BF, décriroit une courbe du fecond genre, c'eft à dire, dont On ne porte pas ici cette matiere plus loin, parcequ'il faudroit faire un traité entier de ces lignes courbes; & on s'eft propose seulement de faire voir ici quelques ufages de l'Analyfe par raport aux courbes geometriques, & furtout aux fections coniques, & ce que l'on en a dit fuffit pour entendre ce que l'on dira dans la fuite qui y aura raport, fans avoir besoin d'autres ouvrages. DES COURBES QUI NE SONT PAS GEOMETRIQUES. pour 449. OUTRE les courbes geometriques dont les coordonnnées font de fimples lignes droites par le moyen defquelles on exprime un raport commun à tous les points de chacune de ces courbes par une équation algebrique, où les inconnues ont un nombre déterminé de dimenfions; il y a une infinité d'autres courbes dans chacune defquelles il y a, comme dans les courbes algebriques, un raport commun à tous leurs points que l'Analyfe exprime par une équation; mais ce ne peut pas être en y employant de fimples lignes droites coordonnées qui ayent entr'elles un commun raport, qui puiffe être exprimé par une équation algebrique, ce feroient des courbes geometriques; mais dans quelques-unes on fe fert pour l'une ou l'autre des coordonnées, & quelquefois pour toutes les deux, de lignes courbes, comme d'arcs de cercle, ou d'arcs d'autres courbes; ou bien l'on se sert de lignes droites pour coordonnées; mais que l'on fuppofe égales à des arcs de cercles ou d'autres courbes; dans quelquesunes les abciffes partent d'un même point, & les ordonnées font des arcs de courbes; dans quelques autres les coordonnées quoiqu'elles foient des lignes droites ou des arcs de courbes, elles fuppofent encore la quadrature de quelques courbes, c'est à dire l'expreffion des coordonnées dans l'équation de ces courbes, contient l'expreffion de la quadrature de quelque courbe divifée par quelque ligne. Il y en a 593 Quelques-uns appellent ces lignes mechaniques; d'autres par Quoiqu'on puiffe exprimer les principales proprietés de plufieurs courbes mechaniques par des équations où il ne faut que le calcul ordinaire de l'Algebre; on ne peut gueres cependant découvrir les proprietés & les ufages des courbes mechaniques, qu'en employant dans leurs équations les expreflions du calcul differentiel & integral, & en se servant de ce calcul; c'eft pourquoi on fe contentera ici de donner feulement l'idée de quelques courbes mechaniques. I DES LIGNES SPIRALES. 450. Si l'on imagine que le rayon CA prolongé à l'infini, du FIG. XXXIV. cercle AED, fe meut en tournant autour du centre C, en commençant au point A, & allant de A vers E, D, A, & qu'en même temps un point C parte de C, & fe meuve fur le rayon CA de maniere qu'il arrive au point A en même temps que CA; la ligne CBA que décrit le point C par ce mouvement, s'appelle fpirale. Sa proprieté principale se déduit de fa formation, qui eft que la circonference AEDA est à un arc quelconque AED pris depuis l'origine A jus FFff ij qu'au point D où se trouve le rayon CD quand le point mobile C fe trouve en même temps au point B de la fpirale, comme le rayon CD que parcourt le point mobile Ĉ pendant que le rayon CD ou CA parcourt la circonference entiere, eft à la partie CB du même rayon que parcourt le même point C pendant que le rayon CA ou CD parcourt l'arc AED. Ainfi nommant le rayon r; fa partie CB prife pour abfciffe, x; la circonference AEDA, c; & chacun des arcs AED pris pour ordonnées, y; la proportion précedente s'exprimera ainfi, c.yr. x; ce qui donne l'équation à la spirale cx=ry, ou x=2. =끙. REMARQUES. I. 451. ON remarquera que quand le point mobile C est arrivé en A, il peut conttnuer de fe mouvoir; & dans une feconde revolution, il décrira une feconde partie de la spirale, dans une troifiéme revolution, une troifiéme partie de la fpirale, & ainfi à l'infini, ce qui eft caufe que le rayon prolongé CA rencontre la spirale en une infinité de points; & que l'abf ciffe x peut avoir une infinité de valeurs par raport à tous ces points. 452. 