quarré de AM égale à l'ordonnée du point N, est au quarré de AP égale à l'ordonnée du point Q, comme MN égale à la partie du diametre ou à la coupée qui répond à l'ordonnée du point N, est à PQ égale à la partie du diametre qui répond au point Q; & comme il est évident par les art. 329 & 330, feconds cas, que cette proprieté convient à tous les points de la courbe que décrit la bombe, & que c'eft la pro*368. prieté de la parabole,* cette courbe est une parabole: ainsi nommant MN (x), PQ(u), AM(y), AP(z), on a cette proportion de la parabole yy. zz:: x. u.

Avertiffement.

On déduit ordinairement la réfolution des Problêmes de l'art de jetter les bombes des proprietés de la parabole; mais comme l'on a donné cette résolution fans l'employer, il eft inutile de s'y arrêter ici: on mettra au lieu de cela les deux Problêmes fuivants.

496. TROUVER l'équation de la courbe qui passe par les fommets FIG. VIII. des axes de toutes les paraboles décrites par une bombe jettée par une même force de poudre, en donnant au mortier toutes les inclinaifons poffibles des cordes AC, AE, AG, &c.

L

Il faut s'imaginer que l'horizontale AOK & la verticale HA font les lignes des coordonnées de cette courbe que l'on cherche; on prendra les coupées sur AH, ainfi les AB, AD, AF, & leurs paralleles comme ON &c. feront les x; & les ordonnées fur AOK, ainfi 40 & les paralleles à 40 feront les y; la force du jet HA eft donnée, & on fuppofe HA=d. Il est évident que le point le plus élevé de chaque 324. jet, comme le point N* du jet par AC, eft le fommet de la parabole de ce jet. Or par l'art. 324 l'on a

xx,

2Vdx ay=2 ce qui donne yy 4dx+4xx=0, qui eft l'équation qui convient à tous les points des fommets des paraboles d'une même force de poudre, c'eft à dire à tous les points les plus élevés de ces paraboles, puifque la changeante y marque l'éloignement 40 où eft chacun de l'axe HA, & la changeante x exprime la hauteur AB, AD, &c. fur l'axe AH de chacun de ces points. Mais vy-4dx+4xx = 0 eft

l'équation d'une ellipfe*; ainfi la courbe qui paffe par tous
ces fommets est une ellipfe. Ce qu'il falloit trouver.

497. TROUVER l'équation de la courbe qui touche toutes les paraboles d'une mème force de poudre.

*377.

POUR
OUR refoudre ce Problême, il fuffit de confiderer deux FIG. XL.
de ces paraboles AMC, AmC, dont les axes OM, om ont
leurs fommets M, m par le Problême précedent dans la
même ellipfe AMmH; ces deux paraboles fe coupent tou-
jours en un point C, lequel point C eft toujours au dedans
de la courbe touchante, excepté ce feul cas, qui est
que ce
point d'intersection C eft dans la touchante, lorfque les deux
paraboles AMC, AmC deviennent une feule & même para-
bole, c'eft à dire, quand les deux axes OM, om, deviennent
un même axe OM, & par confequent les deux ordonnées
AO, Ao deviennent une même ordonnée. Ces choses fup-
pofées:

Soit la connue AH = d, l'ordonnée AO, Ao―y, la coupée ou la partie de l'axe OM, om, depuis le fommet, =x A. yy — 4dx+4xx 4dx+4xxo eft l'équation commune aux fommets de toutes les paraboles par le Problême précedent; fuppofant à prefent que le point d'intersection C'est dans la courbe touchante; AB, qu'on nommera u, fera une ordonnée de la courbe touchante, & BC, qu'on nommera z, en fera la coordonnée ; & l'on aura par la proprieté de la parabole AMC cette proportion*, le quarré de 40 (yy) eft à la *368. partie de l'axe OM(x), comme le quarré de CN ou OB (u-y), qui eft uu — 2uy → yy, est à la partie correfpondante de l'axe MN-MO-CB-x-z; ce qui donne l'équation xyyzyy uux — 2uyx + xyy, qui fe réduit à B. zyy2uxyuuxo. Cette équation convient au point d'interfection C de deux paraboles quelconques, comme AMC, AmC, dont les axes & les ordonnées aux axes font fimplement paralleles; faifant évanouir l'une des deux coordonnées x ou y des deux paraboles par le moyen des deux équations A & B, par exemple prenant la valeur de xyy dans l'équation B, & la fubftituant dans l'équaKK kk ij

