femblables, comme auffi APf, Abc; c'eft pourquoi AP (p): PF (f) :: BC(y) . AB(x); d'où l'on tire ƒ=: Mais les deux triangles AaG, BAC étant auffi semblables, l'on a Aa (d). AG (ƒ) :: aB (d-x). BC (y); d'où l'on déduit f=2x=, qui fe réduit à &yy dx-xx―d — xx x, qui eft l'équation de l'ellipfe, où l'on voit que AP(p). 'Aa(d) :: BC' (yy). AB × Ba (dxxx), ce qui convient aux ordonnées y de tous les points de l'ellipfe. d -x Px DEFINITION. 378. La ligne Aa (d) est le premier diametre ; le point du milieu K du diametre est le centre; la ligne Dd parallele aux ordonnées par le centre K, & terminée des deux côtés à l'ellipfe, eft le fecond diametre, ou le diametre conjugué du premier diametre Aa. Ces diametres s'appellent l'un le premier axe, & l'autre le fecond axe, quand les ordonnées leur font perpendiculaires. Le parametre p d'un diametre Aa (d), dont on suppose le diametre conjugué DKd d', est toujours la 3° proportionelle au premier diametre d & au fecond &; ainfi d. ♪ :: d, p, & p = . Le parametre π du second diametre Dd (d), eft de même la 3° proportionelle à ♪ & d; ainfi ♪. d ᎴᎴ = :: d. π, & dd; d'où l'on voit que d, p(); dd. ♪♪; & S. π (dd) :: S♪. dd. Autre expreffion de l'équation à l'ellipfe. 379. En prenant le centre K pour l'origine des coupées, & nomEN mant chaque KB(x), BC(y), Aa(d), AP (p), il est évident que KA=d; ainfi AB-d-x. Mettant d-x 414 au lieu de x dans l'équation dyy dx xx, il vient cette autre équation à l'ellipse #yy = 4 dd — xx = dxx d+x, qui donne AP(p). Aa (d) :: BC2 (yy). AB × Ba (dd―xx). 380. ᎴᎴ Puisque d=dd, on peut mettre dans chacune de ces équations de l'ellipfe ddau lieu de #, & la premiere #yy=dx -xx, deviendra ddyy dx-xx; & la feconde dyy=dd - xx, deviendra ddyydd- xx. Multipliant cette der. niere par, elle deviendra yy♪♪-- xx; & tranfpofant xx♪♪yy, ou bien ♪ XXx ᎴᎴ dd + & mettant =, l'on aura xx-4♪♪♪+ yy =0, qui est Corollaires de la formation de l'ellipfe. V I. 382. On peut voir par l'équation ddyy dd - xx, les endroits 383. 384. = O; où l'ellipfe rencontre le diametre Aa, & le point qui en est Les quarrés de deux ordonnées BC, bc, font entr'eux VIII. Si l'on décrivoit un cercle fur le diametre Aa, & qu'on prolongeât les ordonnées BC jufqu'à la circonference, les quarrés des ordonnées du cercle étant égaux chacun au produit des fegmens du diamettre dans lefquels ces ordonnées le partagent *, les quarrès des ordonnées BC, b c à l'ellipfe feroient entr'eux comme les quarrés des ordonnées au cercle par les mêmes points; d'où il fuit, en prenant les racines de ces quarrés, que les ordonnées à l'ellipfe font A Aa a iij * 289. entr'elles comme les ordonnées au cercle par les mêmes points. 385. MENER une tangente SC par un point donné C de l'ellipfe dont FIG. XX. Aa (d) eft le premier diametre, Dd (d) le fecond diametre, BC (y) l'ordonnée au point donné C, & KB (x) la coupée ; & l'équation est ddyy - dd +xx=0. L +e, * 371. Il faut trouver la foutangente BS =s, & fupposer* x=x & y = y; parceque les KB(x) croiffant, les. BC (y) diminuent; & mettre dans l'équation ces valeurs dex & dey, & faisant comme dans la parabole, on trouvera ddyý Ꮴ Ꮴ Josey add eyy + 5555 eeyy = 0; 386. 387. - dd + 2ex xx dd ee d'où l'on déduira dd, yy=x, & (en mettant pour ddyy sa valeur dd-xx) dd — xx sx, & BS(s) = Ce qu'il falloit trouver. D'où l'on déduit KS=s+x= 1 dd - xx cette proportion KB (x). KA(d) :: KA(žd). KS qu'il faut remarquer. Si on vouloit fe fervir de l'équation par raport au second diametre Dd qui est xx — y y qui donneroit Ke ou BC (y). KD ( 1 ♪ ) :: KD ( ÷ ♪ ). Kƒ 388. Si l'on tire le diametre CKc, & qu'on prenne ce diametre FIG. XX, pour AKa (fig. 17), & la ligne fCS (fig. 20) pour la ligne & XVII. PGAg (fig. 17), & qu'on prenne auffi pour parametre AP(p) (fig. 17), la 3 proportionelle