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Pour décrire l'autre moitié, on fera mouvoir en haut la premiere regle Af au deffus de P toujours fur le pole A, & l'autre regle ac du côté gauche de ABb, faisant en forte que Ag foit toujours égale à Pf, & l'on marquera avec un ftile en c la courbe Acc, qui paffe par tous les points c où ces regles fe croisent; & ce fera la feconde partie de l'ellipse ou de l'hyperbole.

L'hyperbole ayant en particulier une autre hyperbole an
à l'extremité a du diametre a entierement égale & fem-
blable à la premiere AC; on décrira cette feconde hyper-
bole ax en faisant mouvoir la premiere regle AC en Дx fur
le même pole A, & en même temps la feconde en a x fur le
pole a, faifant en forte que Ay foit toujours égale à P'; &
traçant avec un ftile en x la courbe qui paffe par tous les
points x où le croifent les deux regles, elle fera la feconde
hyperbole ax semblable & égale à la premiere AC.

La maniere dont on déduit des formations précedentes les équations
de la parabole, de Pellipfe & de l'hyperbole.

POUR LA PARABOLE.

362. SOIT le parametre APP, chaque PF ou Pf=f, F1g.XVI. chaque coupée AB, Ab= x, chaque ordonnée BC, bc=y. Les triangles APF, ABC font femblables, comme auffi APf, Abc, à caufe des paralleles AGP, BC, & ABb,fPF: par confequent AP (p). PF (f) :: BC (y) . AB ( x ); d'où l'on déduit px=fy: Mais à caufe des paralleles, BC ( y ) = AG=PF(ƒ) par la construction: ainsi mettant y à la place de f, l'on a l'équation à la parabole px = yy, c'eft à dire, chaque ordonnée BC (y) eft moyenne proportionelle entre la coupée AB (x) & le parametre AP (p); ou bien le produit px du parametre par la coupée est toujours égal au quarré de l'ordonnée yy.,

Il est évident que la même équation convient à la seconde moitié de la parabole Ac.

I

COROLLAIRE S.

I.

363. Si l'on prolonge chaque BC vers la 'gauche jusqu'à ce qu'elle rencontre la parabole en c, l'on aura Bc BC; car mettant la regle fAc dans la fituation où elle faffe fP=FP,

364.

365.

366.

3.67.

368.

l'on aura Ag=ƒP; par confequent Ag fera égale à PF
=AG, &
gc
fera égale à ABGC; mais Bc eft toujours
égale à Ag à caufe des paralleles: ainsi quand ƒP
Ag est égale à AG, & gc ABGC: ainfi dans l'équa-
tion px = yy, qui convient à BC & à Bc, y=y, &x=x,
&p eft la même grandeur.

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= FP,

D'où l'on voit que fi l'on plioit la parabole de façon que le pli fût dans la ligne ABb, la partie ACC de la parabole. s'ajusteroit fur l'autre partie Acc..

I I.

La ligne PGAg touche la parabole au feul point A quieft le fommet du diametre ABb; car il faut que la regle AC ou Ac faffe un angle avec GAg au point A, pour donner chaque autre point C, c de la parabole, & GAg est seule tangente au point 4; car toute autre ligne AC ou Ac pallantpar A, & faifant un angle avec GAg au point A, donne un point de la parabole, & par confequent elle paffe par deux points de la parabole; d'où l'on voit que la tangente par fommet A, eft parallele aux ordonnées du diametre ABb..

III.

le

La parabole ACC eft concave à l'égard du diametre A Bb, car chaque corde AC, Ac, eft entre l'arc qu'elle foutient, & le diametre ABb.

IV.

Quand l'angle BAG eft droit, les ordonnées CB font perpendiculaires au diametre AB; ainfi dans ce cas ABb est l'axe dont AP eft le parametre: dans tout autre cas AB est fimplement un diametre dont AP eft le parametre, qui n'eft pas alors le même que celui de l'axe ou d'un autre diamètre.

