ni fur fes premiers diametres, & les hyperboles oppofées commençant chacune aux extremités de l'axe ou de chacun des premiers diametres. Quand en prenant ia, -3a, &c. pour les valeurs déterminées des x, on trouve des valeurs dey, il faut mettre ces ordonnées y du côté des x négatives. L'énoncé de cette methode paroît affez clair clairement concevoir. pour la faire 426. QUAND on a l'équation d'une courbe, par exemple de quelqu'une des trois fections coniques par raport à l'un de fes diametres, trouver l'équation qui exprime le raport des points de la même courbe à une autre ligne droite donnée de pofition fur le même plan. LES Es équations des fections coniques par raport à leurs diametres étant difpofées de façon que zero en foit le second membre, font: yy—px=0, équation à la parabole. d - Pyy + xx + xx — 1 dd = 0, équation à l'ellipfe par raport à fon premier diametre, ou bien yy + 2 xx - 1 dp = 0. P d =xx+yy — —♪♪♪— o, équation à l'ellipse par raport à son fecond diametre, ou bien xxyy — 1 d x = 0 ; & quand le diametre est égal au parametre, elle devient xx + y y - 2 dd o, qui eft l'équation au cercle, quand les y font perpendiculaires aux x. yy = — xx + 4 dd = o, équation à l'hyperbole par raport à fon premier diametre, ou bien yy P xx+4dp=0; quand yy- - xx + dd O. d =p, elle devient yy Ꮄ · vy — — ♪♪♪ — 0, équation à l'hyperbole par raport à son second diametre, ou bien xx— — — yу — — ♪ π = 0;quand vy - 4 dd = 0. =d, elle devient xx — yy — para On remarquera dans ces équations, 1o, que p que peft le metre du premier diametre, d'eft le premier diametre, est le parametre du fecond diametre, deft le second diametre: dans l'ellipfe & dans l'hyperbole on prend l'origine des FIG.XVI. Coupées x au centre K ; mais dans la parabole l'origine XVII. des x eft au fommet A. 2°. Que dans l'équation à la parabole XVIII. l'une des inconnues est élevée au quarré, & l'autre n'est que lineaire ; lineaire; dans l'ellipfe, elles font toutes deux élevées au xy — ab = 0, ou xy — aa―o eft l'équation à l'hyperbole par raport aux afymptotes, & l'hyperbole est équilatere, quand l'angle des afymptotes eft droit. POUR LA PARABOLE. fon 427. AYANT l'équation yy — px = o de la parabole AC par F16. XXVIL Il faut mener par O la ligne ÒZM parallele à AB, tirer Il faut mettre dans l'équation yy — -px: =0 =o le quarré de la valeur de BC à la place de yy, & la valeur de AB à la place de x ; & l'on aura zz — uz — 2lz+uu+ 21a+ll — 0. 251 F -bp u + ip C'est l'équation la même parabole AC par raport à la ligne ON. DD dd REMARQUE. 428. ON remarquera que N remarquera que le coeficient qui multiplie le terme au, est toujours égal au quarré de la moitié du coeficient 28, qui multiplie uz, & qu'ils doivent avoir des fignes differens; l'expreffion même le fait ici connoître : mais dans tous les cas où l'expreffion ne le fait pas connoître, il n'eft pas moins neceffaire que cela fe trouve; autrement l'équation ne feroit pas à la parabole, en voici la raison: Pour réduire l'équation précedente qui est à la ligne ON differente du diametre AB à l'équation yy-px=o, qui eft l'équation fimple au diametre AB, il faudroit faire évanouir les termes où z est lineaire, en fuppofant l'ordonnée BC (y)=zu ou y+fu+l=2; & il faut en même temps que le quarré uu de la feconde inconnue a s'évanouiffe, or cela ne sçauroit fe faire, comme on le peut voir en faifant foi-même l'operation, que le coeficient qui multiplie zu, ne foit égal au quarré de la moitié du coéficient qui multiplie uz, & que ces coéficients n'ayent des fignes differens. u fon pa Pour l'hyperbole par raport à fon premier diametre. 