au diametre CK(fig. 20), & с à fon diametre conjugué GKg qui eft la parallele à la tan*361. gente SCf par le centre K, & qu'on forme l'ellipfe * comme sss 361. dans la figure 17*, l'on tracera la même ellipfe de la figure 20; dont l'équation fera, en tirant Al parallele à CS, AI2 =CI × Ic ; d'où l'on voit que tous les diametres de l'ellipfe paffent par le centre K, & qu'ils font partagés à ce centre K en deux parties égales KC, Kc; ce que l'on vient de dire du diametre CKC convenant à tous les autres. POUR L'HY P E R B O L E. Px 389. SOIT le parametre AP=p, chaque coupée AB=x, Fig.XVIII, chaque ordonnée BC=y, le diametre Aad, PF = f. A caufe des triangles semblables APF, ABC, comme auffi APf, Abc, l'on a, AP (p). PF (f) :: BC (y). AB (x), d'où l'on déduit f= ; les triangles femblables AaG, BaC, donnent auffi, Aa (d). AG=PF (f) :: aB (d+x). BC(y), d'où l'on tire f=1, ce qui donne l'équation à l'hyperbole #yy = dx + xx = d + x × x — aВ × AB; ainsi dans l'hyperbole AP(p). Aa(d) :: BC2 (yy). a B × AB (dx + xx). 390. 391. Si au lieu de AB = x, on suppose KB = x ( K est le milieu du diametre Aa, & fe nomme le centre), alors aB = {d +x, & AB=KB—KA=x-d, & l'on aura cette feconde expression de la même équation &yy= =xx - 1 dd. Pour avoir d'autres expreffions de l'équation à l'hyperbole, on remarquera que chaque diametre comme Aa (d) a fon parametre déterminé AP(p); & que fon second diametre Dɗ(♪) qui paffe par le centre K, eft parallele aux ordonnées BC du premier diametre, & qu'il eft la ligne moyenne proportionelle entre le premier diametre Aa (d) & fon parametre AP (p); ainsi Дa (d). D d (♪ ) :: Dd (♪). AP (p); par confequent p= ,&d=√dp: le second diametre a aussi fon parametre, qui eft la ligne troifiéme proportionelle au fecond diametre ♪ & au premier d; ainfi = dd &d=√πd. 88 d Autre expreffion de l'équation à l'hyperbole. 392. IL fuit de là que d = dd —44 en mettant dans & au lieu de p sa valeur ; ainfi on peut mettre dans les équations précedentes à l'hyperbole au lieu de , & elles feront changées en dyy=dx+xx ; & dyy = xx — — dd. dd dd P 393. dd On peut auffi rapporter l'hyperbole immédiatement à fon fecond diametre Dd(), en fe fervant de la feconde équation; car puifque ddyy=xx- dd, en multipliant le tout par, & tranfpofant l'on aura * xxyy + 1♪♪; & mettant encore, fi l'on veut, au lieu de fa valeur, puifque , l'on aura xxyy +♪♪, c'eft à dire le parametre du second diametre 7. Dd (d) :: b°C2 — KB2 (xx). Kb → KD2 (vy + 4♪♪). dd Ꮄ 58 dd 2 COROLLAIRE S. 394 LES cinq premiers Corollaires de la parabole conviennent auffi à l'hyperbole. PXd+ V I. 395. L'EQUATION de l'hyperbole ACC convient auffi à l'hyFIG, XVIII. perbole oppofée ax, & on peut la déduire de la même maniere de la formation de l'hyperbole; car nommant aẞ(x), Bx (y), Po(f), Aa(d), AP(p), les triangles femblables AP & Aẞr donneront AP(p)..P¢ (ƒ) :: Bx (y). Aß(d+x); d'où l'on aura ƒ=Pxd: Les triangles femblables Aay & a3x donneront auffi Aa(d). Ay: = Po(f) (par la fuppofi* 361. tion*) :: aß ( x ). ßx ( y ) ; d'où l'on aura ƒ= dy = =Pxd +x, qui fe réduit à &yy = dx + xx, qui eft la même équation qu'on avoit trouvée pour l'hyperbole ACC par laquelle on voit que quand aß(x) AB(x), ẞx (y) fe trouve neceffairement BC (y); ce qui fait voir que ces deux hyperboles font égales de maniere qu'on peut les ajuster l'une fur. l'autre. 396. = VII. PX Il est évident par cette équation que plus les x augmentent, plus les y augmentent auffi, ce qui fait voir que l'hyperbole s'écarte à l'infini de fon diametre. 397. MENER une tangente SC par un point donné C de l'hyperbole FIG. XXI. dont le premier diametre eft Aa (d); le fecond Dd (d); le parametre du premier diametre Aa (p); la coupée KB (x); lordonnée BC (y); la foutangente BS(s), & l'équation & yy + dd |