-u-1, & l'on aura aprés avoir multiplié tous les termes +1 u — abf 다 c'est l'équation de l'hyperbole entre les afymptotes par ra 434. AYANT 435. POUR L'ELLIPSE. YANT l'équation yyxx-dpo de l'ellipfe par FIG. XXIX. raport à fon premier ou fecond diametre Дa —d ( îl n’importe pas) dont le parametre eft AP=p, les coupées font KB= =x, les ordonnées BC=y; trouver l'équation de la même ellipfe par raport à une ligne droite ON donnée de pofition fur le même plan dont l'origine eft le point fixe 0. Il faut mener par O, OM parallele au diametre Aa, prolonger CB en N qui rencontrera C M en M; mener par 0, OL parallele à CN; prendre une ligne déterminée OF qu'on nommera f; élever FG qu'on nommera g parallele à NC, elle déterminera OG qu'on nommera h; on fuppofera auffi OL =BM=l, KL=i, ON=u, & NC=z, & l'on aura BC—2—ƒu—l, & KB=LB ou OM — KL—}u—i. Cela fuppofé,⚫ g On fubftituera dans yy + xxdpo, à la place de BC (y), fa valeur z — u — 1 ; & à la place de KB ( x ) sa valeur ui, & l'on aura. ༢ =0; c'est l'équation de l'ellipse par raport à la ligne ON diffe- Remarques fur l'équation précedente I. COMME les quarrés des deux inconnues doivent être dans hhp aff DD dd ij 436. I I. Où l'on fait voir la maniere de trouver l'équation du cercle par raport à une ligne differente de fon diametre. Quand dans l'équation de l'ellipfe d=p, & que l'angle FIG. XXIX. des ordonnées avec le diametre eft droit, l'équation de l'ellipfe devient celle du cercle, & alors l'angle OMN étant droit, OF2 (ff) FG2 (gg) + OF2 (hb); ainsi mettant au lieu de hh fa valeur ff-gg, & dà la place de p, l'équation devient — — 2lz +uu + 23 u → ll = 0; 22 — uz + li 23 = 281 F c'est l'équation du cercle par raport à la ligne ON differente du diametre Aa. S'il n'y avoit que la ligne OGM parallele au diametre Aa, & que l'angle MON fût nul; alors OF (f) devient OG (h), & FG(g) devient zero; par confequent l'équation précedente au cercle devient ༢༢ — 2/༢ + # — ziu + ll O. Remarques generales fur tout le Problème précedent, I. 437. QUAND au lieu de l'équation par raport à une ligne FIG XXVII. droite ON, qui eft oblique par raport au diametre des XXVIII. fections coniques, on veut l'équation par raport à une ligne XXIX. 438. droite OM parallele au diametre Aa; il est évident que dans ce cas, FG(g) devient égale à zero, que OF (f) & OG (h) deviennent la même ligne, ainfi dans les équations précedentes il n'y aura qu'à effacer toutes les grandeurs où fe trouve g comme étant zero, & faire partout f=h, & les équations deviendront celles que l'on demande. I I. D'où l'on voit que quand le terme uz manque dans une équation aux fections coniques, & que cependant il y a outre les quarrés zz, uu, des termes où z&u font lineaires, c'est une marque certaine que la ligne OM à laquelle l'équation marque le raport, eft parallele au premier diametre Aa ou ༢. 439. au fecond diametre dans l'hyperbole & dans l'ellipfe, & au diametre AB dans la parabole. I I I. ༧༢. P d Dans le même cas où uz ne fe trouve pas, toutes les grandeurs où eft g devenant zero, & ƒ devenant égale à h, la fraction qui multiplie au marque toujours le raport du parametre au diametre dans l'hyperbole & dans l'ellipfe; car alors le terme où eft uu devient neceffairement uu, dans l'hyperbole, & dans l'ellipfe; parceque devient zero, & huu devient fuu, à cause de bh=ff. Si dans le même cas uu n'a aucun coéficient, l'hyperbole est équilatere, & dans l'ellipfe le diametre eft égal au parametre, & fi l'angle des ordonnées & du diametre est droit, l'équation de l'ellipfe devient l'équation du cercle. aff นน I V. ff นน L'ufage des équations de la parabole, de l'ellipfe, de l'hy440. perbole & du cercle par raport à leur diametre & par raport à une autre ligne que le diametre ( qu'on nomme ordinairement les lieux geometriques du premier genre) eft, 1°, pour connoître tout d'un coup, quand en refolvant un Problême on trouve une équation qui appartient à une section conique; pour connoître, dis-je, fi