Il faut* mettre dans l'équation x✦e à la place de x, & * 371. + à la place de y, parceque AB (x) augmentant de ✦ e, y augmente auffi de+; & l'on aura yy +2de yy+deeyy=0, d'où l'on tire *yy=x, & (en mettant au lieu de #yy fa * 371. 4dd de la foutangente BS (s) que l'on cherchoit, puisque BK(x) eft fuppofée connue. 398. D'où l'on déduit KS —KB — BS ( x — s ) (x-s) consequent KB (x) . KA(žd) :: KA (žd). KS ( x — § ).. COROLLAIRE I. 399. L'on peut déduire de ce Problême le même Corollaire que l'on a tiré du Problême de l'ellipfe, pour décrire la même hyperbole par le moyen du nouveau premier diametre CKc, de la tangente SC & du parametre de ce nouveau diametre CKc, lequel parametre fe trouve en menant par le fommet Al'ordonnée Al au nouveau diametre parallele à la tangente SC, & faisant enfuite cette proportion. Le produit des fegments c par CA du diametre cKC prolongé, est au quarré de l'ordonnée Al à ce diametre CK, comme ce diametre CKc eft au parametre de ce diametre CKc. Cette proportion est déduite de l'équation à l'hyperbole ; & les troispremiers termes étant connus, le parametre du diametre. CKc devient auffi connu, le nommant p, l'équation ferax. AICI x Ic.. 2 COROLLAIRE II. Où l'on trouve la maniere de tirer les afymptotes de l'hyperbole. 400. AYANT trouvé que KS (x— dd s): 1 fi l'on fuppofe FIG.XXI. KS=o, l'on aura, 1°, x-s=o, & par confequent la foutangente s=x, quand KS=0; & AS qui eft la diftance du fommet A au point S de la foutangente devient KA( { d ); dd o dans ce cas: or quand une fraction est égale à 2°, zero, il faut que le dénominateur foit infiniment grand par raport au numerateur; ainfi quand KSo, & sx, il faut que la coupée AB(x) foit infinie par raport à dd. Mais les x croiffant, les y croiffent auffi; c'eft pourquoi quand x est infinie, y l'eft auffi: d'où l'on voit que quand KS =o, c'est à dire, quand la foutangente commence au centre K, la tangente SC ne touche l'hyperbole qu'à une distance infinie; & c'est ce qu'on appelle l'afymptote de l'hyperbole : & lá feconde branche Arc de l'hyperbole ayant une femblable tangente, étant entierement égale à la premiere, elle a auffi fon afymptote, & ces deux afymptotes le font auffi des deux branches de l'hyperbole oppofée acc. L'on a déja un point des afymptotes au centre K ; voici la maniere de trouver le fecond point. L'équation dyy -xx x; d P ddo par raport à KB (x) infinie, & à BC (y) auffi infinie, c'est à dire, par raport au point C infiniment éloigné de K où l'afymptote touche l'hyperbole, devient yy - xx =0; car dd s'évanouit de l'équation, étant zero par raport aux deux autres termes où fonty & l'on a donc dyy=pxx &y Vd=xVp, ce qui donne x.y :: Vd. Vp. Or en menant tAT par le fommet A parallele aux ordonnées BC, l'on a deux triangles femblables KAT, KBC, dont le dernier est infiniment grand, & cependant l'efprit peut l'appercevoir & le fuppofer; l'on a donc, KB (x). BC (y) :: KA. AT : mais x. y :: Vd. Vp, donc Vd. √p :: KA(d). AT — 1 dvp Vd =Vdp; par consequent fi l'on fait ATVdp, c'est à dire, égale à la moitié de la moyenne proportionelle entre le premier diametre Aa & fon parametre plaquelle moyen391. ne proportionelle eft auffi le fecond demi-diametre *), &. qu'on tire la droite KT, elle fera l'afymptote de la branche ACC; & tirant de même At, ce fera l'afymptote de la feconde branche Acc; & les prolongeant du côté de l'hyperbole oppofée acc, elles en feront auffi les afymptotes. On trouve par une femblable methode les afymptotes des courbes des autres genres plus élevés qui en ont. A THEOREM E. Des proprietés de l'hyperbole par raport à fes afymptotes. 