453. I I. On peut encore concevoir que le point mobile C peut fe mouvoir de C jufqu'à A, de maniere que le raport de la circonference AEA (c) à l'arc AED (y), foit le même que celui d'une puiffance quelconque m (m reprefente un nombre quelconque entier ou rompu) du rayon CA (r") à une semblable puiffance de l'abfciffe CB (x") ; & l'on aura pour l'équation de ces fpirales à l'infini.cx =rmy, ou x' =~Y. I I I. m m rm Outre ces fpirales, l'on en peut encore imaginer d'autres d'une infinité de fortes, parmi lesquelles on fera feulement ici remarquer la fpirale logarithmique, dont la proprieté est. que la tangente BT à un point quelconque B, fait toujours le même angle au point B avec le rayon BC. Mais l'équation neceffaire pour exprimer cette fpirale, employe le calcul differentiel dont on ne parlera que dans la partie qui fuit. On remarquera feulement que cette fpirale ne commence DES CYCLOÏDES. 454. Si l'on imagine que le cercle AFE roule fur la droite ED, F16. XXXV. & fi l'on conçoit que le point A décrit en même temps une courbe AfD fur le même plan où eft la ligne ED & le cercle AFE qu'on appelle generateur, cette courbe fe nomme cycloïde. Si l'on tire par tous les points F de la demi-circonference AFE, une droite Ff parallele à la base ED, jusqu'à la cicloïde en f, la droite Ffeft toujours égale à la longueur de l'arc AF, & la base ED eft égale à la demi-circonference AFE. Car il est évident que quand le point A est arrivé au point D, tous les points de la demi-circonference AFE, à commencer du point E, ont été appliqués fucceffivement fur les points de la base ED, & qu'ainfi toute la demi-circonference EFA a été, pour ainsi dire, mefurée par la base ED, qui lui eft par confequent égale, & que quand le point A eft arrivé au point ƒ de la cycloïde, fi l'on trace fe demicercle generateur afe par ce point f, en faisant ae perpendiculaire fur ED, Ee eft la mesure de l'arc qui en roulant s'est, pour ainfi dire, mefuré fur Ee, lequel arc eft vifiblement égal à l'arc AF, ou af qui eft celui qu'a décrit pendant ce mouvement le point A depuis A jusqu'en F, ou depuis a jufqu'en f, en tournant fur fon centre, pendant qu'en`avançant, le cercle generateur roulant toujours, le même point A a décrit la partie de cycloïde Af. Or Bb étant égale à Ee, & BF à bf, il est évident que Ff = Ee=à l'arc AF ou af. Ainfi prenant la demi-circonference AFE pour la ligne des coupées, & les droites Ff pour les ordonnées, & nommant la demi-circonference AFE (c), la bafe ED (b), chaque coupée AF(2), l'ordonnée Ff(y), l'on aura c. b:: z. I, ::༢:་ ce qui donnera l'équation à la cycloïde y; ou bien, parceque c=b, l'équation feray: ASS. Si l'on prolonge fF jufqu'à B, & qu'on nomme Bf(y), AE(a), AB(x), AF(z), il eft évident que l'ordonnée BF eft égale à l'arc AF (2), & de plus à la perpendiculaire BF, qui est égale * à VAB × BE=√ax xx ainfi l'on aura* 287. encore y=z+Vax xx pour l'équation à la cycloïde, 456. C'est encore une proprieté de la cycloïde, qu'on démontrera dans la feconde partie, que chacun des arcs de la cycloïde, comme Af, eft double de la corde AF de l'arc correfpondant AF; ainfi nommant toujours AE (a), AB(x); 288. l'arc Aƒ(s); la corde AF fera égale * à Vax, & l'on aura pour une troifiéme équation de la cycloïde s = 2√ax. REMARQUES. I. 457. LA cycloïde a beaucoup de proprietés & d'ufages qui ont été découverts de notre temps; & de plus l'on a diftingué trois fortes de cycloïdes à qui convient l'équation y 458. 459. I' re I", quand b =c, c'eft la cycloïde ordinaire; 2°, quand b furpaffe c, c'eft la cycloïde allongée ; 3°, quand b eft moindre que c, c'eft la cycloïde racourcie. I I. Il y a même une infinité d'autres fortes de cycloïdes, qui ont pour base ED une courbe; elles fe forment en concevant que le cercle generateur roulant fur une circonference ou fur une autre courbe, un point pris dans la circonference du cercle generateur, ou dans un des rayons au dehors ou au dedans du cercle, décrit fur le plan où eft ce cercle une efpece de cycloïde, qu'on appelle epicycloide. On doit bientôt voir un fçavant traité de toutes ces cycloïdes compofé par M. Nicole. I I I. On peut concevoir que le cercle generateur fait une infinité de tours fur fa bafe prolongée à l'infini, ainfi chaque cycloïde peut s'étendre à l'infini, excepté une espece d'epicycloïde autour de la circonference pour base, qui revenant aux mêmes points, eft bornée à n'avoir qu'un nombre déterminé de parties toutes femblables, & elle est geometrique. ΟΙ DE LA COURBE LOGARITHMIQUE. 460. SOIT une droite AL prolongée de côté & d'autre à l'inFIG, XXXVI. fini, & conçue partagée en parties égales les plus petites qu'on puiffe imaginer, AC, CE, EG, &c. & qu'il y ait fur les divifions les droites paralleles AB, CD, EF, &c. qui faffent une progreffion geometrique; la courbe BDFH, &c. qui paffe |