464. Par exemple fi on veut refoudre l'équation du quatriéme degré z — nz2 + fzz — qz + r = 0, il faut trouver deux équations comme zu-Vro, qui eft une équation à l'hyperbole par raport aux afymptotes, & zz — nz + p − 14 wuo, qui eft une équation au cercle, qui font telles qu'en mettant dans la feconde les valeurs de u, uu, qui font #=++, นน , l'on a pour troifiéme équation la propofée. 33 2o. Il faut tracer les courbes des deux équations qu'on a trouvées en commençant par laquelle on voudra, par exemple on tracera d'abord l'hyperbole équilatere de l'équation Vro; ou bien (en fuppofant, pour ne pas fe fervir = 0; d'incommenfurables, Vraa) de l'équation zu aa—0, en tirant les deux droites perpendiculaires OR, OH; & Fic.XXXVII. prenant OR & la perpendiculaire Rr à OR, chacune = a, & traçant par l'hyperbole dont OR, OH feront les afymptotes; après quoi nommant OC (#), & BC (2), l'on aura BC × ༢ OC (zu) =OR x Rr (aa=√r) * r = da L'hyperbole étant ainfi tracée, il faut enfuite décrire le cercle dont l'équation est zg―nz + ku — ༢༢ √ √ x + p = 0; & il le faut faire de telle maniere, que les ordonnées z du cercle foient fur les ordonnées BC(z)de l'hyperbole, ou bien qu'elles leur foient paralleles, & qu'elles ayent la même origine; & qu'il en foit de même des coupées du cercle & de 436. Phyperbole. Mais les termes nz, u, marquant*que l'équation eft à une ligne parallele au diametre, il faut comparer FIG. XXIX. cette équation du cercle avec l'équation indéterminée du 436. cercle - 2lz + uu — ziu + ll + ii — 4 dd — o, & fup༢༢ — pofer que ces deux équations font la même équation, c'eft à dire, que leurs termes correfpondants font egaux, (s'il y avoit eû le terme uz dans l'équation du cercle, il auroit falu la comparer avec l'équation indéterminée du cercle où fe trouve zz) certe fuppofition donnera les équations particulieres propres à déterminer les valeurs de l, i, d, par raport à l'équation zz — nz → uu — u+p=o; & l'on trou99 veran, ill+ ii — p =√ nn+ F16.XXXVII. *. Pour décrire à prefent le cercle de cette équation de la maniere propre à donner les racines de la propofée, il faut de l'origine O prendre fur la ligne O des ordonnées gode 436 45 p. 465. 4" 9 2r=2aa ༢. l'hyperbole, qu'on suppose auffi être la ligne des ordonnées ༡ Wr 99 4r 2 ༢ ༢ 0; 99 4r 4r On remarquera fur cette conftruction, ro, qu'on peut trouver fur la figure même le rayon KB = : √ 2 nn + 12 ·P2 fans en faire d'autre à part; car il n'y a qu'à imaginer l'hypothenufe OK du triangle rectangle OHK qui fera égale à Vinn faire enfuite le demi-cercle dont elle fera le + ; diametre, & y infcrire la corde OA = √p, & l'autre corde KA, étant le côté du triangle rectangle dont l'hypothenuse est OK = √=nn +17, & le côté OA-Vp; l'autre côté KA fera égal à vnn+11p, & fera par confequent le rayon du cercle de l'équation précedente. 466. 2°. Si le cercle coupoit les hyperboles oppofées, les valeurs dez que donneroient les interfections de l'hyperbole BB, 99 4r feroient les racines pofitives, & celles que donneroient les interfections de l'hyperbole oppofée, feroient les négatives. 467. 3°. Si le cercle touchoit feulement l'hyperbole fans la couper, ce feroit une marque que deux interfections ou même les quatre feroient réunies en une; ce qui feroit connoître que les valeurs de ༢ ou du moins deux feroient éga 468. les. 4°. Si la corde OA =√p étoit trop grande pour être Р infcrite à la demi-circonference décrite fur le diametre OK = √ inn + 97 , ce feroit une marque que les racines feroient imaginaires; comme auffi fi le cercle, dont le rayon eft KA = 4r 99 4r = √1⁄2nn + 1/1/~p, étoit trop petit, & ne coupoit ni ne touchoit l'hyperbole BB, &c. Ces remarques font voir la conformité de la Geometrie & de l'Analyfe, & elles fervent, furtout les trois dernieres, dans toutes les constructions des équations. COROLLA IR E. 469. IL eft évident par le principe & par l'application qu'on en vient de faire, qu'on peut refoudre ou conftruire une équa tion déterminée quelconque, par le moyen d'une équation à la ligne droite, & d'une équation à une courbe du même degré que fera l'équation propofée : Qu'une équation du troifiéme ou du quatrième degré peut le conftruire par le moyen de deux équations dont chacune eft celle d'une fection conique, (on y comprend le cercle & de même dans la fuite); que les équations du cinquiéme & fixiéme degré peuvent fe conftruire par une équation d'une fection conique & par l'équation d'une courbe du fecond genre: Que les équations du feptiéme & du huitième degré peuvent fe conftruire par une équation d'une fection conique & une autre d'une courbe du troifiéme genre. Les équations du 5, 6, 7, 8 & 9° degré peuvent auffi fe conftruire par deux équations chacune d'une courbe du fecond genre. L'on peut déduire aifément du principe & de l'application qu'on en a faite, de quel genre doivent être les courbes dont on pourra prendre les équations pour conftruire les équations déterminées des degrés plus élevés. Mais il faut remarquer que les conftructions des équations déterminées par les équations des courbes les plus fimples, doivent doivent être preferées aux constructions par les équations Il ne reste plus pour faire concevoir clairement comment Methode pour trouver les équations des courbes qui fervent I. Pour les équations déterminées du 3° & du 4 degré. 470. TOUTES les équations du troifiéme degré peuvent être representées par cette formule + nzz + aqz + aar=0; on peut toujours donner une femblable preparation aux grandeurs connues d'une équation *; on fuppofe que les fignes representent ceux des équations particulieres; ainfi quand il y a quelques termes de ces équations qui ont —, les fignes des termes correfpondants de la formule reprefentent ces fignes. Quand le fecond terme manque, n eft égale à zero. Pour ne faire qu'un cas des équations du troifiéme & du quatrième degré, il faut multiplier les équations du troifiéme degré par l'inconnue, & la formule fera +nz3 +aqzz + aarz = 0; & alors l'une des racines fera égale à zero. On n'employe pas la lettre p, parcequ'on s'en eft fervi dans les équations des fections coniques par raport à leurs diametres & aux lignes differentes de leur diametre, pour marquer le parametre. Les équations du quatrième HHhh *279 degré peuvent de même être representées par cette for- L ༢༢. Quand aucune des deux fections coniques n'eft déterminée. 471. 1°.Il faut fuppofer cette équation à la parabole, I", au = K nz; en quarrant chaque membre, on aura a auu — z+ +nz2 + — nnzz aauu 2 2o. Il faut mettre dans chacune des formules précedentes · 4nnzz=2*+ng3 à la place de z+nz3, & au — 1nz à la place de ; & la premiere formule donnera aauu — annu+ / n3 z =0; qui devient en divifant par aa, 8aa ༢. — ༠, * ༢. + ༢. 24 qui eft une feconde équation à la parabole quand l'équation propofée eft du troifiéme degré La feconde formule don équation à la parabole quand la propofée eft du quatrième degré. 3°. Il faut ajouter ensemble la IT & la 2o équation, & l'on aura, 3o, uu u +22+2= = 0. |