tombant de l'air fur la furface convexe CA, ils aillent tous
se rassembler au foyer f.

Aprés avoir de même tracé une hyperbole AC (fig. 26),
dont la distance des foyers Fo foit à l'axe Aa comme 3 à 2,
fi l'on tire une perpendiculaire CB à l'axe AB, & qu'on
fasse tourner la figure ACB autour de l'axe AB, elle décrira
verre, afin que
la figure qu'il faut donner à un morceau de
les rayons EC paralleles à l'axe qui entreront dans le verre
au travers de la ligne droite BC fans y fouffrir de refraction
lui étant perpendiculaires, foient détournés par la refraction
qu'ils fouffriront au fortir du verre par la surface hyperboli-
que du verre aux points C, c, de maniere qu'ils aillent tous
se rassembler au foyer q. Ce qu'il falloit trouver.

Ufage de la cycloïde pour donner la regularité
aux Horloges.

499. TROUVER quelle eft la nature de la courbe DPGA que le cen- FIG.XLI.
tre de pefanteur P d'un pendule fimple SP, ou le centre d'ofcilla-
tion P d'un pendule SP qu'on fuppofe compofe, doit décrire par fa
pefanteur, afin que chacune de fes vibrations ou chacune des defcen-
tes de ce centre depuis quel point on voudra de la courbe, comme
du point D, ou du point P, ou du point G, ou de tout autre point
jufqu'au point le plus bas A, fe fasse toujours dans un temps égal.

SUPPOSITION S.

ང.

ON fuppofe que quand un corps pefant descend par le FIG. VIII.
mouvement de fa feule pefanteur, foit par une ligne verti-
cale FA, foit par un plan incliné comme GA, terminé par
les mêmes horizontales FG, AL, la vitesse qu'il aura acquife
par la descente inclinée GA, fera égale à la viteffe qu'il
auroit acquife par la defcente FA terminée par les mêmes
horizontales FG, AL. Ainfi la viteffe acquife par FA étant
=VFA*, la viteffe acquife par GA eft auffi égale à √FA.
T FA=2*, *301 & 310.
Mais le temps eft different; car le temps 7 par FA —
NFAR
2 GA *; ainfi T. t :: FAGA. D'où
& le temps t par GA= ᎬᏗ ;
l'on déduit aisément que fi differens corps pefants defcen-
doient par plufieurs plans differemment inclinés qui fuffent

*308.

compris entre les mêmes horizontales, les temps employés à defcendre par ces plans differens feroient proportionels aux longueurs de ces plans. D'où il fuit que les temps des descentes d'un corps pefant tombant librement par les cordes GA, EA, CA, &c. d'un cercle dont le diamètre AH eft vertical, font tous égaux entr'eux, & égaux chacun au temps de la defcente par le diametre HA. Car nommant la conftante HA (d), chacune des changeantes AF, AD, AB, &c. (x), l'on aura chacune des cordes GA, EA, CA, &c.= Vdx*; les temps des def*301 & 310. centes par ces cordes feront égaux chacun * à 2dx = 2√d qui eft le temps de la defcente par le diametre HA.

#288.

FIG. XLI.

*

2d

I I.

Si un même corps pefant defcendoit de fuite par plufieurs plans inclinés contigus qui fiffent les uns avec les autres des angles qui ne differaffent de la ligne droite ou de 180 degrés que par des angles infiniment petits, comme font les côtés infiniment petits dont on conçoit que font formées les lignes courbes, la viteffe acquife par la defcente de ces plans comme par DPG (fig. 41), eft auffi égale à la vitelle acquife par la defcente de la verticale EM comprise entre les mêmes horizontales ED, MG; ainfi la viteffe par DPG √EM; la vitesse acquise par DPGA=√EA; & le temps T de la def301 & 310. cente par DPG est *; le temps de la descente par DPA est 2XDP. Ces chofes fuppofées, voici la résolution. RESOLUTION.

308.

2 X DPG
JEM

t

=

CONCEVANT l'origine de la courbe au point A, on marquera chacun des arcs AG, AP, AD, &c. qui doivent être parcourus dans un même temps par la changeante s; & ce temps égal & conftant de la defcente par chaque s fera nommé T; & chacune des verticales AM, AB, AE, &c. correfpondante à chaque s, s'exprimera par la changeante x. Or la viteffe acquife par la defcente de chaque s eft égale à Vx*, ainfi le temps 7 de la defcente par chaque s fera; ou bien, parceque cette expreffion convient au temps de chacun des arcs, on peut la divifer par 2, & la marquer ainfi cette expreffion du temps devant être la même pour chacun des arcs, puifque les temps pendant lefquels

ils

=

ils doivent être parcourus font égaux, eft égale à une grandeur conftante, on peut donc la fuppofer égale à la grandeur conftante 2a; par confequent l'on aura 2Va, qui fe réduit à s = 2√ax, qui eft l'équation de la courbe que l'on cherche. Or c'est l'équation de la cycloïde*. Ainfi si l'on * 456. fait décrire au centre de pefanteur ou d'ofcillation des arcs de cycloïde, les durées des vibrations du pendule feront toujours égales, foit que le poids de l'horloge agiffant plus fort, fafle décrire de plus grands arcs de cycloïde, soit que le poids de l'horloge agiffant moins fort, en fasse décrire de plus petits.