V.

L'angle GAB que fait la tangente GAB au fommet A avec le diametre AB, eft celui que fait en ce point A la courbe même avec fon diametre AB.

V I.

px

pu

Dans la parabole, les coupées AB, Ab, (fig. 19) font entr'elles comme les quarrés des ordonnées; car nommant AB(x), Ab (u), BC (y), bc (z), l'on aura == 22; & par confequent les ordonnées BC (y), bc (z) font entr'elles comme les racines des coupées AB (x), Ah (u): puifque yy. zz: x . u ; & y, z :: √x ..√u.

Le

369.

370.

VII.

Le parametre p eft à la fomme de deux ordonnées bc FIG. XIX. BC (z+y), comme la difference des mêmes ordonnées bc — BC — ec (z —y) est à la difference des coupées Ab - AB = Bb ou Ce (u-x); car px=yy, & pu=22: px = zg — yy ; d'où l'on déduit p. z+y::

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donc pu
༢-༡. ྂ- .

༢༢.—

VIII.

L'équation yy = px fait voir que les x augmentans, les y augmentent auffi, ainfi la parabole s'écarte de plus en plus à l'infini de fon diametre.

PROBLEME

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Où l'on donne une methode generale pour mener les tangentes
des courbes geometriques.

371. UNE parabole ACc étant décrite fur un plan avec fon diametre FIG. XIX.
ABb & fon parametre AP, mener la tangente SC par un point
donné C, dont l'ordonnée eft BC..

IL eft évident qu'il fuffit de trouver la foutangente BS; car
il n'y aura plus qu'à tirer la droite SC, & elle fera la tan-
gente. Entre toutes les methodes pour trouver les tangentes
des courbes, on a choisi la fuivante qui convient à toutes les
courbes geometriques, comme ayant le plus de raport à la
methode de les trouver par le calcul differentiel.

eft yy

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.

Refolution. 1. Il faut concevoir une fecante SCc qui paffe par
le point donné C, & coupe la parabole en un autre point cs
& mener l'ordonnée cb; & nommant AP (p), AB (x),
BC (y), BS (s), Bb ou Ce (e); l'équation pour le point C
pxo. 2°. Il faut trouver la valeur de ce, par le
moyen des triangles femblables SBC, Cec, qui donneront
SB (s). BC (y) :: Ce (e), ce = 3°. Pour avoir l'équation
par raport au point c il faut mettre dans l'équation à la
courbe, Ab (x+e) à la place de AB ( x ), & bc ( y + ) à la
place de BC (y), & ordonner la nouvelle équation de ma-
niere que tous les termes de la premiere foient le premier
terme de la feconde, le fecond terme contienne toutes les
grandeurs où e eft lineaire; le troifiéme terme contienne
toutes celles où se trouve ee, & ainfi de fuite; & l'on aura
xy+ 2077 cery o. 4°. Il faut ôter le premier terme
-px-ep

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A Aa a

de cette équation qui eft égal à zero par la fuppofition, puis
que c'eft l'équation de la courbe, & le refte doit
par confe
quent être auffi égal à zero. 5°. Il faut diviser cette équation
reftante pare, ce qui laiffera le premier terme fans e. 6o. Il
faut fuppofer la distance Bb ou Ce (e) des deux ordonnées
BC, bc égale à zero, ce qui détruira tous les termes excepté
le premier, qui eft égal à zero. 7°. Enfin il faut trouver dans
ce terme la valeur de l'inconnues, & mettre au lieu de y fa
valeur en x prise de l'équation de la courbe, & ce fera la
foutangente qu'on cherchoit; car il est évident que la diffe-
rence Bb entre les ordonnées devenant zero ou s'anéantif
fant, que les deux points C, c deviennent le feul point C, &
la fecante SC devient la tangente au point C, & par
que
confequent BS (s) devient la foutangente.

