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paffe par toutes les extremités de ces droites proportionelles,
s'appelle la logarithmique, dont les coupées font fur la droite
AL, & les ordonnées font AB, CD, &c. Cette courbe a
plufieurs proprietés de grand ufage; mais comme l'on ne
peut gueres les exprimer que par le calcul differentiel, on
fera feulement remarquer ici que comme les parties de la
ligne des coupées font une progreffion arithmetique, & les
ordonnées correfpondantes une progreffion geometrique; &
que quand tous les termes d'une progreffion arithmetique
font correspondants pris de fuite aux termes d'une progref
fion geometrique auffi pris de fuite, les termes de la progref
fion arithmetique s'appellent les logarithmes des termes de
la progreffion geometrique; la courbe logarithmique con-
tient les uns & les autres, & c'eft delà qu'elle tire fon nom.
Ainfi prenant AB pour l'unité, & A pour le point où com-
mencent les logarithmes, la partie A B ML contient les
nombres qui furpaffent l'unité & leurs logarithmes corres
pondants; & l'autre partie Agh B contient les nombres moin-
dres que l'unité & leurs logarithmes correfpondants, & le
logarithme de l'unité est zero.

Avertiffement.

Ce que l'on vient de dire des courbes mechaniques fuffit
pour en donner ici une idée aux Lecteurs; & pour n'oublier
aucune des courbes qu'on a imaginées jufqu'à prefent: on va
expliquer en peu de mots les courbes qu'on appelle exponen-
tielles & parcourantes.

DES COURBES QU'ON APPELLE exponentielles
ET parcourantes.

461. LES grandeurs comme a*, **, **, **, &c. qui font des conf-
tantes comme a, ou des changeantes comme x, y, &c. éle-
vées à des puiffances, dont l'expofant x,y,z eft une gran-
deur changeante, s'appellent exponentielles ou parcourantes. Les
équations qui contiennent de ces fortes de grandeurs, ont le
même nom; comme auffi les courbes dont le raport com-
mun à tous les points de leur contour s'exprime par ces
fortes d'équations.

Par exemple, en nommant x les abscisses AC, AE, &C. F16,XXXVI. depuis l'origine A, & y les ordonnées CD, EF, &c. & une grandeur conftante a; fuppofé que la courbe BDFH, &c.

GG gg

s'exprime par cette équation a*=y, quelques-uns la nom. ment exponentielle, d'autres parcourante ; de même x2=y, ou x=y, x2=y, font des équations de courbes parcourantes, Pour le former une idée diftincte de ces courbes, fi a*=y eft l'équation de la courbe BDF, il faut concevoir que la premiere ordonnée CD (y) eft égale à la conftante a élevée à la puiffance dont l'expofant eft l'abfciffe correfpondante AC (x). La feconde EF (y) eft égale à la conftante a élevée à la puiffance de la feconde abfcifle AE (x) ; & ainfi des ordonnées fuivantes.

=

Six* = y eft l'équation de la courbe, il faut concevoir que CD(y)= AC (x) élevée à la puissance dont l'expofant est AC (x), que EF (y) = AE(x) élevée à la puiffance dont l'expofant eft AE (x), & ainfi des autres. D'où l'on conçoit aifément la courbe dont x y feroit l'équation Mais quand l'équation eft, par exemple, x2=y, dans laquelle l'expofant eft une changeante differente de x & dey, l'on conçoit une autre courbe Ade, dont l'une des coordonnées ACE, &c. eft commune avec celle de la courbe parcourante, & dont on fçait le raport de chacune des ordonnées C, EQ,&c. qui font les ༢, avec les abfciffes correfpondantes communes AC, AE, &c. qui font les x.

༢.

Les équations exponentielles peuvent avoir plufieurs termes, comine x2 + x2=y1 →y.

Les expofants changeants x, y, &c. des grandeurs expo. nentielles peuvent eux-mêmes être élevés à des puiffances dont les expofants soient auffi changeants, ce qui fait distinguer ces grandeurs exponentielles & leurs courbes en plu fieurs genres, dont celles qui précedent font le premier: Le second est, par exemple, xy, & ainfi à l'infini,

De l'usage que fait l'Analyse des courbes pour réfoudre les équations déterminées, & les Problêmes des fciences Phyfico-Mathematiques.

Ufage que l'Analyfe fait des courbes geometriques, pour réfoudre les équations déterminées.

you

Principe d'où l'Analyfe déduit cet usage. 462. EN fuppofant que les équations à la ligne droite & à toutes les courbes geometriques de tous les genres ont leurs coupées representées par la même inconnue, par exemple x ou u, &c. & leurs ordonnées auffi exprimées par la même inconnue, comme y ou z, &c, fi en fe fervant de deux de ces équations quelconques, on fait évanouir l'inconnue de la coupée, de maniere que la troifiéme équation que l'on formera de ces deux autres, n'ait que la feule inconnue y de l'ordonnée; les deux lignes dont on a pris les équations pour faire évanouir x fe peuvent couper en autant de points que l'inconnue y a de dimenfions dans le premier terme de la troifiéme équation dont y eft la feule inconnue.

