SECOND CAS. 523. QUAND plufieurs changeantes font multipliées les unes par les autres, &, fi l'on veut, qu'il y ait auffi des conftantes dans leurs produits, il faut multiplier la difference de chacune feparément par le produit des autres, & la fomme des produits fera la difference que l'on cherchoit. Pour trouver la difference de xy = ab, il faut multiplier la difference dx de x par y, & la difference dy de y par x; & la fomme ydx + xdy = 0, =o, fera la difference de xyab, ou fimplement ydx + xdy fera la difference de xy. De même fi l'on a le produit xyz=abc, la difference fera yzdx+xzdy + xydz=0; ou yzdx + xzdy + xydz fera la difference de xyz; la difference de a xy sera aydx → axdy ; & ainfi des autres. La raison de cette regle eft que pour multiplier les differences de x & de y l'une par l'autre, il faut concevoir que x est devenue x + dx, & y eft devenue y + dy; & le produit de ces deux quantités eft xy+ydx+xdy. dxdy; & comme l'on ne veut que les differences, il faut ôter la grandeur finie xy, & il refte pour la difference du produit xy, la fomme ydx+xdy + dxdy; mais dx dy eft une grandeur infiniment petite par raport à ydx + xdy, c'est pourquoi il la faut auffi négliger, & il ne refte que ydx + xdy pour la difference de xy que l'on cherchoit. 2 En voici une autre démonstration. On peut concevoir chaque difference dx & dy de x & de y partagée par la moitié, & concevoir, 1°, que x eft diminuée de la moitié de fa difference, & qu'elle eft devenue x — dx; & de même que y eft devenue y-dy, & leur produit fera xy xy-- /ydx xdy+dxdy. On peut auffi concevoir, 2°, que x & y font augmentées chacune de la moitié de leur difference, que x eft devenue x + dx, & que y eft devenue y + dy; & leur produit fera xy + ydx + 1xdy + dxdy. Or il eft clair qu'en retranchant la premiere fomme des produits de la feconde, on aura pour refte exact ydx+xdy, & que ce reste est égal à la difference du produit xy. Pour le Pour le reprefenter à l'imagination, il n'y a qu'à faire un rectangle qui aille en augmentant, dont x foit la base & y la hauteur, & prendre d'abord x — 1dx & y — dy, & y diftinguer les rectangles que donne leur produit, & prendre enfuite x + dx &y+dy, & marquer les rectangles que donne leur produit, & l'on verra que les deux petits rectangles ydx + xdy font la difference du rectangle entier xy. Cette démonstration fuppofée, il est évident que la difference de xyz, ou du produit de tant de changeantes qu'on voudra, eft la fomme des produits de la difference de chacune de ces changeantes par le produit des autres changeantes; car il n'y a qu'à prendre le produit des deux xy comme une feule grandeur u, & la difference de ༧༡༢ fera égale à la difference de uz. Or la difference de uz eft zdu +udz; & mettant les valeurs de du & de « à leur place, on aura la difference de xyz égale à xzdy →yzdx + xydz; & ainfi des autres. น COROLLAIRE I.. 524. I1 fuit de là que la difference d'une puiffance quelconque d'une changeante x, eft le produit de la difference dx de cette changeante par la puiflance de la même changeante dont l'expofant eft moindre d'une unité que celui de la premiere, multiplié par l'expofant de la premiere; ainfi la difference de xx eft 2xdx; la difference de x3 eft 3xxdx; celle de x* est 4x3dx ; & en general celle de x" est nx"-'dx. Car ydx+xdy étant par le fecond cas la difference du produit de xy, il est évident qu'en fuppofant y=x, ce qui donne dy dx, & en mettant dx au lieu de dy, & x au lieu de y, on aura + dans ydx+xdy, on aura xdx + xdx = 2xdx. Ce qu'il eft facile d'appliquer aux puiffances plus élevées. 525. = Quand il y a des conftantes pour les coéficients des puiffances des changeantes, elles demeurent dans les differences de ces puiffances; ainfi la difference de ax3 est zaxxdx; la difference de ax" est nax" -'dx; la difference de xx est 1 × 2xdx xdx; la difference de x" eft ax"-'dx; la difference de xa est " xa ̄1 dx ; la difference de x”yTM est nx”— 1yTMdx +mx"y"-1dy; & ainfi des autres. n 526. QUAN = COROLLAIRE II. m UAND une fraction a au dénominateur une ou plufieurs changeantes ou leurs puiffances, on fçait qu'on les peut met tre au numerateur en mettant le figne - devant leur expo fant; ainfi = xy ̃', axa n ax" by=x"y-" 1 bx=x-m; & ainfi des autres. D'où l'on voit que la difference de ces fractions qui ont des changeantes au dénominateur, fe trouve comme celle des produits; ainfi la difference de =x-', est — 1x-'-'dx —— x ̄2dx ; la difference de xy-1 est y ̄'dx — 1xy ̄2dy ; la difference de *'* eft & xxy ̄ˆdx — — x3y—'dy; an a la difference de fx"y-" eft "x"-'y-"dx COROLLAIRE