503.

On applique ces calculs aux courbes méchaniques, comme aux courbes geometriques, & l'on découvre par par leur moyen les proprietés des unes & des autres avec la même facilité. Il n'eft point neceffaire dans ces calculs d'ôter les fignes radicaux, ce qui ôte l'un des plus grands embarras du calcul ordinaire, outre que ces calculs font ordinairement plus courts d'eux-mêmes que ne font les ordinaires.

Ces calculs fuivent la nature dans la refolution des Problêmes phyfico-mathematiques, laquelle n'agiffant que par le mouvement & les figures, commence & agit ordinairement par des degrés infiniment petits à chaque inftant du temps, chacun de ces inftants étant auffi infiniment petit.

Enfin on réduit par ces calculs la Geometrie composée. ou la Geometrie de toutes les courbes à la Geometrie fimple des figures rectilignes, ce qui la réduit à toute la fimplicité poffible, & ce qui met les Geometres en état de la porter à toute la perfection poffible.

C

Le principe du calcul differentiel fert à démontrer fans calcul plufieurs propofitions de la Geometrie compofée.

E principe que dans la comparaifon des grandeurs finies on peut regarder des differences qu'elles ont entr'elles, plus petites qu'aucune grandeur déterminée, ou infiniment petites (on n'entend que la même chofe par ces deux expreflions); ce principe, dis-je, fuffit pour démontrer fans calcul & d'une maniere tres fimple plufieurs propofitions de la Geometrie compofée, que l'on ne démontre que par l'on ne démontre que par de longs circuits. En voici quelques exemples fur la cycloïde.

Si l'on mene par un point quelconque ƒ de la cycloïde FIG. XXXV. l'ordonnée ƒFB parallele à la base DE qui rencontre le cercle generateur en F, qu'on tire la corde FA, & qu'on mene par f la droite fa parallele à la corde FA, fa fera la tangente au point f; Car en mettant le cercle generateur dans la fituation eaf, où fon point ƒ décrit la partie ƒ infiniment petite de la cycloïde, il eft évident qu'en menant la corde fe, on peut concevoir que cette corde fe tournant à cet instant fur le point e, comme fur un centre, décrit par fon extremité fun arc finfiniment petit, qui fait la petite partie ƒ de la cycloïde: or ef étant le rayon de ce petit arc, eft perpendiculaire à la tangente de ce petit arc f; fa perpendiculaire

504.

à ef,& parallele à FA, eft donc la tangente de ce petit arc f
ou de ce point f de la cycloïde, d'où il fuit auffi que fe eft
parallele à FE.

Pour entendre les propofitions fuivantes, il faut remar- FIG.XLI.
quer que
fi l'on envelope la courbe SKD d'un fil également
tendu par tout, qui foit comme colé fur cette courbe, & qui
lui foit égal en longueur, qu'on develope enfuite la courbe
en commençant au point D, & que l'extremité D du fil
pendant le developement infenfible que l'on fait de la courbe
DKS, décrive la feconde courbe DPA; la premiere courbe
DKS s'appelle la developée de la feconde courbe DPA;
chacune des parties du fil comme PK détachées les unes
aprés les autres de deffus la develope DKS, s'appellent les
rayons de la developée ; & la courbe DPK eft la courbe formée
par le developement du fil de la developée. Ces chofes fup-
pofées :

505. Il est évident que chaque rayon KP de la developée est égal à la partie developée DK de la courbe DKS, fi ce n'est quand le fil qui envelope la developée eft plus long ou plus court que la courbe qu'il envelope; car dans le premier cas rayon de la developée est égal à la partie de cette courbe qui eft developée, & de plus à la ligne droite dont on fuppofe que le fil furpaffe la courbe qu'il envelope, & dans le fecond cas il n'eft égal qu'à la partie de la courbe qu'on fuppofequ'il envelopoit.

le

506. Que chaque rayon DKP de la developée eft une tangente
de la developée, car le refte SC du rayon K P demeurant
comme collé à la developée, le point K eft la particule de
la developée du point K, & le rayon KP ne fait qu'une ligne
droite avec cette particule & en eft le prolongement; ainsi
le rayon KP est la tangente de la developée en ce point K.
507. Que chaque rayon KP de la developée eft perpendiculaire
au point P à la courbe DPA. Car on peut concevoir que le
rayon KP à l'inftant qu'il forme la particule P de la courbe
DPA, se meut sur le centre K, & qu'il forme un arc infini
ment petit P qui est la particule P de la courbe PDA. Or
le rayon KP eft perpendiculaire au petit arc P ou à la petite
partie de la tangente au point P, laquelle petite partie est
en même temps le petit arc formé par le rayon KP,
la pár
ticule de la courbe DPA, & la petite partie de la tangente.

508.

Suppofons à prefent que DPA eft une cycloïde dont le cercle generateur eft AFE, la bafe DE égale à la demicirconference AFE, & qu'il faille trouver la longueur PK du rayon de la developée au point P, & enfuite qu'elle eft la nature de la courbe DKS qui eft la developée de la cycloïde

DPA.

