III. CAS. Quand on eft fur une hauteur comme une tour ou un FIG.VIII. ON donnera au mortier, qu'on suppose en B fur la hauteur AB, dont la direction eft fuivant l'horizontale BC, la charge de poudre dont on voudra trouver la force, & il faudra la remarquer, comme auffi le point ( où l'on fuppofe que tom bera la bombe fur l'horizontale 40; & mefurer la hauteur AB, qu'on nommera 6, & l'horizontale AO, qu'on nom mera a. Pour trouver la force du jet HA, qu'on nommera x, on fera ce raisonnement: La viteffe acquise par la chute de HA(x) qui eft Vx, eft à la viteffe acquife par la chute de AB (b) qui eft Vb; comme la longueur horizontale 40 (a) parcourue par la premiere d'un mouvement uniforme, est à deux fois la hauteur BA ou 2BA (2b) que la feconde auroit fait parcourir à la bombe d'un mouvement uniforme dans le temps qu'elle eft defcendue par fa pefanteur d'un mouvement acceleré de la hauteur AB ou NO; d'où l'on déduira 2b√x— a√b, & x = 44; ce qui donne, BA(b). AO (a) :: A0 (a). AH = x=4. Ce qu'il falloit trouver. La force du jet étant découverte, on trouvera, comme dans le premier cas, l'étendue de tous les jets poffibles par cette force. REMARQUE. N peut par ce quatrieme Problême trouver la force de toutes les charges de poudre, la plus grande étendue de chacune de ces forces, qui eft double de la force, & les étendues de tous les jets poffibles par chacune de ces forces, & en faire une table. 330. FAIRE tomber une bombe fur l'endroit qu'on voudra, avec une charge de poudre telle qu'on voudra choifir, dont la force eft fupposée connue par le quatrième Probleme; pourvu que cet endroit ne foit pas hors de la portée de la force de la poudre dont on veut fe fervir, ce que la refolution analytique fera méme connoitre. I. CAS. Quand l'endroit où l'on veut faire tomber la bombe LA question fe reduit à trouver l'inclinaison CAK qu'il FIG.VIII. Soit la force connue du jet HA=d, la distance horizontale auffi connue AK = b; par confequent le côté horizontal BC=*AK=h. Soit le côté vertical que l'on * cherche BA=x, d'où l'on aura HB = d x. I 16 325. 320. 320. Resolution. La vitesse par l'horizontale AK (h), qui est Vd-x*, fera parcourir cette horizontale AK (b) par un mouvement uniforme dans le temps que la bombe montera à la plus grande hauteur du jet qui est égale à AB(x),& defcendra de la même hauteur jufqu'à l'horizontale à l'endroit K, c'est à dire, dans le temps que la vitesse par la verticale AB ( x ) qui est √x*, lui feroit parcourir d'un mouvement uniforme 4AB (4x); par consequent vd — x . √x :: AK(h). 4ÁB (4x); d'où l'on déduira xxdx + 1 bh = o. Les deux valeurs de x dans cette équation font pofitives; la premiere eft * x=d+√dd—bh; la feconde, *76, x = d Vdd bh; ce qui fait voir qu'il y a deux inclinaisons du mortier par lefquelles on feroit tomber la bombe au même endroit K de l'horizontale AK, & on les trouvera en mettant dans ces valeurs de x à la place de d & de h, les nombres de toises qui leur font égaux; car HA F1G. VIII, & BA étant connues, le triangle rectangle ABC eft connu, & la position de la corde AC qui eft la direction du mortier. I 16 REMARQUES. ON N trouveroit la même refolution par la feule proprieté de = I I. Quand db, c'est à dire quand la force du jet HA(d) eft égale à la moitié de l'étendue AK (h), les valeurs de BA(x) font la feule grandeurd, c'est à dire HA, ce qui convient à l'inclinaifon de 45 degrés. III. Il est évident que le Problême eft poffible dans tous les cas où 4b eft moindre qued, ou eft égale à d; ou, ce qui 14 eft la même chofe, quand eft moindre que d ou égale à di h & qu'il eft impoffible dans tous les cas où h furpaffe d, c'est à dire, quand le point K eft hors de la plus grande portée *327. ou de la plus grande étendue du jet qui est égale à 2d.