* 537 ax + fl 344. demie, = K ; on fuppofe le gros poids connu Z=1, fa dif a a Suppofant donc que SZ (f) furpaffe SC (K=8 pieds 8 lig.) par exemple que ƒ= 8 pieds 1 pouce, que 3 livres, que la lentille A (a=1 once), en mettant ces nombres à la place des lettres dont ils font les valeurs dans chacune des valeurs de x, on aura deux distances du point S ; & mettant la lentille à laquelle on voudra, les vibrations du pendule marqueront les fecondes. Ce qu'il falloit trouver. REMARQUE. Où l'on fait voir l'étendue des refolutions des Problemes 29. Cor. 8. 348. 1°.Si l'on vouloit que les vibrations du pendule à deux poids FIG.XIV. se fiffent dans une autre partie du temps qu'une feconde, il n'y auroit qu'à apprendre de l'experience la longueur du pendule fimple dont les vibrations se feroient chacune en cette partie du temps; & mettre cette longueur à la place de K, & l'on auroit la diftance du point S où il faudroit mettre la lentille A, afin que le pendule compofé fit fes vibrations chacune pendant cette même partie du temps. 2o. Si on vouloit que le pendule compofé fît ses vibrations chacune en une feconde, & qu'on voulût auffi que la diftance SA(x)de la lentille Afût déterminée,& toujours={K, Y y y iij a il n'y auroit qu'à supposer dans SA={K±√‡KK+fKl—ffi, fKl-ffl que √ KK + =o, & prendre la distance du plus gros poids Z, qui eft f, pour inconnue, & l'on auroit l'équation du fecond degré ƒƒ— Kƒ — akk 0, 41 dont la racine pofitive f= {K+√÷KK+^«^=÷K+ 1⁄2 √1+7, marqueroit la diftance SZ (f) qu'il faudroit donner au gros poids Z, afin que le pendule compofé dans lequel la distance de la lentille SA eft K, fît ses vibrations chacune dans une seconde. Ainfi mettant dans cette valeur de SL (f) les nombres representés par a, K, I, l'on aura la distance Sz du poids Z propre à cet effet. 3°. On peut trouver par la valeur de SA (x) = 1⁄2 K± SA(x) =÷K± √ KK + fÃ1—ffl ̧ les cas où le second Problême est possible, & ceux où il est impoffible. Car supposant √4KK + a gros fKl-ffl =o, dont la 2fl + 2 x fl x, furpaf Vll+al; ce qui fait voir que quand K furpaffe Vllal, le Problême eft poffible; parceque les grandeurs. pofitives qui font fous le figne dans la valeur de fent la négative: mais quand K eft moindre que — 2fl+ 2 x √ll+al, la négative surpasse les positives, & les valeurs de SA(x) font imaginaires. a 4°. On peut appliquer la refolution du fecond Problême aux pendules compofés de plus de deux poids, en fuppofant la distance inconnue du feul petit poids qui tiendroit lieu de lentille. à Où l'on fait voir l'ufage de l'Analyse dans la Geometrie AVERTISSEMENT. C'EST dans la Geometrie composée, c'est à dire, dans la l'on On applique l'Analyse aux lignes courbes, en réduisant chaque courbe à une équation qui en exprime une des principales proprietés; & enfuite on découvre par le feul calcul de l'Analyse, en fe fervant de cette équation, tout ce que peut defirer de fçavoir de cette courbe. L'Analyse même fournit le moyen d'exprimer une infinité de courbes par une même équation par le moyen des lettres indéterminées, & de découvrir par le même calcul les proprietés de toutes ces courbes. C'est ce que l'on va expliquer dans cette fection. PREMIERE DEFINITION. 349. QUAND 2 АВ pre XVIII. UAND deux lignes données AB, BC, font un angle FIG.XVI. quelconque ABC, & que la premiere AB ou une de fes XVII. & puissances, comme AB2, AB3, &c. ou le produit de la miere AB, ou de quelqu'une, ou de plufieurs de fes puiffances par d'autres lignes données ; quand, dis-je, cette premiere ligne AB, où ce produit eft égal à la feconde BC ou à quelques unes de fes puiffances, ou au produit de BC, ou des puiffances de BC par des lignes connues; on dira que cette égalité ou équation exprime le raport des lignes AB & BC. Ainfi fuppofé AB=a, BC=b, & une autre ligne Explication de la maniere dont l'Analyfe réduit les courbes. 