Par exemple, fi l'on prend la valeur de x dans l'équation à la ligne droite x= ty, & qu'on la fubftitue dans une équation de laquelle on voudra des fections coniques, comme dans px=yy, qui eft l'équation à la parabole, on aura la troifiéme équation y af y=0, dans laquelle y étant au fecond degré, marque qu'une ligne droite peut couper une parabole en deux points; & comme il y a une valeur de y = o, cela marque que les coupées de l'équation à la ligne droite commençant au même point où commencent les coupées de l'équation à la parabole, auquel pointy= 0; le premier point où la ligne droite coupe la parabole eft au fommer, c'eft à dire à l'origine des x & desy, puifque y s'y trouve égal à zero. Mais fi l'origine des coupées de l'équation de la ligne droite étoit à un autre point qu'à l'origine des x & dés y, y auroit deux valeurs réelles dans la troifiéme équation qu'on trouveroit en faisant évanouir par les deux GG gg ij

autres.

དུས

PP

=

d.x

xx,

De même prenant la valeur de x dans l'équation de la parabole pxyy, qui eft x = ; & la fubftituant dans l'équation par exemple du cercle, qui est on trouve la troifiéme équation Ayyyy = 0, dans laquelle y a quatre dimenfions; ce qui fait voir que le cercle peut couper la parabole en quatre points, dont il y en a deux de confondus au fommet de la parabole où est l'origine des x & des y, parceque y a deux valeurs égales à zero dans la troifiéme équation précedente: mais quand l'origine des coupées eft differente dans la parabole & le cercle, y a valeurs réelles dans la troisième équation que l'on quatre trouve par le moyen des deux équations à la parabole & au

cercle,

On trouvera de même qu'en prenant deux équations de deux fections coniques quelconques, y aura quatre dimenfions dans le premier terme de la troifiéme équation qui naîtra de l'évanouiffement de x par leur moyen; ainfi deux fections coniques peuvent fe couper en quatre points, que y aura fix dimensions dans le premier terme de la troifiéme équation qui naîtra de l'évanouiffement de x par le moyen de deux équations, l'une d'une fection conique quelconque, & l'autre d'une courbe du fecond genre; & qu'ainfi une courbe du premier genre en peut couper une du fecond en fix points.

On peut de la même maniere trouver en combien de points une courbe geometrique quelconque peut être coupée par une ligne droite, par une courbe du premier genre, par une courbe du troisième, &c.

EXEMPLE.

FIG. XIX. LA parabole ACc dont l'axe eft AB6, le parametre AP ·p, les x = AB, Ab; les y = BC, be, a pour équation yy

px =o. La ligne droite SCc, en fuppofant SA—a; AT parallele à BC menée par A égale à 6; & prenant les x fur AB du même point A d'où l'on prend les x de la parabole, aura pour abfciffe SB = a+x, & pour ordonnée BC & pour équation, y; d'où l'on tire x = fi l'on met cette valeur de x dans l'équation de la parabole, on aura la troifiéme équation y

ab + bx

ay-ab

;

apy + abp
= o, dans

39.

laquelle y a deux valeurs positives,* qui font celles des deux *
ordonnées BC (y), bc (y), menées des deux points C, c où 8 Cor.
la droite SCc, dont l'équation est x= ayab,
ab, coupe la para-'
bole ACc, dont l'équation eft yy - pxo; lefquelles deux
ordonnées communes à la droite & à la parabole, font deve-
nues déterminées par la commune interfection de la droite
& de la parabole.

Cet exemple fuffit pour faire clairement concevoir le prin
cipe, & pour faire voir en même temps qu'elle en est la
raison; avec quelle jufteffe l'Analyfe s'accorde avec la Geo-
metrie, & comment elle fait découvrir avec le feul calcul
les proprietės des figures les plus compofées jointes les unes
avec les autres, & comment reciproquement la Geometrie
exprime par fes figures les refolutions des Problêmes décou
vertes par l'Analyse, c'est ce qu'on verra mieux par l'usage
que l'Analyse fait de ce principe.

Ufage que l'Analyfe fait du principe précedent, pour former
la methode de trouver exactement, par les figures de la
Geometrie, les lignes qui font les valeurs des racines des
équations déterminées qui donnent la réfolution des
Problêmes déterminés de quelque degré que puiffent être
ces équations. C'est cette methode qu'on nomme la conf-
truction des équations.

463. IL fuit du principe précedent, que pour trouver les lignes
qui font les valeurs des racines d'une équation déterminée
quelconque, c'est à dire de quelque degré qu'elle puiffe être,
dont l'inconnue eft par exemple 1°, il faut trouver deux
équations dans chacune defquelles l'une des inconnues, par
exemple celle qui marque les ordonnées, foit ; & l'autre
qui exprime les coupées, foit une autre inconnue comme u
auffi commune à ces deux équations; & que ces équations
comprennent auffi, non chacune, mais les deux enfemble,
toutes les grandeurs connues de l'équation qu'on veut refou-
dre, & enfin qu'elles foient telles qu'en faifant évanouir y con

l'inconnue a par leur moyen, la troifiéme équation qui en
viendra foit precifément l'équation propofée à refoudre.

GG gg iij