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IV. REMARQUE.

534. Les grandeurs conftantes n'ayant pas de difference, quand des grandeurs changeantes font égales à une conftante, leurs differences font égales à zero; fi x+y=a, fix+y=a, dx

535

1

=

=0,

dy = 0, ce qui donne dx = dy; fiaxy=abb, aydx±axdy = 0, ce qui donne ydx=xdy, & dx = == xdy, & 1/3 = *; fi xy' — a', y ̄'dx -xy-2dy = 0; ainsi dx = xy'dy, & dx=3. Cette remarque fert dans la refolution de plufieurs Problêmes.

V.

Quand on compare une integrale, c'est à dire une grandeur changeante finie qui a fa difference comme y+dy, avec une autre grandeur finie; il faut en ôter la difference, quí étant infiniment petite, ne peut point être comptée avec fon integrale; ainsi dy doit être ainsi marquée ?: Car il faut une infinité de differences ou de grandeurs infiniment petites pour faire une grandeur finie.

COROLLAIRE IV.

Où l'on explique la maniere de trouver les differences des fuites, ce qui fervira dans la 3 Partie à en trouver les integrales, & à en faire des formules generales.

211

20

PREMIER CAS.

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m

m

xx

536. Pour trouver la difference d'une fuite qui n'a qu'une même grandeur changeante,ordonnée comme on la voit ici (A) ×TM× a+bx" + cx +ex &c. 1o, il faut fuppofer (B) Ka + bx" + cx + ex1a+&c. & l'expreffion précedente fera changée en celle-ci (C) x KP. 2°. Il faut en prendre la difference, & l'on aura (D) mx-1K1 dx + pxTM K3¬'dK, qu'il faut changer en cette équivalente (E) mx"-Kx KP-idx + px x xTM-1K3'dK, & lui donner cette forme (F)m Kdx +pxdK × ×TM−1 KP-1. 3°. Il faut dans cette derniere F mettre les valeurs de K & de dK prifes de l'équation B, qui font K=a+bx" + cx2 + ex3" + &c. & dK = nbx" +2ncx ➜ 3nex3”—1 + &c. x dx, à la place de Kdx & de dK; & l'on aura ma + mbx" + mcx2 + mex + &c. } dxxxTM - 1 + pnbx" + 2pncx2" + 3pnex3" + &c. S N Nnnij

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x"

I

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.

Il est évident que c'eft la difference de la fuite ou de l'integrale A que l'on cherchoit.

SECOND CAS.

537. Pour trouver la difference d'un produit de plufieurs fui

m

20

m

m

211

m

-I

30 P

+ &c. x

P

tes, comme de A. xTM x a + bx" + cx22 + ex3°3
f+gx"+hx
+ bx11+ &c. 1°. il faut fuppofer B. K=a+bx”
+cx2"+ex3a + &c. & C. l=f+gx"+hx2"+ &c. &
l'expreffion A fera changée en celle-ci D. xTM × Ko 1a. 2°. Il
faut en prendre la difference, & l'on aura E. mxTM-1K3 l1dx
+pxTMKo−1 l1dK + qxTM K3/9−1 dl, qu'il faut changer
en cette équivalente E. mxTM-1K × Ko−11 × 19−1dx + px ×
xTM-1 KP-i l × 19-1dK+qx x xTM-1K × KP-1 19-1 dl, & lui don
ner cette forme F. mKldx+pxldK+qxKdl × xTM-1 KP-IN-1
3°. Il faut prendre les valeurs de Kldx, de xldK, & de xKdl
dans B & C, (c'eft à dire, multiplier la valeur de K prise
dans B, par la valeur de / prife dans C, & multiplier leur
produit par
dx; prendre la valeur de dK dans B, & la multi-
plier par xl, & prendre la valeur de dl dans C, & la multi-
plier par xK), & fubftituer ces valeurs dans les termes m Kldx
✦ pxldK → qxKdl de F, & l'on aura

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C'est la difference de la fuite A que l'on cherchoit.

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n

538. POUR trouver la difference de A. x"K3 ׃+gx"+hx2a &C. où l'on fuppofe B. K—a+ bx" + cx2 2n ex2" + &c. & que l'expofant de la fuite fgx"+hx2+ &c. eft l'unité, il ne faut pas fuppofer cette derniere fuite égale à une seule lettre, mais il faut changer l'expreffion A en cette équiva

m

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x"

× x'

m

m

11+ I

X

lente C. fxmK+8xTM+"K2 + bxTM+2 K+ &c. & enfuite, 1o, on prendra la difference de C. qui eft D. mfx-K3 dx +pfxTM K3¬!dK + m✦n × gx' TM+" - 1 K3d x + pg xTM+1K?—1dK+m+2n × bxTM+2n-1 K3dx + phxTM+2" KP-1dK+ &c. qu'on changera en fon équivalente E. mfxTM¬1K × K1¬1dx +pfxx xTM-1 KP-1dK+m+nxgx" xx-1K × K2¬1 dx + pgx" x -1K?~1d K+m+2n x hx2" x x-1Kx K-1dx+phx2+1x. ×TM−1K3¬1d K + &c. à laquelle on donnera cette forme F. " + 1 dk + m + 2n x mfkdx + pfxdk +m+ngx"Kdx +pgx" prenhx2" Kdx + phx2"+1 dk + &c. xx" IKP-I. 2°. Il faut dre dans B la valeur de K & la difference de K, c'est à dire la valeur de dK; & après avoir multiplié la valeur de K par mettre le produit dans le premier terme de F à la place de Kdx; multiplier de même x par la valeur de dK, & mettre le produit dans le fecond terme de F à la place de xdK ; subftituer de même à la place de x"Kdx dans le troifiéme terme de F le produit de la valeur de K par xdx, & celui de la valeur de dK par x *"*Idans le quatrième terme de F à la place de "+idK; celui de la valeur de K par x2"dx dans le cinquiéme terme à la place de x2" Kdx ; & celui de la valeur de dk par x 2+1 dans le fixiéme terme à la place de x2111 dK &c. 14? & l'on aura

x

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dx,

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+2pcfnx2 + &c.

