à telle inclinaison du mortier qu'on voudra, la force du jet, & par confequent l'étendue où la portée de tous les jets poibles par cette même charge de poudre.

* 288.

I. CAS. Quand on eft dans une plaine. FIO, VII. IL faut donner au mortier l'inclinaison CAK qu'on voudra, & lui donner auffi la charge quelconque de poudre dont on voudra trouver la force, & la remarquer; & aprés avoir jetté une bombe, remarquer le point K fur l'horizontale AK où elle fera tombée, & mesurer la distance horizontale AK, qu'on fuppofe, par exemple, de 1000 toifes; le quart de la portée AK, qui eft dans l'exemple 250 toifes, fera le côté horizontal BC d'un triangle rectangle ABC qui convient à ce jet: Ainfi l'on connoît dans ce triangle rectangle ABC, le côté horizontal BC de 250 toifes ou parties égales, l'angle ACB égal à l'angle d'inclinaison du mortier qu'on a choifi, & l'angle droit ABC ; le côté vertical BA & l'hypothenufe AC feront donc connus par la trigonometrie, ou en faisant un triangle rectangle femblable; & cela fuppofé,

La figure feule fait voir qu'il n'y a qu'à faire AB. AC :: 322. AC. AH, & AH fera la force du jet*. Mais pour faire voir l'ufage de l'Analyse, voici la refolution analytique. Soit la force du jet que l'on cherche, AB = b, BC=c,

320.

z

AC=c.

La vitesse par AC (e) est √z*; la vitesse par AB (b) est √b. * 304. L'on aura donc,* √z. Vb :: AC ( e ). AB (b) ; par confequent

FIG. VIII.

BA

2

bvz = e√b,
AC
e√b, &z= =
AH; ainfi mettant le
nombre des toises, qui font les valeurs de b & de e, à leur
place, on aura le nombre des toifes de HA qui eft la force
du jet que l'on cherchoit. Et tirant par C la perpendiculaire
CHà AC jufqu'à la rencontre H de BA prolongée, HA
fera la ligne qu'on cherchoit qui exprime la force du jet.

Faifant HA le diametre d'un demi - cercle, & menant à tous les degrés les cordes AC, AE, AG, &c. & tirant les perpendiculaires horizontales CB, ED, GF, &c. les cordes marqueront les directions de tous les jets poffibles par cette force; les horizontales marqueront le quart de l'étendue de ces jets, & le diametre HA fera la moitié de l'étendue du jet de 45 degrés. Ce qu'il falloit trouver.

II. CAS. Quand on eft fur un terrain inégal, & que la bombe tombe fur une hauteur ou dans un lieu plus bas que le mortier.

FIG. IX. LE mortier foit en A, l'horizontale qui paffe par A eftARK;

on donnera au mortier telle inclinaifon CAK qu'on voudra, mais quand on l'aura choisie, elle est déterminée & connue; on donnera auffi au mortier la charge quelconque de poudre dont on voudra trouver la force, il faudra la remarquer; il faudra enfuite jetter une bombe avec cette charge; & fuppofé qu'elle tombe fur le lieu Q plus élevé que le mortier, ou au lieu q plus bas que le mortier en A, il faudra mesurer la distance A2 ou Aq, l'angle 2AR ou qAR, ce qui donnera l'angle PA2 ou PAq; il faudra trouver par la Geometrie pratique la verticale QR ou qR, l'horizontale AR & PR; ce qui donnera auffi PQ ou Pq. Ces chofes fuppofées, on trouvera ainfi l'étendue du jet qu'on fuppofe être AK ou Ak, aprés avoir tiré la verticale KS ou ks jusqu'à la rencontre de AC prolongée.

Soient les connues ARr, QR ou qR = q, PR=p, PQ=p-q, ou Pqp+q; l'inconnue AK ou Ak=2; on aura, à caufe des triangles femblables, ARP, AKS, ou Aks; AR (r). PR(p) :: AK ou Ak (z). KS ou ks — Pz.

La viteffe de la bombe, fuivant la direction inclinée ACPS, eft uniforme, comme auffi la viteffe fuivant l'horizontale ARK, ainsi cette viteffe horizontale demeurant la même, les temps employés à parcourir AR, AK ou Ak, sont comme ces longueurs AR (r) & AK ou Ak (z), & on les peut prendre pour marquer ces temps; mais dans le temps que la bombe auroit parcouru AR(r), la viteffe qu'elle a perdue par sa pesanteur suivant la direction verticale, l'a empêchée de parcourir PQ ou Pq (p+q), puifqu'on fuppofe qu'elle eft tombée en 2 ou en q; & dans le temps qu'elle auroit parcouru l'étendue AK ou Ak (z), la viteffe perdue l'auroit empêchée de parcourir la verticale SK ou sk(), ce qui donne *PQ (p −q) ou Pq (p + q). SK ou sk (†3) :: AR2 ( r). *309. Ak2 ou Ak2( 23 ) ; d'où l'on déduira AK ou ak (2): = c'est à dire PQ ou Pq (p −q). PR (p) :: AR(r). A K ou Ak = z = !! Ce qu'il falloit trouver.

pr

2

pr

L'étendue AK du jet étant connue, on trouvera la force HA du jet, & l'étendue de tous les jets poffibles par cette force de poudre, comme dans le premier cas.

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