401. UN NE hyperbole ccACC & fon oppofée étant tracée fur FIG.XXI. un plan avec un de fes diametres quelconque donné Aa, fon fecond diametre dKD, & la tangente tAT à l'extremité de ce diametre, qui eft toujours parallele aux au fecond diametre; fi l'on fait AT, At chacune égale à la moitié du second diametre dKD, qu'on tire KT, Kt, & qu'on les prolonge à l'infini du côté de 4 & du côté de a ; ces lignes feront les afymptotes de l'hyperbole CAC & de fon oppofée, c'eft à dire, que chacune des quatre branches des hyperboles oppofées s'approchera toujours de plus en plus de fon afymptote fans pourtant la rencontrer, fi ce n'eft à une distance infinie. DEMONSTRATION. NOMMA OMMANTKA ({ d), KD (1⁄2♪), KB (x), BC (J), l'on • AT — KD (1⁄2♪) Ꮄ = dd -dd, donne I 402. Si l'on tire des paralleles ecBCE à la tangente tT; ou, ce qui eft la même chofe, au second diametre dD, qui se terminent de part & d'autre aux afymptotes; CE Ce = AT2 = 2 · KD2; car, par ce qui précede, CE=-xx-√xx-dd, ♪♪ = AT2=KD2. Add = Il est évident qu'on prouvera de même que ce × cEÃ3 403. 2 Si l'on mene auffi des paralleles Cex au premier diaFIG.XXII. metre, qui se terminent aux hyperboles oppofées, & qui coupent les afymptotes en e, ; Cex CeKA'; car les 401. triangles semblables KBE, Kbe donneront BE (***). KB(x) :: Kb (y={√xx-dd). be=Vxx-dd; d'où l'on aura Cex- -√xx - ÷ dd, & Ce=Cb+be=x+ 4dd; donc Ce x Ce+dd = KĀ2, FIG.XXII. I ‡dd).be 2 SECONDE PROPRIETE. 404. Si l'on tire par un point quelconque C de l'hyperbole ou de fon oppofée, des lignes droites comme GCg, ECe, &c. qui coupent chacune l'hyperbole en deux points C, c; C, i, & qui fe terminent aux afymptotes en E, e, en G, g; les deux parties de chacune de ces lignes droites comprises entre l'hyperbole & l'afymptote, comme CE, ce, ou CG, ig, &c. font égales. Si l'on en tire de même aux hyperboles oppofées, comme Ceex, CLlx, les parties Ce, x, font égales; comme auffi CL, xl feront égales. 1o. Cette proprieté eft évidente par raport aux lignes droites paralleles au demi-diametre dD; car la partie BE, par exemple de ECBce, eft égale à Be; & de plus l'ordonnée BC à l'ordonnée Bc; ainfi CE =ce. Il en eft de même des paralleles Ceex au premier diametre. 2o. Voici la démonstration pour les autres lignes comme GCigs il faut démontrer que CGig. Pour le faire on menera par C & par i les paralleles au fecond diametre ECce, Hqib, & on nommera CE ce (e), Ce=cE(c), qH=ih(i), iH=qh (h), iC(b); & les lignes qu'on veut prouver égales CG (2), ig(u). Les triangles femblables HGI, EGC donneront iH(b)-CE (-e). CE (e) :: ·CE (—e). CE (e) :: iC(b). CG ( z=//= c) • De même les triangles semblables Cge, igh, donneront Ce(c) — ih ( — i ), ih ( i ) :: iC (b). ig ( u — b. Il reste à démontrer que CG(==) = ig (u=). Il n'y a qu'à les réduire au même dénominateur, & l'on aura z = ex bce - bei bih-bei ; effaçant dans chacune bei, & divifant &u=_bih b-exc-i chaque reste parx, il refte d'un côté ce, & de l'autre ih. Or ce Ce x CE, & ibiH x qH; & ces deux produits font égaux * chacun à ATKD'; ainfi ils font 402 égaux; donc CGig. Ce qu'il falloit démontrer. On démontrera de même que CL=xlen menant par Z & / des paralleles au premier diametre KA. COROLLAIRE, Où l'on donne une defcription facile de l'hyperbole. 405. On trouve par cette proprieté tous les points qu'on veut d'une hyperbole & de fon oppofée, dont on a les asymptotes & un feul point C; car il n'y a qu'à mener par C tant de lignes droites qu'on voudra, comme Cg, CG, Cx, &c. & prendre fur chacune, par exemple fur GCg la partie ig= CG, & le point i fera un des points de l'hyperbole : il en est de mêmê des autres, & chaque point qu'on trouve, peut fervir de même à en trouver tant d'autres qu'on voudra. I TROISIEME PROPRIET E', Où l'on explique l'équation de l'hyperbole par raport 406. Si l'on tire par le fommet du diametre Aa, AF parallele FIG.XXII. 1o. Il est évident que la tangente tAT étant partagée .ce Yy dy. Mais cExce= b |