Et comme l'on peut exprimer les coéficients qui font connus par d'autres grandeurs connues plus fimples,* on expri- * 2793 mera le coéficient du terme uz par 2m; celui du terme 2m uu par 293 celui du terme zu par celui du terme u par s, & enfin le dernier terme par tt, & l'on aura l'équation abregée zz-uz-2qz #uusutto, qui contient toutes les équations aux fections coniques par raport à une autre ligne qu'au diametre, n'y ayant que la diverfité des fignes, les differens raports des coeficients, & quelques termes qui peuvent quelquefois fe trouver nuls ou égaux à zero, qui la rendent propre à l'une des fections coniques plutôt qu'à l'autre. rr nn mm Quand eft pofitive & égale au quarré de la moitié de 2m, la fection conique eft une parabole.* nn 440. 440. Quand eft pofitive & furpaffe mm, c'est une ellipfe.* tes. Si on vouloit trouver le parametre, quand c'eft une parabole, le parametre & le diametre, quand c'eft une hyperbole ou une ellipfe, il n'y auroit qu'à fuppofer chaque terme de l'équation abregée (excepté le premier) égal au terme qui lui répond dans l'équation correspondante du feptiéme Problême *, & déterminer par ces équations les valeurs des * indéterminées f, g, i, l, d,p, & la valeur de p feroit le parametre, celle de d feroit le diametre. Mais comme l'on n'a befoin de ces chofes que pour décrire la fection conique par la methode des art. 360, 361, & que la pratique du Problême que l'on traite ici, donne la description facile de la fection conique, il eft inutile de les expliquer ici plus au long. La maniere de trouver les axes avec leurs parametres des fections coniques décrites par la methode précedente. L 426. 444. Il faut remarquer pendant que l'on fait la description de la FIG. XXXIL & ce qui eft plus facile, il faut tracer la circonference AMBNA fur la corde AB, de maniere que l'arc AMB (du côté de la ligne donnée DE où fe coupoient les deux premiers côtés, pendant que le point de concours des feconds côtés décrivoit la courbe) foit capable d'un angle AMB, qui fasse avec les deux angles donnés EAF, EBF, quatre angles droits. Il faut enfuite tirer par le centre O de će cercle la ligne NOMD perpendiculaire à la ligne donnée DE; & ayant mené par le point M où elle rencontre la circonference, les droites MA, MB, il faut faire l'angle MAf égal à l'angle donné EAF, & MBf = EBF ; & les deux lignes Af, Bf feront paralleles : car l'angle AMB faisant deux droits avec MAB, MBA, il faut que les deux qui restent BAƒ, ABffaffent auffi deux angles droits, puifque AMB fait quatre angles droits avec MAf, MBf; par confequent Af, Bf font paralleles. Or l'on va démontrer par l'Analyfe que l'axe ou l'un des axes de la courbe décrite par le point F, eft parallele aux lignes paralleles Af, Bf, d'où il fera facile de trouver l'axe dans la courbe décrite par le point F. La corde AB qui joint les deux poles eft donnée; & les angles AMB, MAƒ, MBƒ font auffi donnés, puifque les angles EAF, EBF, aufquels les deux derniers font égaux, font donnés; & de plus la ligne DE eft donnée de pofition; c'est pourquoi la circonference AMBNA eft donnée, fon diametre MN eft donné, les lignes ND, MD font données, comme auffi AM, MC, BM, ML, & menant AN, BN, ces lignes font auffi données, enfin tirant AK perpendiculaire fur fB prolongée en K, AK & BK font données. Il faut encore tirer FH perpendiculaire fur BH qui rencontre Af en G; & enfin tirer du point E fur AMC prolongée la perpendiculaire EI; ces chofes fuppofées, On nommera les données DM(m), DN(n), AK(a), KB(b), MC(c), CD(d), DL(e), ML(f); & les inconnues DE (x), AG(), FG(). Les triangles rectangles femblables DMC, CEI, donnent MC (c). CD(d) :: CE ( x − d) • CI = dx=dd ; & MC (t). DM (m) :: CE(x — d). EI= mxdm. Les triangles rectangles MDC, MAN étant semblables à caufe des angles égaux oppofés au fommet DMC, AMN, l'on a MC(c). MD (m) :: MN(nm). AM mn-mm с ; d'où l'on déduit AI AM+MC+ CI= mn-mm+cc + dx-dd = "+dx; parceque + MC2 (+ cc) + DM2 (+mm) + CD2 (+ dd). Or les triangles rectangles EAI, FAG, font semblables; car ôtant l'angle EAG des angles