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conçoit que l'effort des poids eft réuni, afin que les durées de chacune des vibrations foient égales, & le moyen de faire décrire cette courbe à ce point là dans les horloges. L'Analyse fait trouver l'une & l'autre de ces deux choses. Voici la premiere.

DEFINITION.

341. UN pendule fimple eft une ligne inflexible SC, qu'on confiFIG.XIII. dere comme n'ayant aucune pefanteur, qui eft fufpendue à

un point S, qu'on appellera le point de fufpenfion, au bout de laquelle eft un poids C, & l'on conçoit que le poids C est comme réuni au point C qui eft l'extremité de la ligne. La distance SC du point de fufpenfion jufqu'à ce point Č, eft la longueur du pendule fimple. Si l'on retire un peu le pendule de la fituation verticale, if fera de petites vibrations qui feront fenfiblement d'une égale durée.

FIG.XIV. Un pendule compofe eft celui où il y a plufieurs poids enfilés & XV. par la même ligne inflexible, & l'on confidere ici chacun de ces poids comme fi ce n'étoit qu'un point. La distance depuis le point de fufpenfion S d'un pendule compofe jufqu'au point C(fig. 14), & jufqu'au point K (fig. 15), que l'on fuppofe égale à la longueur d'un pendule fimple ifochrone, c'eft à dire, qui feroit fes vibrations dans le même temps que le pendule compofé, s'appelle la diftance du centre d'ofcillation; & le point C ou K s'appelle le centre d'oscillation.

PREMIERE DEMANDE.

342. DANS un même pendule compofé, qu'on suppose inflexiFIG.XIV. ble, les poids differents comme A, L, (fig. 14), & A, B, L, & XV. (fig. 15), ne fçauroient fe mouvoir qu'ils ne décrivent dans le même temps des arcs femblables A2, LP; par confequent le temps étant le même, les viteffes des poids font neceffairement entr'elles comme ces arcs; & ces arcs comme leurs rayons SA, SL: ainfi les viteffes des poids A & L font comme leurs distances AS, LS du point de fufpenfion.

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343. L'EFFORT de la pefanteur fur les corps pefants leur imprime au premier inftant de leur chute à chacun un même petit degré de viteffe, qu'on nommera 1. Ainfi le produit

de

344.

de chaque poids par 1, par exemple A× 1, L× 1, &c. ou A‚L,
eft*la quantité du mouvement de chaque poids au premier * 299.
inftant de la chute.

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TROUVER la distance du centre d'oscillation d'un pendule,
c'est à dire, la longueur du pendule fimple qui feroit fes vibrations
dans le même temps que le pendule compofé, & qu'on appelle
ifochrone.

SOIT

PREMIER CAS.

Lorfque le pendule compofe a deux poids A & L.

SL

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*

299.

IT le poids A=a, le poids Z l, la diftance SA=e, FIG.XIV. la distance SZ=f; la longueur inconnue SC du pendule fimple ifochrone, ou la distance du centre d'ofcillation du pendule compofe foitz. Soit auffi le mouvement inconnu du poids A (a) dans le pendule compofé au premier inftant de la defcente =y; le divifant par le poids *A (a), on aura la vitesse du poids A(a) dans le pendule compofé = 2. Mais dans le premier inftant la viteffe du poids A dans le pendule compofé, eft à la vitesse du poids C dans le pendule fimple ifochrone, ou du point C dans le compofé qui est à la même distance SC, laquelle viteffe eft 1 dans le même premier instant par la feconde demande, comme la distance SA (e) est à la distance SC(z) par la premiere demande : Donc SC(2)= 4. Ainfi il ne s'agit plus que de trouver la valeur de y pour avoir celle de SC (z). Voici comment on

la trouve.