༢.༡.༡

x=

zuy-un

u3y — 2dzuy + dzuu + —u•

tion A, on trouve l'équation D. yy·
=o, laquelle équation détermine le point d'interfection C,
(qui par l'équation B étoit le point d'intersection de deux
paraboles quelconques, dont les axes & les ordonnées aux
axes étoient fimplement paralleles) à être le point d'inter-
fection C de deux paraboles quelconques d'un même jet,
c'eft à dire de deux paraboles quelconques parmi celles dont
les fommets des axes font tous dans la même ellipfe AMmH.

Pour déterminer à present l'équation D à exprimer le point d'intersection C de deux de ces paraboles d'un même jet, qui ont leur point d'interfection C dans la courbe touchante qu'on cherche, il ne faut plus que fuppofer que ces deux paraboles AMC, AmC deviennent une même parabole, ce qui fe fera en fuppofant que A0 (y) a deux valeurs égales ou deux fois la même valeur dans l'équation D. Et *75. alors multipliant * l'équation D par la progression arithmeudzu Mettant cette

& XXVI.

tique 2, 1, 0, on trouvera y

+=

0,

para

valeur de y & fon quarré à place de y & de vy dans l'équa-
tion D, elle deviendra l'équation E. uu+ 4dz-4dd
qui eft l'équation de tous les points d'interfection C de tou-
tes les paraboles d'une même force de poudre prifes deux à
deux, qui fe coupant dans un point C de la courbe touchante
qu'on cherche, deviennent deux à deux une même
bole, & font par là que l'équation E exprime le rapport de
chaque point C de cette courbe touchante par le moyen des
deux coordonnées changeantes AB(u) & BC(z). Et comme
l'équation E eft celle d'une parabole, on voit que la courbe
touchante eft une parabole, dont les Lecteurs trouveront
aifément le parametre. Ce qu'il falloit trouver.*

Ufage de l'ellipfe & de l'hyperbole.

PROBLÉM E.

FIG. XXV. TROUVER la nature de la courbe AC, dont l'axe eft la ligne AB, qui foit telle que fi l'on donne à la furface d'un morceau de verre 498. la courbure AC, il raffemble en un feul point fou tous les rayons de lumiere comme EC, qui feront paralleles à l'axe AB,

SUPPOSITION.