350. CAc eft une ligne foit droite foit courbe fur un plan; ABb FIG.XVI. est une ligne droite donnée de pofition, dont le point fixe XVII. & ou l'origine A eft déterminée, mais la ligne eft indétermiXVIII. née de côté & d'autre, foit gAG une ligne droite qui coupe pre AB au point A en faifant avec elle un angle quelconque BAG, foient auffi de tous les points de C Ac des lignes droites CB, cb, &c. tirées fur AB, paralleles entr'elles & à gAG; fuppofé que l'équation qui exprime le raport de la miere parallele BC avec la premiere AB, foit la même que celle qui exprime le raport de la feconde be avec la feconde. ligne Ab correfpondante, de la troifiéme bc avec la troifiéme Ab qui lui répond, & ainfi de toutes les autres, de maniere qu'en mettant chaque be dans la premiere équation à la place de la premiere BC, & la correfpondante AB de chaque nouvelle BC à la place de la premiere AB, ce foit la même équation; on peut faire une équation qui con vienne à tous les points de la ligne droite ou courbe CAC, en nommant la changeante AB, x; la changeante BC, y; & mettant dans la premiere équation x à la place de AB, & y à la place de BC, & l'on a l'équation de la ligne droite ou courbe CAC. EXEMPLES. 351. Si l'on a les deux lignes droites données p & d, & que l'équation qui exprime le raport de chaque BC (y) à chaque * 282. AB (x), foit px = px=dy; la ligne ACC eft droite * Si l'équation qui exprime le raport de chaque BC ( y ) à chaque AB(x), est px = vy; la ligne ACC eft courbe, & fe nomme la parabole ; & px = yy, est l'équation à la parabole. Si l'équation eftyy xx, la courbe ACC se nomme l'ellipfe. d Si l'équation eft yy = * 289. circonference du cercle*. = = dx Si l'équation eft yy dxxx; la courbe ACC fe nom P me l'hyperbole. Si Si l'équation eft ppx=y3, la courbe ACC fe nomme la premiere parabole cubique. Si l'équation eft pxxy', la courbe ACC fe nomme la feconde parabole cubique. 1 Si l'équation est x3 — dyy — xyy, la courbe ACC se nomme la ciffoide. y a Comme il y a une infinité de courbes differentes, il aussi une infinité d'équations differentes qui les expriment; & il eft inutile d'en faire ici une longue énumeration; ce que l'on vient de dire fuffit pour faire concevoir comment l'Analyse reduit chaque courbe à une équation qui exprime fa principale proprieté, d'où l'on déduit les autres. Si l'on tire des points CCc de la ligne CC Acc des paral- FIG.XVI. leles CG, cg, &c. à la ligne AB qui fe terminent à la ligne gAG qui eft fuppofée parallele aux lignes BC, Bc, bc, &c. il eft évident qu'à caufe des paralleles, les lignes AG, Ag, &c. font égales aux lignes BC, bc, &c. chacune à fa correfpondante; ainfi chaque AG=y; & que de même les lignes GC, gc, &c. font égales aux lignes AB, Ab, &c. chacune à celle qui lui répond, ainfi chaque GC = x. D'où il eft clair qu'en rapportant les points de la ligne ACC à la ligne droite gAÁG, par le moyen des paralleles CG, cg, &c. l'on aura la même équation que l'on avoit de la même ligne CC Acc, en rapportant tous les points à la droite ABb par le moyen des paralleles BC, bc, &c.. 353. DAN'S SECONDE DEFINITION. AN'S toutes les courbes qu'on peut réduire à une équa- F1G.XVI. tion qui en exprime la proprieté, la ligne droite AB à laquelle on rapporte tous les points de la courbe, s'appelle la ligne des coupées ou des abfciffes, & la changeante AB,. Ab, &c. s'appelle la coupée ou l'abfciffe; le point fixe A s'appelle l'origine. Les paralleles BC, bc, &c. s'appellent les ordonnées ou les appliquées : & comme l'on a vû qu'on pouvoit prendre auffi les coupées fur AG parallele aux ordonnées, & les ordonnées fur ABB, chaque AB & fa correfpondante BC s'appellent les coordonnées ; & les deux lignes ABB, AG qui fe coupent à l'origine A, les lignes des coordonnées ; & l'angle GAB qu'elles font ensemble, l'angle des coordonnées ; & les quatre angles GAB, GAH, gAH, BAg, qu'elles Zzz |