On ajoutera de même la I" & la II° équation, & l'on aura, III, uu - #* + ༢ཎཱུ +༢.+༦=༠. C'est l'équation au cercle pour la formule du quatrième degré. 472. On peut trouver les racines de toute équation du troifiéme degré reprefentée par la formule, en construifant la parabole de la I équation, & lui joignant le cercle de la 3o équation qui la coupera en quatre points, dont un sera au fommet de la parabole, auquel point = 0; & menant des trois autres points de ces interfections trois ordonnées à la ligne des abfciffes u de la parabole, elles feront les trois valeurs des racines de l'équation du troifiéme degré. Si le cercle ne coupoit la parabole qu'en un point outre celui du fommet, il y auroit deux racines imaginaires; & s'il la coupoit en un point & la touchoit en un autre, il y auroit deux racines qui feroient égales à cause de l'union de deux interfections dans le point touchant. 473. On peut de même trouver les racines de toute équation du quatrième degré representée par la formule, en traçant la parabole de la I" équation, & lui joignant le cercle de la III équation. Mais pour ne pas groffir ce Traité inutilement, on n'en donnera un exemple que dans le fecond cas. 474. Si l'on vouloit fe fervir, pour trouver les racines des équations du troifiéme & du quatrième degré reprefentées par les formules précedentes, du cercle de la 3 ou III équation, & d'une ellipse ou d'une hyperbole, voici la maniere de trouver leurs équations. 4°. Il faut retrancher la I équation de la 2o, & l'on C'est une équation à l'hyperbole équilatere par raport au diametre pour la formule du troifiéme degré. HHhh ij On retranchera de même la I" équation de la II, & l'on ༢༢. +༢. + ༧༧—༠. as= ༡༢ - inz - C'est une équation à l'hyperbole équilatere par raport au diametre pour la formule du quatrième degré. 475. 5°. Pour trouver des équations à l'ellipfe & à l'hyperbole qui n'est pas équilatere, il faut multiplier la I“ équation par la fraction arbitraire mais connue, & l'on aura zz + bz abuo. Il faut enfuite ajouter cette équation à la 2o, & la fomme fera une équation à l'ellipfe pour la formule du troifiéme degré, & enfuite la retrancher de la 2o, & la difference fera une équation à l'hyperbole non équilatere par raport au diametre, pour la formule du troifiéme degré. 476. 477. On ajoutera de même cette équation à la II°, & enfuite on l'en retranchera, & la fomme fera une équation à l'ellipfe pour la formule du quatrième degré, & là difference fera une équation à l'hyperbole pour la formule du 4° degré. L'on peut trouver de differentes façons les lignes qui font les racines de la formule du troifiéme & du quatrième degré, en joignant deux à deux les équations précedentes qui répondent à la formule du troifiéme degré, quand la propofée eft du troifiéme degré, & celles qui répondent à la formule du quatrième degré, quand la propofee eft du quatriéme degré, puis traçant les courbes de ces deux équations de maniere que les u de l'une foient sur les « de l'autre, ou leur foient paralleles & ayent la même origine, & que ce foit la même chose des ; mais il vaut mieux dans la pratique se fervir de l'une des équations aux fections coniques avec l'équation du cercle, parceque le cercle eft plus facile à décrire ; & dans ce cas il faut fe fervir des axes des fections coniques, parceque les ordonnées du cercle font toujours perpendiculaires aux coupées. 6. Si l'on veut une équation à l'hyperbole par raport aux afymptotes, pour ne faire qu'un même cas des équations du troifiéme & du quatrième degré, on multipliera la formule du troisième degré z3 +nzz +aqz ✈ aar par 49, quand le dernier terme aura + Parz.+ +, & par 478. 2-a=0, с +aqzz + aarz + aass = 0; l'on fuppofe que aar ར = ན <=prise la on comprendra enfuite cette formule, c'est à dire toutes les и Si le dernier terme de la formule étoit négatif, il faudroit transformer l'équation du quatrième degré de maniere que le dernier terme fût pofitif dans la transformée, ce qui eft toujours poffible: car le dernier terme n'étant négatif dans le quatrième degré que parcequ'il y a quelque racine néga HHhh iij * 45. tive, en les rendant toutes pofitives*, le dernier terme de viendra pofitif. REMARQUE. 479. QUAND l'équation donnée n'a pas de fecond terme, il n'y a qu'à fuppofer toutes les grandeurs des équations préce dentes où eft n égales à zero, & elles ferviront pour réfoudre cette équation. SECOND CAS, Quand l'une des fections coniques eft donnée. 480. IL faut, quand l'on veut employer une fection conique donnée pour réfoudre une équation du troifiéme ou du quatriéme degré, introduire dans les équations qui y doivent fervir des grandeurs indéterminées, de maniere que par le moyen de ces indéterminées, l'on puiffe déterminer l'équation de la parabole ou de l'ellipfe, ou du cercle ou de l'hyperbole qu'on aura trouvée par la methode être l'une des deux équations qui doit réfoudre l'équation propofée, l'on puisse, dis-je, la déterminer à être l'équation de cette section conique donnée. Comme l'on a déja employé dans les équations aux fections coniques qui expriment leur raport à d'autres lignes que leur diametre les lettres d,p, f, g, h, i, l, on fe fervira ici de deux autres indéterminées k & m. On ne fera, pour abreger, qu'un cas des équations du troifiéme & 477. du quatrième degré, comme dans l'article 6*du premier cas. METHOD E. 481. SOIT la formule de toutes les équations du troifiéme degré élevées au quatrième, & de toutes les équations du 4° degré, yny' + aqyyaaryaass = 0. 482. 1. Il faut la transformer en fuppofant y=4, k eft une indéterminée; & fubftituant cette valeur de y, on aura la transformée ༢+ + ཏཾ ཎིཾ + ཏཱཾ° ༢ཎྜུ + ༢ + 5 nik a ༢.+ =0; on re gardera cette transformée comme l'équation propofée à refoudre; & quand on aura déterminé k, & trouvé les racines, on aura les valeurs de y en mettant dans y= valeurs de & de k les 2o. Il faut fuppofer cette équation à quelle parabole on voudra, & même à une parabole donnée à cause de l'indéterminée k, I. zz+ku, ou zzzz — ku=0, 414 qui donnera 2a ➡nk 23 + mnkk 22= kkuu; ainfi l'on aura nk z, & z++ k z3 3 kkuu nnkk zz. On met 22= ku 4aa tra dans la propofée les valeurs de z* + * z3, & de zz ; & kkss l'on aura II. uu + १ qui eft une feconde équation à la parabole. On ajoutera la I" & la II° équation, & l'on aura a nak z 2aa nik% 8a3 nk 24 qui eft une équation à quel cercle on voudra à caufe de l'indéterminée k, & même à un cercle donné, à cause de la même indéterminée. 483. 3°. Si l'on veut des équations à une ellipfe donnée, & à une hyperbole donnée par raport au diametre, il faut introduire une nouvelle indéterminée m, ce qui fe fera en multipliant la I" équation par #, & l'on aurà IV. #zz + On ajoutera cette IV équation à la IIa, & l'on aura V. uu + 14 u +mzz + qui eft une équation à une ellipfe qui peut être donnée à caufe des deux indéterminées k & m, dont k servira à déterminer le diametre de cette équation à être le diametre donné de l'ellipfe donnée, & m à déterminer le parametre de cette équation à être le parametre donné de l'ellipse donnée. On retranchera la IV équation de la II°, & l'on aura VI. uu + 1 u qui est une équation à une hyperbole par raport au diame |