La pefanteur au premier inftant de la defcente des poids
A (a) & L() du pendule compofé, leur imprime à chacun
la même viteffe 1 (par la feconde demande ) ainfi leur quan.
tité de mouvement eft a x 1, x1, ou a &l: mais le poids.
A(a) à cause du pendule inflexible, ne peut pas dans ce
même inftant parcourir une longueur qui foit egale à celle
que parcourt le poids Z (1), mais il eft neceffité
dule à parcourir une longueur AQ moindre que celle que
parcourt / qui est LP; le poids a perd donc une partie du
mouvement a × I que lui donne la pefanteur, & il retient
feulement la partie y de ce mouvement laquelle nous cher-
chons; & l'autre partie qui eft a x 1-y, où a—y, eft celle

Y Y Y

par le

pen

ae -ey
f

qu'il perd. Cette partie perdue a—y se distribue au point 335. de fufpenfion S & au poids Z (1) * ; poids (1)*; la partie de cette perte a-y qui fe communique au point de fufpenfion, doit s'y perdre entierement, parceque ce point eft immobile. L'autre partie de la perte ay qui fe diftribue au poids /, fe trouve *335. ainfi* SZ (f), SA (e) :: a —y.; par consequent la quantité de mouvement que reçoit de la pefanteur au pre. mier instant le poids /, qui eft / x 1, eft augmentée de ""; ainfi la quantité de mouvement du poids / dans le pendule * 299. compofé est fly; la divifant par le poids I, l'on aura* pour la viteffe du poids / dans le pendule compofé *342. Or cette viteffe eft à la viteffe du poids a dans le même instant, comme SL (ƒ) à SA(e). L'on a donc f

-ey

fl

*

ecy, d'où l'on déduit

efl+ ace — ecy ;

fl

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ае

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f

ey

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Mettant cette

valeur toute connue de y à sa place dans SC (z) = 4, l'on trouve SC (z) = +fl; c'est la longueur du pendule iso

eca

ae +fl

chrone, ou la distance SC du centre d'oscillation que l'on cherchoit.

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Lorfque le pendule compofe a trois poids A, B, L.

345. AJOUTANT aux deux poids

JOUTANT aux deux poids a & / un troifiéme poids B, FIG. XV. qu'on nommera 6, & fa distance SB=g; il faut trouver la nouvelle distance inconnue SK, qu'on nommera encore du centre d'ofcillation qu'on fuppofe en K, & qui étoit aupa

ravant en C.

Soit x la quantité du mouvement du poids B (b) dans le 299. pendule compofé, par confequent* eft fa viteffe; mais la viteffe du poids 6 dans le pendule compofé qui eft, , eft à la viteffe du poids qui eft au bout du pendule fimple ifochrone; ou, ce qui revient au même, du point K qu'on fuppofe être le centre d'ofcillation du pendule compofé de trois poids, 343. laquelle viteffe eft r*, comme la distance SB (g) est à la lon342. gueur du pendule ifochrone*, ou à la distance SK (z) du K centre d'ofcillation que l'on cherche. Donc SK (2)=68.

I

Pour avoir la valeur de SK (z), il ne faut plus que trouver la valeur de x de la maniere fuivante: Par la 2o demande, la quantité de mouvement que reçoit b de sa pesanteur dans

le premier inftant, eft b x 1; ainfi ne lui reftant à caufe du pendule inflexible que la quantité x, il perd la quantité de mouvement b x 1 —x, ou b—x. Une partie de cette perte se distribue au point de fufpenfion S où elle fe perd entierement, & l'autre partie se distribue au centre d'oscillation C des deux poids a & l, où l'on conçoit qu'eft réuni leur effort commun. Pour trouver cette partie, on fera cette proportion* SC (+). SB (g) :: b — x .

fl

x.

cabg+bf3l- ea3x -f3lx

eca + ffl

à la partie de la perte
b — x du mouvement de b qui fe dif-
tribue au centre C d'oscillation des deux poids A & L, où
tout leur mouvement eft conçu comme réuni.