que

Pour trouver la longueur du rayon PK, il faut concevoir PG eft une partie infiniment petite de la cycloïde, que PK eft la perpendiculaire de la cycloïde au point P, & que GK l'eft au point G; à cause qu'on fuppofe GP infiniment petite, les deux perpendiculaires PK, GK peuvent être confiderees comme partant du même point K de la developée qui eft comme le centre autour duquel le fil ou le rayon PK eft conçu tourner lorfqu'il forme la particule PG; qu'on mene les ordonnées PFB, GHM, qui rencontrent le cercle generateur aux points F & H par où il faut mener les cordes EF, FA, EH, HA; enfin qu'on conçoive décrits des centres K & E les petits arcs fl, FL, les petits triangles rectangles FLH, flh feront femblables & égaux; car, 1o, les hypothenufes HF, bf font égales, puifque par la formation de 454. la cycloïde * Ef =FP (à caufe des paralleles fP, FE), & que FP eft égale à l'arc AHF, & par la même raison Eh HG à l'arc AH; ainfi Ef-Eb-bf= à l'arc AF - l'arc AH = l'arc FH. 2°. hl=Gb-Pf= à la corde EH-la corde EF=HL; par confequent le petit côté ou le petit arc fl est égal au petit côté ou au petit arc FL.x FELa cause de D'où il fuit que les rayons de ces petits arcs qui font Kf & paralelles KP, EF, EF font égaux : mais ƒP par la formation de la cycloïde eft . KG, EH — égale à la corde EF; par confequent le rayon KP'est double de la corde EF. Et comme la même démonstration convient à tout autre rayon representé par KP, il est évident que chaque rayon PK de la developée de la cycloïde est toujours double de la corde correfpondante EF du cercle generateur, & que par confequent SA eft double du diametre AE. 509. Pour trouver la nature de la developée DKS de la cycloïde, il faut mener De perpendiculaire à la bafe DE de la cycloïde & égale à EA ou à fon égale ES, décrire fur le diametre De le demi-cercle DIe; tirer la corde DI parallele à Pƒ & à FE, qui fera par confequent l'angle fDI égal à fon alterne DEF, ce qui fera cause (les cercles DIe, AFE étant égaux), que

x mais fKI.

ces cordes DI, EF feront égales, & leurs arcs égaux, & que
DI fera auffi égale à fK qui eft égale à EF; & menant IK,
elle fera égale & parallele à Df. Ces chofes fuppofées:

La base ED étant égale à la demi- circonference AFE,
& FP ou fon égale Eƒ étant égale à l'arc AHF*, le reste ƒD *454.
de la base est égal à l'arc EF & à l'arc DI qui est égal à EF;
l'ordonnée KI de la developée DKS menée d'un point quel
conque K au cercle DIe, étant égale à Df, eft parconfequent
égale à l'arc DI; & comme il est évident que la démonftra-
tion peut s'appliquer à tout autre point de la developée, la
proprieté de cette developée eft que chaque ordonnée Kĺest
égale à l'arc correspondant DI du cercle DIe. Et comme
c'est la proprieté de la cycloïde *dont DIe eft le cercle ge- * 454.
nerateur, la developée DKS de la cycloïde DPA, est elle-
même une cycloïde égale à la premiere DPA, puifque le
cercle generateur de l'une eft égal à celui de l'autre: Elle est
feulement dans une autre fituation; le point D de la deve-
lopée répond au point A de la cycloïde DPA, & le point S
de la premiere au point D de la feconde.

Comme l'on a démontré que chaque partie KP du fil developé eft double de la corde correfpondante DI, & comme la partie KP du fil developé est égale à la partie developée DK de la cycloïde DKS; il s'enfuit que chacun des arcs DK d'une cycloïde eft double de la corde correfpondante DI du cercle generateur, & que la cycloïde DKS est double du diametre De du cercle generateur.

REMARQUES.
I.

Où l'on explique ce qui reftoit à faire pour donner la regularité
aux horloges.

511. Il est à present évident que fi l'on donne à deux lames de
cuivre SK, Sk la courbure SK d'une cycloïde SKD, dont le
cercle generateur DIe ait pour diametre De la moitié de
la longueur du pendule SP ou de fon égale SA, qu'on fup-
pofe être la longueur du pendule dont les vibrations font
precifément d'une feconde; & que l'on fufpende le pendule
SA ou SP au point S entre ces deux lames de cuivre par une
foie déliée, de façon que quelque mouvement que le poids

de l'horloge imprime au pendule SP, ce pendule foit tou jours la tangente de la cycloïde SK ou Sk; il eft, dis-je, évident que le centre de pefanteur ou d'ofcillation P, décrira dans toutes ses vibrations des arcs de cycloïde AP, lesquel499. les par confequent* feront toutes d'une égale durée. Ce qui reftoit à demontrer de ce qu'il faut faire pour donner toute la jufteffe poffible aux horloges; & c'eft pour cela qu'on a choifi ici ces Exemples de la cycloïde.

512.

I. I..

Comme l'on peut regarder des grandeurs infiniment petites par raport aux grandeurs finies dont elles font les differences, on peut regarder de même des grandeurs comme infiniment grandes par raport à d'autres finies qui deviennent égales à zero par raport à ces grandeurs infiniment plus grandes, on démontre facilement par là plufieurs propofitions de Geometrie; par exemple on a déterminé par là la fituation des afymptotes de l'hyperbole art. 400, en fupfant qu'elles font des tangentes de l'hyperbole à des points infiniment éloignés du centre de l'hyperbole. De même dans les Problêmes où entrent les triangles rectangles dont un côté augmente toujours pendant que l'autre demeure le même, ou bien diminue toujours, en fuppofant que ce dernier côté est égal à zero par raport à l'autre, ou que celui-ci devient infini; alors le côté infini & l'hypotenufe deviennent paralleles. De même quand un angle aigu va toujours en diminuant, en le fuppofant égal à zero, ou infiniment petit, & fes côtés infiniment grands; on a le cas où les deux côtés deviennent paralleles.

C'est ainsi qu'en fuppofant qu'un des foyers de l'ellipfe demeurant immobile, l'autre s'éloigne à l'infini, l'ellipfe devient une parabole, & qu'on trouve par le même calcul plufieurs proprietés communes à ces deux figures.

Ces fuppofitions, dont l'efprit apperçoit la verité, abregent en plufieurs cas les refolutions du Problême, & les rendent generales.

Explication