c'eft une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipfe, ou un cercle: car quand l'équation qu'on trouve est semblable à quelqu'une des équations des fections coniques par raport au diametre, & n'a pas plus de termes, on connoît d'abord à quelle fection conique appartient l'équation qu'on a trouvée; & quand l'équation qu'on trouve a plus de termes que n'en ont les équations fimples des fections coniques par raport à leur diametre, on connoîtra en comparant l'équation trouvée avec les équations des fections coniques par raport à une autre ligne que le diametre, à quelle fection conique elle appartient; par exemple, fi uz ne s'y trouve pas, & qu'il n'y ait que le quarré de l'une des inconnues, c'eft une parabole; fi les deux quarrés des inconnues s'y trouvent fous un même figne, c'est une ellipfe; fous differens fignes, c'est une hyperbole par raport au diametre: Si les deux quarrés ont le même figne, & n'ont aucun coeficient, & que l'angle des ordonnées foit droit, c'est un cercle. Quand uz s'y rencontre, après avoir ôté le coéficient de l'un des quarrés des deux inconnues, s'il en 441. avoit un, on connoîtra que l'équation eft celle de la parabole, quand la fraction qui eft le coéficient de uu eft égale au quarré de la moitié du coeficient de uz; que l'équation appartient à l'hyperbole quand elle eft moindre, & à l'ellipfe quand elle eft plus grande; & que fi les deux quarrés des inconnues n'ont pas de coeficient & ont le même figne, l'équation appartient au cercle. 2°. Pour tracer les courbes de ces équations, quand on a découvert, comme on vient de le dire, fi elles appartiennent à la parabole, ou à l'hyperbole, ou à une ellipfe, ou au cercle: car fi l'équation qu'on a trouvée eft fimple, & appartient à une fection conique par raport au diametre, on la tracera par les art. 360, 361. Si l'équation trouvée appartient à une fection conique par raport à une autre ligne qu'au diametre, on regardera celle des équations des fections coniques par raport à une autre ligne qu'au diametre, à qui l'équation trouvée eft femblable, comme étant la même équation que l'équation trouvée, & la figure de la fection conique de la premiere de ces deux équations comme étant la figure de la feconde, c'est à dire, de l'équation trouvée. On fuppofera les termes correfpondants de ces deux équations égaux entr'eux; & par les valeurs. des indéterminées f, g, i,l, d, f, que feront trouver les équations particulieres de la fuppofition des termes correlpondans égaux, on aura la valeur du diametre d & du parametre p de la fection conique de l'équation trouvée, & le centre de cette fection conique, quand elle en a un, & on pourra la décrire par la methode des art. 360, 361, en faisant. à l'exemple des figures 27, 28 & 29, une figure propre à l'équation trouvée. L'on remarquera que l'angle des coordonnées eft toujours donné ou arbitraire; ce qui eft cause. qu'il fuffit de déterminer les valeurs des lignes OF (f),FG(g) des figures 27, 28 & 29, pour avoir la valeur de la ligne OG(h). V. Comme l'on a fuppofé dans les équations du Problême précedent les grandeurs f, g, h, &c. pofitives, quand la comparaifon des termes correfpondants de ces équations avec ceux de l'équation qu'on trouve dans la réfolution d'un Problême, fait trouver les valeurs de ces lettres négatives ou une partie, cela marque qu'il faut tracer les lignes represen tées tées par ces lettres négatives du côté opposé à celui où un V I. ز 442. On remarquera enfin que quand on compare une équation 38 ff ff 9x-4a on prendra y pour l'ordonnée z, & x pour la coupée z, & 44 443 41 4ai bPu 9x-44 4a pu. =0 p; ainfi le 9i 42 4a & Ai (i) a. Le figne marque qu'il faudra prendre iA (i —— a), non pas en allant de i vers A, mais en allant du côté oppofé de i vers (a); & le fommet de la parabole de l'équation propofée fera en(a). On pourra la décrire par la methode de l'article 360, puifque l'on a fon diametre & fon parametre, & qu'on fuppofe que EEee |