D'où l'on voit que pour donner une entiere justesse aux horloges, il ne reste plus qu'à trouver le moyen de faire décrire au centre de pefanteur ou d'ofcillation du pendule, des arcs de cycloïde, ce que l'on enseignera dans la feconde Partie.

Avertisement.

Les courbes ont une infinité d'autres beaux ufages, mais ce que l'on en a dit fuffit pour faire voir aux Lecteurs comment l'Analyse les fait découvrir par le calcul ordinaire de L'Algebre, quand cela eft poffible.

Ufage de l'Analyse dans la réfolution des Problêmes de la
Geometrie & des fciences Phyfico-mathematiques,
en employant le calcul differentiel.

Où l'on explique le calcul differentiel & les principes dont il

dépend.

PRINCIPE DU CALCUL

DIFFERENTIEL PRIS

500.

DES ANCIENS GEOMETRES.

'EST une chofe ordinaire aux anciens Geometres de regarder deux quantités comme étant égales quand elles different moins entr'elles qu'aucune grandeur finie & déterminée, tant petite qu'elle puiffe être, en demeurant finie ou bornée.

C'eft fur ce principe qu'en concevant des polygones infcrits & circonfcrits au cercle, dont les côtés allant en diminuant de plus en plus à l'infini, font que le perimetre & l'aire de ceux de ces polygones qui ont les côtés les plus petits, approchent le plus du perimetre & de l'aire du cercle; ils fuppofoient qu'on pouvoit concevoir un polygone infcrit & un autre circonfcrit de tant de côtés, & par confequent de côtés fi petits, que la difference entre ces deux polygones, & à plus forte raifon la difference de l'un & de l'autre d'avec le cercle, fût moindre qu'aucune grandeur finie & déterminée; Et ils regardoient le dernier, pour ainfi dire, de ces polygones infcrits & le dernier de ces circonfcrits comme égaux entr'eux & au cercle; ce qu'ils n'auroient pû faire qu'en concevant les côtés de chacun de ces polygones comme infiniment petits, & comme y en ayant une infinité, puifque pendant qu'ils demeureroient finis & déterminés, la difference du polygone infcrit & du circonfcrit feroit finie, & de

même leur difference d'avec le cercle feroit auffi finie, &
l'on ne pourroit pas fuppofer ces trois figures égales, comme
afin
il leur étoit neceffaire de le faire, que leurs preuves
fuffent démonstratives. C'est par ce principe que font dé-
montrées la plupart des propofitions du 12° Liv. d'Euclide.

On s'eft heureusement avifé de notre temps de donner des expreffions propres à ces differences infiniment petites, lefquelles differences pendant qu'elles font réelles ont des raports entr'elles tres réels, & qui font égaux aux raports des grandeurs finies, par le moyen defquelles ces raports des differences peuvent être exprimés. La methode de trouver les expreffions des differences & de leurs rapports, est ce qu'on appelle le calcul des differences, ou le calcul differentiel; par le moyen duquel on trouve d'une maniere courte & facile une infinité de raports entre les lignes droites & courbes geometriques & méchaniques qu'on auroit bien de la peine à trouver par d'autres voyes; & comme les grandeurs entieres que l'on peut comparer ont des differences qui ont des expreffions qui les leur rendent propres, on peut retourner de ces differences aux grandeurs entieres qu'on appelle fommes ou integrales, & les trouver par le moyen de leurs differences: Ce retour des differences aux grandeurs integrales dont elles font les differences, eft ce qu'on nomme le calcul integral. Par le calcul differentiel on trouve les expreffions des differences des grandeurs integrales, & l'on fait fur ces expreffions les operations que fait l'Algebre fur les grandeurs algebriques; par le calcul integral on trouve les expreffions des grandeurs integrales dont on a l'expreffion des differen

ces.

UTILITES DE CES CALCULS.

502. DEPUIS qu'on a employé ces calculs dans l'ufage de l'Analyse, on a non feulement refolu d'une maniere plus courte & plus aifée la plupart des plus difficiles Problêmes qu'on avoit refolus par le calcul ordinaire; mais on a fait des découvertes furprenantes dans la Geometrie compofée & dans les sciences phyfico-mathematiques, comme on le peut voir dans les Memoires de P Academie, dans les Altes de Leipfic, dans l'Analyfe des Infiniment Petits, dans les Ouvrages de M. Newton, & dans tous les autres où l'on employe ces calculs.

LLI1 ij