III. $27. LES racines des puiffances des changeantes pouvant être regardées comme des puiffances elles mêmes, dont les expofans font des fractions, on en trouve les differences comme celles des puissances (premier Corollaire); ainfi la difference de Vx = x2, est ÷ x2-1dx=1xdxdx; la diffe =x 1 est‡¦aìxì—1 dx = {a}x}dx rence de Vax3 2 2 m I P an m 111 X dx; la diffe yî dx + qx"y 2 2 = x Vxy' 1⁄2, est 1 × adx ; la difference de Vax 1 × 2 xdx × ax 2 XX -- X × A+ x = 0, est "dx x ax" ndx × — x" -y mx"11dx m xa X 528. QUAND il arrive que quelques-unes des grandeurs changeantes vont en diminuant, pendant que les autres augmentent, les differences de celles qui diminuent étant néga* 522. tives*, il faut changer le figne de chaque produit particulier où où fe trouvent ces differences négatives. Par exemple fi les y diminuent pendant que les x augmentent, la difference de xy doit être ydx-xdy; c'eft à dire, il faut changer le figne du produit particulier xdy où fe trouve la difference negative - dy. I I. 529. Quand on a une fois l'expreffion des differences des grandeurs changeantes, on fait enfuite fur ces expreffions les operations ordinaires de l'Algebre; ainfi le produit de dx par dy eft dxdy; le quarré de dx eft dx'; fa troifiéme puiflance eft dx3; & ainfi des autres operations. $30. ces, III. Où l'on explique quelques principes du calcul integral. Les quantités dont on a enseigné à trouver les differenfont les integrales de ces differences; ainsi x est l'integrale de dx; xy eft l'integrale de ydx + xdy ; √x l'integrale ded; Vax3 — a12x2 est l'integrale de {dx√ax; n = I 3 = est = x2 eft & en general ax" eft l'integrale de nax-1dx; & ainfi des autres. AVERTISSEMENT. 531. LA methode de retrouver les integrales dont on a les differentielles, eft ce qu'on nomme le calcul integral, dont on parlera dans la troifiéme Partie. Quand on refout des Problêmes de Geometrie & des fciences Phyfico-mathematiques, qui font foumis à ce calcul, on trouve d'abord des équations qui contiennent des differences; & remontant enfuite de ces differences à leurs integrales, on a les refolutions de ces Problêmes. Ceux qui veulent faire usage du calcul integral, doivent se rendre tres familieres les methodes qu'on vient de donner, pour trouver les differences des quantités quelconques qui contiennent des changeantes, en faire eux-mêmes beaucoup d'exemples, & bien remarquer les integrales d'où ils ont tiré ces differences; ils acquiereront par là une tres grande facilité de retrouver tout d'un coup, fans avoir befoin des regles, les integrales de beaucoup de differences qui fe prefenteront dans la réfolution des NNnn Problêmes, & qui leur donneront tout d'un coup les refolutions qu'ils cherchoient. $32. Ce feul exemple ax" eft l'integrale de la difference nax"-1dx, peut fervir de formule pour trouver la plupart des integrales de chaque difference particuliere qui n'aura qu'une feule changeante x, en comparant la difference particuliere dont il faudra trouver l'integrale à la difference nax"-'dx, & fuppofant qu'elle reprefente cette difference particuliere, & que l'integrale ax" reprefente l'integrale que l'on cherche. Car il eft vifible que pour retourner de la difference naxa—'dx à l'integrale ax", il faut, 1o, élever x à la puiffance dont l'expofant furpaffe d'une unité l'expofant — 1, & l'on aura x =x", & mettre dans la difference cette quantité à la place de x & elle deviendra nax" dx. 2°. Il faut divifer cette quantité par la difference dx de x lineaire, multipliée par n― 1+1 = n; c'est à dire, il faut diviser nax"dx par ndx, & le quotient sera l'integrale ax”. 533. Ainfi pour trouver l'integrale representée par ax" de la adz 2zdz adz - zzdz 2 I 2 x az-zz2; on fuppoa༢.— ༢༢.རྞྞ; fera az―zz=x,I=a,−1= n. 플 dx = adz — 2zdz, & az—zz1=x". Pour avoir la grandeur à diviser, il faut mettre dans la difference propofée cette valeur de x", & la grandeur à diviser sera nax"dx adz 2zdx 2 × ༗༢ — ༢༢ ; le diviseur fera ndx -- 1 × adz — 2zdz ; & faisant la division, 14 Il est neceffaire de remarquer que les conftantes n'ayant point de difference, une integrale jointe par le figne + ou avec une constante, a la même difference qu'auroit cette integrale feule; c'est pourquoi quand on retrouve l'integrale d'une difference, il faut quelquefois lui ajouter ou en retran. cher une conftante, afin d'avoir l'integrale exacte de cette difference. On donnera dans la troifiéme Partie la Regle qui fert à trouver cette grandeur constante. On n'a mis ici la remarque précedente & l'avertiffement, que pour donner à ceux qui commencent une idée du calcul integral. |