égaux IAG, EAF, les angles reftans EAI, FAG font égaux; c'est pourquoi AI (+dx). EI (mx-dm) :: AG(u) . FG (z); ce qui donne DE (x)=x-dm". Il faut à prefent trouver une feconde valeur de DE (x). с Les triangles rectangles LDM, LEP, font semblables, ayant l'angle Z commun; c'est pourquoi ML (f). MD (m) :: LE (e + x). EP = em+mx; & ML(f). LD (e) :: LE (e+x). LP = x. Mais les triangles rectangles femblables MLD, MNB, donnent ML (f). MD (m) :: MN d'où l'on déduit BP BM (n-m). BM= ML-LP= f ex mn-mm ز mn-mm + ff → ee — ex (+ff) = MD2 (mm) + + ff—ee - ex = mn=ex, à caufe de ML 2 LD2 (+ ee). Enfin les triangles rectangles BEP, BFH, sont semblables, puifqu'en ôtant des angles égaux EBF, MBf, l'angle commun MBF, les angles reftans EBP, FBH, font égaux; c'eft pourquoi BP(x). EP (mm) :: BH = AG(u) — BK (b), FHFG(z) + GH = AK(a); d'où l'on tire x 438. C'est l'équation de la courbe que décrit le point F, (fig. 32 ), laquelle équation appartient à l'ellipse, puisque zz & muu ont le même figne +*; & le produit uz ne s'y trouvant point, * 440. 1o, la ligne des coupées AG(u) eft parallele au diametre*, lequel diametre eft l'axe, puifque l'ordonnée FG (2) eft perpendiculaire à la ligne des coupées AG(u). 2°. DM (m) coeficient de uu, marque le raport du parametre au diametre * & par confequent auffi le raport du quarré du fecond diametre au quarré du premier diametre. DN Quand la ligne droite DE que décrit le concours des deux premiers côtés EA, EB, eft coupée par la circonfe FFff 439. rence AMBNA; quand elle eft par exemple de, l'équation dn + en K 440. à l'hyperbole par raport au diametre, parceque*- ** uu a le mier diametre. DN Quand la droite DE touche la circonference AMBNA & devient ♪e, alors les triangles MDC, CEI, MDL s'évanouiffent, & il ne refte que les triangles AEI,FAG,MAN, MBN, BEP, BFH; & fi l'on fait une figure pour ce cas, on trouvera en se servant de ces triangles une équation à la parabole dans laquelle uz & uu ne fe trouvent point; ce qui 438. fait voir que AG eft parallele au diametre * qui doit être l'axe, puifque FG (2) eft perpendiculaire fur AG (#), REMARQUE. 445. QUAND une fection conique eft décrite, & qu'on a une ligne droite donnée de pofition AG parallele à l'axe, pour trouver l'axe, il n'y a qu'à mener deux perpendiculaires à AG qui fe terminent de côté & d'autre à la courbe, & mener une droite par les points du milieu de chacune, ce fera l'axe, COROLLA IKE I. 446. ON N peut aisément mener une rangente de la courbe par FIG. XXXII. l'un des deux poles, comme B, fans même qu'elle foit tracée. Il faut mener par le pole A une droite A2 jufqu'à la donnée DE (on peut facilement l'imaginer, & les lignes dont on va parler, qu'on n'a pas tracées dans la figure 32, pour éviter la confufion) qui faffe avec AB l'angle QAB EAF; puis mener 2B, & tirer par B la ligne Bf, qui faffe avec QB l'angle QBf = EBF, & cette ligne Bf fera tangente au point B: Car en imaginant la fituation des deux premiers côtés AE, BE dans le temps que le fecond côté AF eft couché fur AB, & décrit la portion de courbe infiniment petite au point B ; il eft clair que dans cette fituation l'angle BAQ est égal à EAF, & QBF= = EBF, & qu'à ce COROLLAIRE I I. Où l'on enfeigne à décrire telle fection conique qu'on voudra 447. COMME l'on décrit une ligne droite dont on a deux points, Pic, XXXIII, Si l'un des cinq points ou une partie des cinq points étoit dans l'une des hyperboles, & les quatre autres ou l'autre partie dans l'hyperbole oppofée, il faudroit faire les angles FAE, GAK égaux chacun à l'angle CAB, & non pas à fon complement à deux droits CAD; & de même les angles FBE, GBK égaux chacun à l'angle CBA, & la ligne EDK pafferoit entre les poles A & B, comme dans la figure 30.. AVERTISSEMENT.. 448. Si au lieu d'une ligne droite DE l'on faifoit parcourir au FIG. XXX. point de concours E des deux premiers côtés AE, BE des & XXXL. angles mobiles EAF, EBF, une des fections coniques, laquelle on voudra, qui paffât par l'un des poles, par exemple par A, le point de concours F des deux feconds côtés AF, FFff ij |