ont auffi les fommets aux deux extremités Aa de l'axe prin- :: AF, Pour trouver le raport de Aa à Ff, l'on a déja Oa. aF::: OA. AF, en faisant le changement alterne, Oa. OA :: aF, AF, en divifant Oa→ -OA=Aa. OA :: aF AFFƒ. AF; donc Aa. Ff :: OA. AF: dans l'hyperbole on trou vera Ox + OA = A a. OA :: a F + AF — FQ. AF; par confequent Aa - FQ :: OA . AF. Pour trouver la valeur de KO ou ko, foit Aa ou Aaa, Ff ou FQ=f. On fera cette proportion pour l'ellipfe KF (f). KA (a) :: AF ({ α — —ƒ).01 = ainfi KO0A + AK - aaaf aa f Dans l'hyperbole on aura kF (f). kA(a) :: AF=kF f Laa f 44. L'on remarquera que KO & k0= ; donnant cette proportion KF & kF(ƒ). KA & k▲(ža) :: KA & kẠ (a). KO & “), la ligne OH eft tangente au point Hoù est *386.398, CC c c ij RO (+ 419. l'ordonnée FH au foyer F. Ces chofes fuppofées, on trou- =x, a, KF ou kF=f, OB KO — KB dans l'ellipfe; & dans = l'hyperbole kBk0—± KF -kBkF= KB; (dans l'hyperbole) — kB = = + f x. Or les triangles semblables OAG, OBD, donnent OA • AG :: OB. BD=FC par la construction; mais OA. AG :: Aa, ou Ąα (a). Ff ou FQ (f); ainfi a. if:: x). BD ou FC=a. Maintenant dans le triangle rectangle FBC, FC - FB' 4ff + fx − xx=yy, qui fe réFF— aa Y Y = x* aa, qui eft l'équation de l'hyperbole, parceque Fo(f) furpaffe Aa (a): mais dans l'ellipfe où Aa (a) furpaffe Ff(f), il faut tranfpofer les membres de l'équation, & l'on aurayyaa — xx, qui eft l'équation à l'ellipfe. Dans l'une & dans l'autre fi l'on prend, 1°, une ligne & le second axe, & l'on aura yyxx ± 4 au. 2°. Si l'on =p, p fera le parametre du grand axe, & l'équation fera yy=xx±4aa. COROLLAIRE I. La fomme FC+fC des deux lignes menées des deux LA Fo.XXIII. foyers F,f à un point quelconque C de l'ellipse, est égale à & XXV. l'axe Aa, & la difference 4CFC des deux lignes menées des deux foyers à un point C de l'hyperbole, eft égale à l'axe Aa. DEMONSTRATION. Si l'on prend dans l'ellipfe K6— KB, qu'on mene bcd & Fc, ces deux lignes font égales par la conftruction. Et comme Kb KB, be eft auffi égale à BC; ainfi les triangles rectangles fBC, Fbc font égaux, & FcfC. On prouvera de même dans l'hyperbole, en fuppofant kB kB, que ¢ C = Fx ; ainfi il faut démontrer que FC + Fc Aa; & que Fx aa — FC—Âa. a. (1aa (žaa f x). BD = FC=¦a—. De même OA. AG :: a. žƒ :: Ob On fera les mêmes proportions pour l'hyperbole OA. AG aa :: a. f :: OB ( x — + f ) ⋅ BD = FC = — —ža. OA .AG :: a. f :: Oß ( x + Donc CFC = N REMARQUE. Où l'on donne la defcription ordinaire de l'ellipfe α & XXV. 420. On déduit de cette proprieté la maniere ordinaire de dé Fro.XXII↳ crire l'ellipfe & l'hyperbole, l'axe Aa ou A a étant donné, & les points F, f, ou F, o des foyers étant auffi donnés : en prenant dans l'ellipfe avec le compas un fegment quelconque AB de l'axe Aa, & du foyer F pour centre avec ce rayon AB tirant un arc de cercle, & décrivant enfuite de l'autre foyer f pour centre un autre arc avec l'autre fegment Ba pour rayon, l'interfection des deux arcs C fera un point de l'ellipfe; de même dans l'hyperbole décrivant un arc du centre Favec le fegment quelconque AB de l'axe a prolongé, & enfuite de l'autre foyer pour centre décrivant avec l'autre segment & B de l'axe a A prolongé un second fecond arc, point d'intersection C de ces deux arcs fera un point de l'hyperbole. I COROLLA IRE I I. le 421. Si l'on mene des foyers F, fpar un point quelconque C de Fio. XXV. l'ellipfe, les lignes FC, fC, & ayant prolongé fC en M en faifant CM CF, on tire F M, enfuite partageant FM qui eft la bafe du triangle ifocele FCM en deux moitiés en Z, on tire CZS, qui eft perpendiculaire à FM, elle fera la tangente au point C. CC c c iij * L DEMONSTRATION. par Il faut mener LN parallele à Ff, & par le centre K tirer KN qui fera auffi parallele à FLM; car LN partageant MF en deux parties égales en Z, partage auffi Mfen deux ties égales en N; ainfi KN, partageant Ff en deux parties égales en K, & fM en deux parties égales en N, eft parallele à FM. Mais puifque Mf= FC+Cf⇒ Aa (a), MN 419. NF-a, CN*: fx, LN eft la moitié de Ffs ainsi LN=f. Soit SB=s, les deux triangles femblables CLN CSƒ donnent cette proportion CN(). CF (+ — a) :: LN({ƒ).Sƒ={ƒ+ ; retranchant Bƒ( {ƒ+x) de Sƒ, da a r I qui eft *la foutangente D'où il est évident que les angles FCS, fCs font égaux. COROLLAIRE III.. = 422. Si l'on mene des foyers F, de l'hyperbole à un point FIG.XXVI. quelconque C, les lignes FC, C, & ayant pris CM CF, & mené F M, on tire CLS par le milieu L de FM base du triangle ifocele FCM, CLS eft la tangente au point C. AYANT DEMONSTRATION. fx YANT mené par Z milieu de MF, LN parallele à Fką, & tiré k N qui fera parallele à MF, il est évident, comme dans le fecond Corollaire, que MoaAa, NL= kF 419. f, CM= CF-a, ainfi CN= £, QC = £x ✦a. Soit SB=s, les triangles semblables CNL, COS donneront cette proportion CN().C¢ (+ £a) :: NL({ƒ). =s; ôtant ok (f) de oS, l'on aura *398. kS= 423. — kB — SB=x-s, qui eft * la valeur de kS, c'est à dire la distance du centre k au point S de la foutangente. Il est évident que les angles 4CS, FCS sont égaux. Methode generale de décrire les courbes algebriques en trouvant 424. 1°.IL faut d'abord tirer les lignes des coordonnées qui REMARQUE. 425. QUAND y a plufieurs valeurs pofitives, la courbe a plufieurs branches du côté où l'on a fuppofé les y pofitives: quand y a des valeurs négatives, il faut les tirer du côté des y négatives. Quand on trouve que la valeur de y eft zero, c'est une marque que la courbe joint le diametre des x à l'endroit de la valeur de x qui a donné yo; quand on trouve des valeurs imaginaires, c'eft une marque qu'il n'y a aucune partie de la courbe fur la partie du diametre à qui conviennent ces valeurs imaginaires de y, comme on le trouve dans l'hyperbole, n'y ayant aucune partie de la courbe fur l'axe |