464.

Par exemple fi on veut refoudre l'équation du quatriéme degré z — nz2 + fzz — qz + r = 0, il faut trouver deux équations comme zu-Vro, qui eft une équation à l'hyperbole par raport aux afymptotes, & zz — nz + p − 14 wuo, qui eft une équation au cercle, qui font telles qu'en mettant dans la feconde les valeurs de u, uu, qui font #=++, นน , l'on a pour troifiéme équation la propofée.

33

2o. Il faut tracer les courbes des deux équations qu'on a trouvées en commençant par laquelle on voudra, par exemple on tracera d'abord l'hyperbole équilatere de l'équation Vro; ou bien (en fuppofant, pour ne pas fe fervir = 0; d'incommenfurables, Vraa) de l'équation zu aa—0, en tirant les deux droites perpendiculaires OR, OH; & Fic.XXXVII. prenant OR & la perpendiculaire Rr à OR, chacune = a, & traçant par l'hyperbole dont OR, OH feront les afymptotes; après quoi nommant OC (#), & BC (2), l'on aura BC × ༢ OC (zu) =OR x Rr (aa=√r)

*

r

= da

L'hyperbole étant ainfi tracée, il faut enfuite décrire le cercle dont l'équation est zg―nz + ku — ༢༢ √ √ x + p = 0; & il le faut faire de telle maniere, que les ordonnées z du cercle foient fur les ordonnées BC(z)de l'hyperbole, ou bien qu'elles leur foient paralleles, & qu'elles ayent la même origine; & qu'il en foit de même des coupées du cercle & de 436. Phyperbole. Mais les termes nz, u, marquant*que l'équation eft à une ligne parallele au diametre, il faut comparer FIG. XXIX. cette équation du cercle avec l'équation indéterminée du 436. cercle - 2lz + uu — ziu + ll + ii — 4 dd — o, & fup༢༢ — pofer que ces deux équations font la même équation, c'eft à dire, que leurs termes correfpondants font egaux, (s'il y avoit eû le terme uz dans l'équation du cercle, il auroit falu la comparer avec l'équation indéterminée du cercle où fe trouve zz) certe fuppofition donnera les équations particulieres propres à déterminer les valeurs de l, i, d, par raport à l'équation zz — nz → uu — u+p=o; & l'on trou99 veran, ill+ ii — p =√ nn+ F16.XXXVII. *. Pour décrire à prefent le cercle de cette équation de la maniere propre à donner les racines de la propofée, il faut de l'origine O prendre fur la ligne O des ordonnées gode

436

45

p.

465.

4"

9

2r=2aa

༢.

l'hyperbole, qu'on suppose auffi être la ligne des ordonnées
l
du cercle, la ligne OH == n; fi la valeur de n
eût été négative, il auroit falu prendre OH= n fur HO
prolongée de l'autre côté de l'origine O; ce qu'il faut remar-
quer pour la fuite. Aprés cela il faut élever par le point H
la perpendiculaire HK = i= ; le point K fera le
centre du cercle qu'il faut décrire. C'eft pourquoi du cen-
tre K avec le rayon Vannp, il faut décrire la cir-
conference BBBA, & mener des quatre points B, B, &c.
où elle coupe l'hyperbole, les quatre lignes BC perpendicu-
laires fur la ligne OH des z, & ces quatre lignes BC déter-
༢
mineront les quatre lignes OC, OC, &c. qui feront les quatre
valeurs exactes de z dans l'équation propofée z, &c. ou, si
l'on veut, leurs quatre paralleles & égales Bc, Bt, &c.
car le cercle BBBAB a pour équation par la conftruction,
༢༢ - ༢ + # — Fu+p=o; & on peut encore le démon_
trer ainsi, FB=OC—OH—n, KF=KH-FH
u; & le rayon du cercle K B = √nn + 17 — p.
Or à caufe du triangle rectangle KFB, (on imagine facile-
ment la ligne KB, qui n'est pas marquée dans la figure 37)
KB2 — KF2 + FB2; ce qui donne en mettant les valeurs de
ces quarrés, l'équation précedente du cercle. L'équation de
l'hyperbole eft auffi zu
Vro
o par la conftruction; d'où
prenant la valeur de z = , & la fubftituant dans l'équa-
tion précedente du cercle, on trouve precifément l'équation
propofée, &c.

༡

Wr

99

4r

2

༢

༢

0;

99

4r

4r

On remarquera fur cette conftruction, ro, qu'on peut trouver fur la figure même le rayon KB = : √ 2 nn + 12 ·P2 fans en faire d'autre à part; car il n'y a qu'à imaginer l'hypothenufe OK du triangle rectangle OHK qui fera égale à Vinn faire enfuite le demi-cercle dont elle fera le + ; diametre, & y infcrire la corde OA = √p, & l'autre corde KA, étant le côté du triangle rectangle dont l'hypothenuse est OK = √=nn +17, & le côté OA-Vp; l'autre côté KA fera égal à vnn+11p, & fera par confequent le rayon du cercle de l'équation précedente. 466. 2°. Si le cercle coupoit les hyperboles oppofées, les valeurs dez que donneroient les interfections de l'hyperbole BB,

99

4r

feroient les racines pofitives, & celles que donneroient les interfections de l'hyperbole oppofée, feroient les négatives. 467. 3°. Si le cercle touchoit feulement l'hyperbole fans la couper, ce feroit une marque que deux interfections ou même les quatre feroient réunies en une; ce qui feroit connoître que les valeurs de ༢ ou du moins deux feroient éga

468.

les.