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L

539. Il faut dans ces fuites qu'il n'y ait qu'une même inconnue x,
& que
les expofants des termes de chacune foient la même
fi les expo-
progreffion arithmetiqué o, n, in, zn, &c. & que
fants font pofitifs dans l'une, quand il y en a plusieurs mul,
NN nn iij

tipliées les unes par les autres, comme dans le fecond & le troifiéme cas, ils foient auffi pofitifs dans les autres; & s'ils font négatifs dans l'une, ils le foient auffi dans les autres.

I I.

540. Il faut fe rendre les trois cas précedents tres familiers, &

$41.

que

I

× x'

P-I

furtout le 3, où fuppofant KP-=a+bx" + cx2 + &c.
il y a deux fuites multipliées l'une par l'autre ; & bien remar-
quer que dans la difference G. chaque terme eft multiplié
par x-1K11; que le premier terme mafdx x x-1KP-1, ne
contient qu'une conftante maf multipliée par dx x.
Xx 1KP-1;
le fecond terme outre cela eft multiplié par x", le troi-
fiéme par x
par x2", & ainfi de fuite; que l'integrale A du 3o cas
dont la difference G eft telle qu'on vient de le marquer, a
tous fes termes multipliés par "KP, fçavoir, le premier n'est
qu'une conftante f multipliée par "K', mais dans le fecond
terme fon coeficient conftant eft multiplié de plus par x”,
& eft gx+"KP; dans le troifiéme terme le coeficient con-
ftant eft de plus multiplié par x, & est hx+2K3, & ainfi
de fuite.

m4.11

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m

III.

211

m

D'où l'on voit que quelque nombre de fuites qu'il y ait de multipliées les unes par les autres dans une difference comme H. x3-1 Ko1[1- 1d x x α + ß x" + x x2" + &c. où l'on fuppofe K = a + bx" + cx2 + &c. l=f+ gx" + bx:" + &c. on connoît toujours les expofants de x, K, I dans chacun des termes de la fuite qui eft l'integrale de cette dif ference H. car le premier terme doit être une constante multipliée par "K1; au second terme il doit y avoir +1 RPM 5 au troifiéme terme, x M+ 2-11 Kla; & ainfi de fuite. Ce qu'il faut bien remarquer pour la troifiéme Partie.

m

IV.

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Sur l'exactitude des démonftrations du calcul differentiel & integral,
c'est à dire fur la certitude des réfolutions que l'on trouve
par ces calculs.

$42. Quand les anciens Geometres démontroient des raports de plufieurs figures, comme que les cercles font entr'eux comme les quarrés de leurs diametres; que les pyramides

de même hauteur font entr'elles comme leurs bafes, &c. ils se servoient pour faire la démonstration de figures infcrites ou circonfcrites, dont les côtés diminuant toujours à l'infini, faifoient qu'on en pouvoit concevoir d'infcrites dont les côtés étoient infiniment petits, & lesquelles à cause de cela differoient moins des grandeurs où elles étoient infcrites qu'aucune grandeur donnée; mais la diftinction de ces differences infiniment petites ne duroit que pendant la démonstration, & parcequ'elle leur étoit neceffaire pour faire la démonstration, & ils fuppofoient que ces differences s'anéantiffoient à la fin de la demonstration, & que la figure infcrite devenoit exactement la figure même dans laquelle elle étoit infcrite; car il est évident que fans l'évanouiffement de cette difference infiniment petite, le raport qu'ils vouloient démontrer n'auroit pas été démontré dans l'exactitude geometrique.

De même dans la methode generale des tangentes des courbes geometriques de l'article 371, on fait la distinction de la partie Cc de la fecante de la parabole (fig. 19) pendant tout le calcul, & on ne pourroit pas faire le calcul pour trouver la tangente par cette methode fans cette diftinction de la partie Cc, ou, ce qui en eft une fuite neceffaire, des parties Ce, ec; mais pour avoir la tangente, on fuppofe que cette partie Cc de la fecante s'évanouit, & devient nulle.

De la même maniere quand on employe le calcul differentiel & integral dans la réfolution d'un Problême, on regarde les differences infiniment petites comme prêtes à s'évanouir, & on ne les regarde fubfiftantes que pour le calcul & pour découvrir ce qu'on cherche pendant qu'on le cherche; & au moment que le calcul fait trouver la réfolution qu'on cherche, on regarde ces differences comme s'évanouissant & comme devenant nulles; & par là la réfolution que l'on cherchoit eft dans la même exactitude geometrique que font les conclufions des anciens Geometres, & la découverte exacte que l'on fait des foutangentes par la methode de l'article 371.

le

Des differences fecondes, troifiémes, &c. 5 43. On ne voit rien dans l'ancienne Geometrie qui ait raport aux differences fecondes, troifiémes, &c. mais auffi les anciens

N

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