* A SECOND CAS DU CINQUIE ME PROBLEME. Quand l'endroit fur lequel on veut jetter la bombe est plus élevé ou plus bas que l'horizontale qui passe par le mortier, comme quand on veut la jetter fur le flanc d'un baftion, fur une tour, fur quelqu'endroit d'un fort qui eft fur une montagne; ou quand le mortier eft lui-même fur une montagne.. A FLG.IX. La question se réduit, comme au premier cas, à trouver LA le côté vertical AB du triangle rectangle ABC, qui fera connoître la direction de la corde AC qu'il faut donner au mortier pour faire tomber la bombe, avec la force de dre HA qu'on fuppofe connue, fur l'endroit 2, qu'on fuppofe élevé fur l'horizontale ARK qui paffe par le mortier A, ou fur l'endroit q plus bas que le mortier. pou Pour trouver BA, il faut mefurer l'angle 2AR ou qAR, & trouver par la Geometrie pratique l'oblique AQ, la verticale QR ou qR, & l'horizontale AR; & fuppofant HA=d, AQ ou Aq=a, AR=r, QR ou qR = q, *288. & l'inconnue AB qu'on cherche = x; l'on aura BC=* Vdx -xx; l'étendue du jet AK ou Ak, qui eft quadruple *325. 4√dx. *de BC= 4√ dx — xx ; la verticale KS ou ks = -xxi 4BA=4x3 & à cause des triangles semblables KAS, PAR, on aura xx).KS(4x) :: AR(r). PR= AK (4Vdx. Vdx -xx j On fe contentera de donner la refo lution lution du Problême par raport à PQ; le Lecteur pouvant facilement l'appliquer à Pq. Refolution. La bombe qu'on fuppofe jettée suivant la direc tion ACPS, rencontre la hauteur Q dans le temps que par le mouvement horizontal uniforme, elle auroit parcouruAR; & s'il n'y avoit pas eu de hauteur Q, elle feroit tombée au point K fur l'horizontale AK, dans le temps que par le mouvement uniforme, elle auroit parcouru l'horizontale AK; ainsi la vitesse étant uniforme, c'eft à dire la même par l'horizontale ARK, les temps par AR & par AK*, peuvent *303. s'exprimer par ces longueurs. Mais dans le temps du mouvement uniforme par AR, la viteffe verticale que la pesanteur a fait perdre à la bombe, l'a empêchée de parcourir?Q & dans le temps du mouvement uniforme par AK, la vitesse verticale que la pefanteur lui auroit fait perdre, l'auroit empêchée de parcourir SK; par confequent* AR1 (rr). * 309. TX- -qVdx xx ). KS(4x); ce qui AK2 ( 16 × dx — xx) :: PQ ( Vax -xx donne cette équation 4rrx — 16 × dx·· drr — 2dgq — — rrq qui fe réduit à xx- rr+qq 2 TX- qVdx xx rr 4 - XX + dq rr+qq Cette équation a deux racines pofitives *, ainfi il 2 0. 29. y a deux valeurs de BA (x) qui donnent deux angles d'inclinaifon Cor. 8pour le mortier, par chacune defquelles on lui fera jetter la bombe fur l'endroit Q; ces deux valeurs font AB ( x ) drr + 2.xrr+qq 2.x rr + q Mais à cause du triangle rectangle AQR, AQ1 (aa)=AR2 (rr) QR (qq); ainfi mettant aux dénominateurs aa à la place 300 AQ(a) foit de toifes; l'éloignement AQ (a) de 320 toises; la hauteur QR(q) de 83 toises; en fubftituant ces valeurs de d, 4,9, à leur place dans les valeurs de AB(x), on trouvera que la plus petite eft de 85 toifes, & la plus grande de 273 toifes. Ainfi partageant le diametre HA du demi cercle en 300 parties égales, prenant, 1°, AB de 85 parties, & tirant la perpendiculaire BC, la corde AC fera la premiere direction qu'il faut donner au mortier pour faire tomber la bombe en Q2o, Prenant AF de 273 parties, & tirant la perpendiculaire FG, la corde AG sera la feconde direction qu'il faut donner au mortier pour le même effet, REMARQUEȘ, I. LE Problême est toujours poffible quand la quantité néga tive qui eft dans les deux valeurs de x fous le figne ✔, eft moindre que la pofitive qui eft fous le même figne ✔, ou 78. quand elle lui est égale, & il est impoffible * quand elle est plus grande. II. la Si l'angle d'inclinaison du mortier CAK étoit donnée, & qu'on voulût trouver la charge de poudre, c'est à dire, force du jet propre à faire tomber la bombe à l'endroit Q3 FIG. IX. dans cette fuppofition l'angle PAR eft connu, & l'on trouvera par la Geometrie pratique les lignes AQ(a), AR (r), QR(q), PR, qu'on nommera p; nommant auffi l'étendue inconnue du jet AK(z), on trouvera par le second cas du quatriéme Problême l'étendue AK (2), BC ( 4 AK =÷2); enfuite on trouvera la force du jet HA (d) que l'on cherchoit, comme dans le quatriéme Problême. Ufage de l'Analyse pour trouver le centre de pesanteur Principes que l'on suppose pris des traités de Méchanique. 331. UN levier eft une ligne droite comme AB, qu'on fuppofe FIG. IV. inflexible,& que l'on confidere, pour l'exactitude des démontrations, comme n'ayant aucune pefanteur. On y diftingue trois chofes, 1o, un de fes points, foit à l'une ou l'autre de fes extremités A ou B; ou entre les extremités comme C, |