4°. Si la corde OA =√p étoit trop grande pour être Р infcrite à la demi-circonference décrite fur le diametre OK = √ inn + 97 , ce feroit une marque que les racines feroient imaginaires; comme auffi fi le cercle, dont le rayon eft KA

=

4r

99

4r

= √1⁄2nn + 1/1/~p, étoit trop petit, & ne coupoit ni ne touchoit l'hyperbole BB, &c. Ces remarques font voir la conformité de la Geometrie & de l'Analyfe, & elles fervent, furtout les trois dernieres, dans toutes les constructions des équations.

COROLLA IR E.

469. IL eft évident par le principe & par l'application qu'on en vient de faire, qu'on peut refoudre ou conftruire une équa tion déterminée quelconque, par le moyen d'une équation à la ligne droite, & d'une équation à une courbe du même degré que fera l'équation propofée : Qu'une équation du troifiéme ou du quatrième degré peut le conftruire par le moyen de deux équations dont chacune eft celle d'une fection conique, (on y comprend le cercle & de même dans la fuite); que les équations du cinquiéme & fixiéme degré peuvent fe conftruire par une équation d'une fection conique & par l'équation d'une courbe du fecond genre: Que les équations du feptiéme & du huitième degré peuvent fe conftruire par une équation d'une fection conique & une autre d'une courbe du troifiéme genre. Les équations du 5, 6, 7, 8 & 9° degré peuvent auffi fe conftruire par deux équations chacune d'une courbe du fecond genre. L'on peut déduire aifément du principe & de l'application qu'on en a faite, de quel genre doivent être les courbes dont on pourra prendre les équations pour conftruire les équations déterminées des degrés plus élevés.

Mais il faut remarquer que les conftructions des équations déterminées par les équations des courbes les plus fimples,

doivent

doivent être preferées aux constructions par les équations
des courbes plus compofées; ainfi (fans parler de la conftruc-
tion des équations déterminées du fecond degré où le cer-
cle & les lignes droites fuffifent) l'on conftruit les équations
du troifiéme & du quatrième degré par les équations de
deux fections coniques, dont l'une eft ordinairement celle
du cercle, comme étant tres facile à décrire ; celles du
cinquième & fixiéme degré par une équation d'une fection
conique & une d'une courbe du fecond genre; les équations
du feptiéme, huitiéme & neuvième degré, par deux équa-
tions de deux courbes du fecond
genre, &c.

Il ne reste plus pour faire concevoir clairement comment
l'Analyse se fert des courbes pour trouver les racines des
équations déterminées, qu'à expliquer la methode dont il
faut fe fervir pour trouver, quand on a une équation déter-
minée, les deux équations aux deux courbes qui fervent à
la conftruire.

Methode pour trouver les équations des courbes qui fervent
à conftruire les équations déterminées.

I.

Pour les équations déterminées du 3° & du 4 degré.

470. TOUTES les équations du troifiéme degré peuvent être representées par cette formule + nzz + aqz + aar=0; on peut toujours donner une femblable preparation aux grandeurs connues d'une équation *; on fuppofe que les fignes representent ceux des équations particulieres; ainfi quand il y a quelques termes de ces équations qui ont —, les fignes des termes correfpondants de la formule reprefentent ces fignes. Quand le fecond terme manque, n eft égale à zero. Pour ne faire qu'un cas des équations du troifiéme & du quatrième degré, il faut multiplier les équations du troifiéme degré par l'inconnue, & la formule fera +nz3 +aqzz + aarz = 0; & alors l'une des racines fera égale à zero. On n'employe pas la lettre p, parcequ'on s'en eft fervi dans les équations des fections coniques par raport à leurs diametres & aux lignes differentes de leur diametre, pour marquer le parametre. Les équations du quatrième HHhh

*279

degré peuvent de même être representées par cette for-
mule +ng+aqzz+aarz
nz2 + aqzz + aarz + a3s = o. L'on peut
refoudre ces équations par deux équations; la première à
une fection conique quelconque fans qu'elle foit déterminée,
c'est à dire, par une parabole quelconque, par une ellipfe
quelconque, & par une hyperbole quelconque ; la feconde
par un cercle auffi quelconque. L'on peut auffi les refoudre
par
deux équations à deux fections coniques, dont l'une foit
déterminée, c'est à dire une telle parabole déterminée, une
telle ellipfe, ou une telle hyperbole déterminée, ou un tel
cercle déterminé, & dont l'autre ne foit pas déterminée.
PREMIER CAS.

L

༢༢.

Quand aucune des deux fections coniques n'eft déterminée. 471. 1°.Il faut fuppofer cette équation à la parabole, I", au = K nz; en quarrant chaque membre, on aura a auu — z+ +nz2 + — nnzz

aauu

2

2o. Il faut mettre dans chacune des formules précedentes · 4nnzz=2*+ng3 à la place de z+nz3, & au — 1nz à la place de ; & la premiere formule donnera aauu — annu+ / n3 z =0; qui devient en divifant par aa,

8aa ༢. — ༠, * ༢. + ༢.

24

qui eft une feconde équation à la parabole quand l'équation propofée eft du troifiéme degré La feconde formule don

équation à la parabole quand la propofée eft du quatrième degré.

3°. Il faut ajouter ensemble la IT & la 2o équation, & l'on aura, 3o, uu u +22+2= = 0.