ON 'N fuppofe, 1o, qu'un rayon de lumiere comme EC paffant d'un milieu dans un autre different comme de l'air dans le verre, s'il eft perpendiculaire à la surface des deux milieux, il continue dans le second fon chemin dans la même ligne droite; mais que s'il eft oblique à la furface des deux milieux, il ne continue pas fon chemin dans la même ligne droite, mais qu'il fe rompt à l'entrée du second milieu, & qu'il continue enfuite fon chemin dans une autre ligne droite Cf out Co. 2°. Que fi l'on tire une perpendiculaire PCP à la furface CS qui fepare les deux milieux, (quand la furface eft courbe, la perpendiculaire à la tangente de la courbe au point Coù paffe le rayon de lumiere, eft la perpendiculaire à la furface des deux milieux en ce point C qui eft le point touchant,) l'angle ECP que forme le rayon EC avec la partie Cp de la perpendiculaire qui eft dans le premier milieu, s'appelle l'angle d'incidence, & l'angle fCP ou CP que forme le rayon rompu Cf ou Co dans le fecond milieu avec la perpendiculaire CP, s'appelle l'angle de refraction. 3°. Que quand plufieurs rayons de lumiere paffent ainfi obliquement d'un milieu dans un autre, c'est une loi prouvée par l'experience, & dont on donne la raifon dans la Dioptrique & dans la Phyfique, que le raport du finus de l'angle d'incidence & du finus de l'angle de refraction eft le même par raport à tous les rayons, quelque difference qu'il y ait entre les angles d'incidence; c'eft ce raport conftant qu'on appelle le raport de la refraction. Quand les rayons paffent de l'air dans le verre, ce raport eft ; & quand ils paffent du verre dans l'air, ce raport eft. 4°. Que dans les courbes AC le rayon incident eft FIG. XXV. EC; la tangente au point C eft CS; la perpendiculaire à ce & XXVI. point eft p CP qui rencontre l'axe AB en Poup; le rayon rompu eft Cf ou Co; par confequent l'angle d'incidence eft ECP (à caufe des paralleles EC, AB) à l'angle CPA ou CpA, qui (ou fon complement) dans le triangle CPf ou Cpo, a pour côté oppofé le rayon rompu Cf ou Co; & l'angle de refraction eft PCfou pCo, qui dans le même triangle CPf ou Cp a pour côté oppofé la ligne Pf ou po; ainfi le finus de l'angle d'incidence eft au finus de l'angle de refraction, comme le rayon rompu Cfou Co eft à la distance fl ou of, KK kk iij

où eft le point fou Q, auquel fe raffemblent les rayons, de la perpendiculaire PCp ou pCP; ainfi quand les rayons CE paralleles à l'axe AB, paffent de l'air dans le verre, comme on le fuppofe dans la figure 25, Cf. fP:: 3.2; quand ils passent du verre dans l'air, comme on le fuppofe (fig. 26), po. Co :: 2.3. Ces chofes fuppofées, voici l'état de la queftion.

Il s'agit de trouver la courbe AC(fig. 25 & 26), qui soit telle que menant des lignes droites Cf,Co de tous les points C de la courbe à un point fixe ƒ ou de l'axe AB, & menant auffi par tous les points C de la courbe des perpendiculaires FCP, à la tangente de ces points C, jufqu'à l'axe en P ou p, le raport de chaque Cf ou Co à la diftance correspondante fP ou op foit toujours le même raport, & qu'on puisse le rendre égal au raport 2 fig. 25, 7 fig. 26.

LES

RESOLUTION.

Es figures 25 & 26 font voir d'une maniere fi claire & fi courte que la courbe AC doit être une ellipfe quand les rayons passent de l'air dans le verre, & une hyperbole quand ils paffent du verre dans l'air, qu'il eft inutile de chercher

ces courbes par l'Analyse. Car MF & CP ou Cp étant fupFIG. XXV. pofées perpendiculaires à la tangente CS, & par confequent & XXVI, étant paralleles, l'axe Aa ou A, ou la ligne égale à l'axe *421 & 422. * Mf ou Mo eft à la distance des foyers Ff ou Fo, comme

FIG. XXV.

chaque rayon rompu Cf ou Co eft à Pf ou po distance où eft le foyer fou o de la perpendiculaire CP ou Cp ; d'où l'on voit qu'en faifant une ellipfe dont l'axe Aa foit à la distance des foyers Ff comme 3 à 2, & une hyperbole dont l'axe A foit à la diftance des foyers Fo comme 2 à 3, ces deux courbes feront celles que l'on cherche.

C'est pourquoi fi après avoir tracé une ellipfe AC dont l'axe Aa foit à la diftance des foyers Ff comme 3 à 2, on décrit un arc de cercle du centre ƒ avec quel rayon on voudra fC moindre que fA, qui rencontre l'ellipfe aux deux points C, c, l'un au deffus, l'autre au deffous de l'axe, & que l'on faffe tourner la figure comprise entre l'arc de l'ellipfe & l'arc du cercle autour de l'axe AB, elle décrira la figure convexe d'un côté & concave de l'autre qu'il faut donner à un verre, afin que les rayons paralleles à l'axe AB comme EC,