429. AYAN YANT l'équation yy — 2xx+dpo de l'hyperbole FIG, XXVII. AC par raport à fon premier diametre Aa d, fur lequel font prifes les coupées KB =x depuis le centre K, rametre est AP=p, les ordonnées font BC=y faifant l'angle donné CBA avec le diametre prolongé a As trouver l'équation de la même hyperbole par raport à la ligne droite ON donnée de pofition fur le même plan, dont l'origine est le point fixe O. Il faut mener par O la ligne OM parallele au diametre aAB, prolonger l'ordonnée CB en Ñ qui coupera ALM en M, tirer par le fommet A la ligne AL parallele aux ordonnées NC, prendre fur ON la ligne déterminée arbitraire OF qu'on nommera f, élever FG qu'on nommera g parallele aux ordonnées, elle déterminera OG qu'on nommera h; on menera auffi Oim par O parallele aux ordonnées NC; toutes les autres lignes de la figure 27 font ici inutiles: on fuppofera ON=u, NC; les données AL—BM=1,0l = Ki =i; les triangles semblables OGF, OMN donnent comme ci-deflus NM-u, OM➡u ; ainfi on a l'ordonnée น BC ——}u—l, KB=OM—Ol=iB—iK=}u—i; =0% au Il faut mettre dans l'équation yy - 2 xx + 1 dp — fa valeur ui; & l'on aura u C'est l'équation à la même hyperbole AC par raport à la Pour l'hyperbole par raport à fon fecond diametre. 430. DKd (♪) eft le second diametre de l'hyperbole AC, Dp(#) F16. XXVII. eft fon parametre, BC eft l'ordonnée (x), KB (y) = BC eft la coupée; & l'équation par raport à ce fecond diametre est XX Fyy - 1ST Il faut mener par O la ligne Oim parallele au fecond dia- f On fubftituera dans xx Ιβ -Fyy =0, au lieu de x=@C, la valeur de BC-ul; & à la place de κB C'est l'équation par raport à la ligne On differente du fecond REMARQUES. I. 431. DANS l'hyperbole équilatere où d = ♪ = p = 7, l'équation du premier & du fecond diametre devient par raport à la ligne ON ou On, zz — uz — 2lz + uu+23!u+ll =0. 432. 88 +4dd Il y a dd quand c'est le premier diametre, &- i̟ dd quand c'est le second diametre. I I. 88 hhp Comme les quarrés des deux inconnues doivent se trou•ver fous differens fignes dans l'équation à l'hyperbole par raport à fes diametres; il faut que le coeficient he qui multiplie uu foit moindre que le quarré de la moitié du coéficient , qui multiplie uz dans les cas même où l'expreffion ne le fait pas voir d'abord comme ici; autrement l'équation ne feroit pas à l'hyperbole. 23 Pour l'hyperbole par raport aux afymptotes. 433. AYANT YANT l'équation xy ab =o de l'hyperbole cPC par Fie. XXVIII, raport aux afymptotes KB (fur laquelle font prifes les x=KB) & Kb à laquelle font paralleles les y BC, où KQ=a,& QP=6; trouver l'équation de la même hyperbole par raport à la ligne ON donnée de pofition fur le même plan dont l'origine eft le point fixe 0. Il faut mener OM parallele à KB, prolonger CB jufqu'en N qui rencontrera O M en M; mener par O la ligne OL parallele à CN, qui rencontrera BK prolongée au point Z; prendre OF d'une grandeur déterminée qu'on nommera f, élever FG, qu'on nommera g parallele à CN; elle déterminera OG qu'on nommera h; on fuppofera enfuite les données KL=i, OL= 1, & les inconnues ON=u, NC=2, & l'on aura comme dans les cas précedens NM-u, OM — }u, BC = z — } u—l, KB=LB ou OM—KL=}% is cela fuppofé, Il faut fubftituer dans xy-abo, au lieu de x (KB) & dey (BC), les valeurs de KB=}u — i, & de BC=& |