Ainfi on conçoit à ce point C la fomme des mouvements des poids A & ĺ, qui eft (par le premier cas de ce Problême, en mettant dans yfe, la valeur de y= ace+ffl

aefiaace

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flae-ey

flae ex aefl+ aaee

aee+ ffl f

aefi+aaec

aaee+2aeflffll & de plus l'on

ace + ffl

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y conçoit la partie de la perte b-x du mouvement de b qui est distribuée à ce point, & qu'on vient de trouver = abe8+bf31-ae3x-f81x. Ainfi le mouvement entier qu'on conçoit

ace + ffl

au point C, eft

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aace+2aeflffll + abes + bf3l — ae3x — f8lx
aeeffl

aex

65

ex

335.

Mais la distance SB (g) eft à la distance SA (e), comme la viteffe du poids 6 dans le pendule, eft à la vitesse du poids a dans le même premier inftant; ainsi la viteffe de a dans le pendule de trois poids eft ; la multipliant par le poids a*, l'on aura pour la quantité de mouvement du * 299. poids a dans le pendule à trois poids. De même SB (g) est à SL(f), comme la viteffe du poids b eft à la viteffe du poids /, laquelle eft par confequent ; la multipliant par le poids /, l'on aura pour la quantité de mouvement du poids / dans le pendule à trois poids; leur fomme eft donc égale à la quantité de mouvement qu'on a trouvée en con cevant leur mouvement réuni au point C ; ainsi l'on a l'équa. tion dex+flx ; d'où l'on

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aaee2aeflffll + abe8 +bf81 — ae3x — f3lx
aee+ffl

aabee8+2abef81 +bff3ll + abbe88 + bbf881

déduit x = aae3 + aeefl + aeffl + f3ll + abe33 + bf881

Pour avoir la distance SK (z) du centre d'oscillation du pendule à trois poids, ou la longueur du pendule ifochrone, il ne faut plus que fubftituer cette valeur de x dans SK (2) , & l'on aura aprés avoir divifé le numerateur & le

63

x

Y yy ij

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dénominateur qu'on trouvera enfuite de la substitution par abeg + bfgl, l'on aura, dis-je, SK (z)

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=

cea + 386 +ffl

ca +86 + fl

346. EN continuant cette Analyse pour les pendules à quatre poids, à cinq poids, &c, on trouvera toujours que la diftance du centre d'ofcillation eft égale à une fraction dont le numerateur contient la fomme des produits des poids chacun par le quarré de fa distance du point de fufpenfion, & le dénominateur contient la fomme des produits des mêmes poids chacun par la fimple distance où il eft du point de fufpenfion.

L'ON

AVERTISSEMENT.

ON met d'ordinaire au pendule d'une horloge deux poids connus, l'un qui eft le plus pefant eft attaché fixement au bout du pendule, l'autre eft petit, qu'on appelle la lentille, & l'on peut le faire couler le long du pendule en le hauffant ou l'abbaiffant, pour retarder ou pour avancer l'horloge felon le befoin; & on peut par une vis l'arrêter au point qu'il faut pour faire marquer les fecondes à l'horloge.

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Qui est l'application du précedent à la pratique, 347. AYANT un pendule à deux poids A & L, comme l'on vient de dire, trouver l'endroit du pendule où il faut arreter la lentille ou le petit poids A, afin que le pendule faffe fes vibrations chacune dans une feconde ou dans une autre partie de temps déterminée. F16.XIV. IL eft clair que la question se réduit à trouver la distance SA du point de fufpenfion S, où il faut mettre le petit poids A, afin que le pendule compofé ait fa diftance SC du centre d'ofcillation égale à la longueur d'un pendule fimple ifochrone, c'est à dire du pendule fimple qui fait fes vibrations chacune dans une feconde.

Il faut donc apprendre de l'usage qui eft maintenant affés connu,quelle eft la longueur SC d'un pendule fimple qui fait fes vibrations chacune dans une feconde. On fuppofe cette Longueur, que l'on fçait être de trois pieds huit lignes &

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