Dans notre exemple, ayant ôté le premier terme, divisė l'équation par e, & fuppofe enfuite eo, l'équation reftante P =0; ou mettant px à la place de yy, l'on aura px-po, d'où l'on déduit BS (s) = 2x.

ferary

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Ce qui fait voir qu'en prenant AS = AB, le point S fera celui où la tangente CS rencontre le diametre.

REMARQUE.

il

372. S'IL arrivoit, lorsqu'on cherche la tangente des differents points de la courbe, qu'en mettant dans le terme où e cft Îineaire, des valeurs déterminées de x & de y, cela rendît le numerateur & le dénominateur de la fraction qu'on trouve ordinairement pour la valeur de 5, chacun égal à zero, faudroit prendre le troifiéme terme où fe trouve ee, le divifer par ee; fuppofer enfuite ceo, ce qui rendroit tous ee les termes fuivants égaux à zero, & l'on trouveroit par le seul terme restant où étoit ee qui feroit lui feul l'équation, la valeur des qui donneroit la foutangente qu'on cherche ; & ainfi de fuite, c'est à dire, fi le terme où eft ee donnoit une valeur de S, dans laquelle le numerateur & le dénominateur se trouvaffent égaux chacun à zero par la fuppofition de quelques valeurs déterminées de x & de y mifes à leur place dans cette fraction ou valeur de s, il faudroit paffer au terme où se trouve e', & ainfi de fuite, & l'on remarquera que quand il faut paffer au terme ee, l'on trouve d'ordinaire deux valeurs de s; quand il faut paffer au terme e', on trouve trois valeurs

des; ce qui fait voir dans le premier cas que la courbe a deux
foutangentes au point déterminé dont on cherche les fou-
tangentes; qu'elle en a trois dans le fecond cas, & ainfi de
fuite, c'est à dire, cela arrive ordinairement.

I

Corollaires de ce Problème pour la parabole.

I.

373. Si l'on mene par le point touchant C une perpendiculaire FIG. XIX. CD à la tangente, fuppofant que ABD eft l'axe, la fouperpendiculaire BD est toujours égale à la moitié du

parametre

de l'axe p: Car SB (2x). BC (y) :: BC (y). BD=2/2
2, en mettant au lieu de yy fa valeur px.

2x

Р

I I.

374. Si aprés avoir trouvé la tangente SC au point C, on tiroit FIG. XIX. CI parallele à l'axe ABb, Al parallele à la tangente, qui feroit égale à SC, & qu'en nommant la coupée CI (x), l'ordonnée AI (y), on prît une ligne p telle que CI(x). IA ou CS ( y ) :: CS (y). p; cette ligne p feroit le parametre du diametre CI, car px = yy : ainfi l'on pourroit décrire la même parabole par la formation (fig. 16.)* en prenant CI * (fig. 19) pour ABb (fig. 16), CS pour GAg; la grandeur p qu'on vient de trouver pour le parametre AP.

375.

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x

I I I. ·

CI* 360.

D'où l'on voit que tous les diametres de la parabole font paralleles à l'axe & entr'eux: Ce que l'on vient de dire du diametre CI pouvant être appliqué à tous les autres: Et que AS=*AB=C1=Ct, à caufe des paralleles.

IV.

376. D'où l'on peut trouver en toute parabole tracée l'axe & fon parametre, lorfqu'on n'a qu'un diametre & le parametre de ce diametre, en menant deux perpendiculaires cBC, cbc à ce diametre, qui fe terminent des deux côtés à la parabole, les partageant chacune par la moitié en B, b; & tirant bB A par les points B, b, ABb sera l'axe, BC, be fes ordonnées; enfin faifant AB (x). BC (y) :: BC (y). p, la ligne p fera. le parametre de l'axe.

ΟΙ Τ

POUR L'ELLIPSE.

375.

377. SOIT le parametre donné AP=p, chaque coupée AB FIG. XVII x, l'ordonnée BC=y, le diametre a qui eft donné =d,& PF=f= AG; les triangles APF, ABC font

A Aa a ij

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