Geometres fe font bornés à des Problêmes qui n'en avoient
befoin: On s'eft ouvert de notre temps une voye pour
pas
la réfolution des Problêmes qui penetre à l'infini, & qui
s'étend à toutes les courbes qu'on peut imaginer, geometri-
ques, méchaniques & parcourantes, l'on a eu befoin, pour
n'être arrêté nulle - part, de diftinguer dans plufieurs Pro-
blêmes, outre les premieres differences, des fecondes diffe-
rences, des troifiémes, & ainfi à l'infini.

I X 2

I X2 X3

On en a vû la poffibilité en ce que la grandeur étant divifible à l'infini, 1o, l'on peut concevoir une progreffion geometrique a, b, c, e, f, g, &c. dont le premier terme a soit une grandeur finie, le second b foit une difference premiere infiniment petite par raport à a, c une difference feconde par raport à la difference premiere 6, de maniere que c foit b, infiniment petite par raport à 6, & de même e par raport à c; & ainfi de fuite; de façon que le raport infini des deux premiers termes a & b, regne dans toute la progreffion. C'est de cette forte qu'on aura une progreffion de differences premieres, fecondes, &c. en élevant x+dx" à la puiffance dont n eft l'expofant; car on trouvera la fuite x" + nx”-1dx "X" - 1x" -2 dx2 + "x" -1x" - 2 x" - 3 dx3 + &c. dont le premier terme contient une grandeur finie, le second une premiere difference dx, le troifiéme une feconde difference dx x dx ou dx"; & ainfi de fuite : Et l'on peut voir une femblable progreffion geometrique dans la Geometrie ordinaiFIG. II. re; car fi l'on fuppofe dans la feconde figure l'ordonnée du cercle ED fi petite, qu'elle foit une difference premiere prête à s'évanouir, & tout proche de l'extrémité B du diametre AB; il est évident que la grandeur finie AD fera à une difference premiere ED, comme cette difference premiere ED est au reste DB du diametre, lequel refte DB eft par confequent infiniment petit par raport à la difference premiere ED; & par confequent ce refte eft une difference feconde; & l'on pourroit concevoir aifément une difference troifiéme, en fuppofant que la difference ED eft le diametre d'un cercle,

& continuer cela à l'infini.

2o. On a aussi vû la poffibilité de ces differences fecondes, troifiémes, &c. en faifant attention à la formation des lignes FIG.XLII, & des figures par le mouvement ; par exemple fi le point C

aprés

bc

4

aprés avoir décrit la partie finie AC de la courbe, étant mú
enfuite le long de BC, qui elle-même fe meut parallelement
fur AB, décrit en un premier instant la partie infiniment
petite Ce (du) de la courbe, pendant que BC parcourt dans
le même inftant Bb ou fon égale Cd(dx), & que le point C
s'avance fur be depuis d jufqu'à c, & parcourt de (dy) fur la
droite bc: En concevant des mouvemens femblables dans le
fecond instant fuivant, & que be a parcouru bHce, & que
le point C a décrit une feconde partie of infiniment petite de
la courbe, & qu'il a avancé sur la droite bc venue en Hf de
la longueur infiniment petite ef; on trouvera des differences
fecondes. Car fi l'on fuppofe le mouvement de la droite BC
fur ABbH uniforme, & qu'ainfi bH = ce — Bb = = Cd(dx);
mais que la viteffe du point C fur cette droite Hf en s'éloi-
gnant de l'axe AB, eft continuellement avancée ou retar-
dée, en prenant cette derniere fuppofition, le second ac-
croiffement ef (dy) fera moindre que le premier accroiflement
dc (dy), & dc - ef qui fera leur difference, fera une diffe-
rence feconde, & de même Cc
cf fera une difference
feconde, puifque chacune de ces differences fecondes doit
être infiniment petite par raport à fa difference premiere,
comme cette difference premiere eft infiniment petite par
raport à la grandeur finie dont elle est la difference premie-
re. Si l'on fait attention au mouvement du 3° inftant, on y
trouvera de même des differences troifièmes,& ainsi à l'infini.
On trouve de même des differences fecondes & troifié-
&c. dans les espaces; car le petit efpace Crc eft infini-
ment petit par raport à la difference premiere CAc du feg-
ment AC, & par confequent Crc eft une difference feconde
de ce fegment. De même l'efpace Cdc eft infiniment petit
par raport à la difference premiere CBbc de la figure CAB.
Il est facile de trouver ainfi des differences fecondes & troi-
fiémes dans les figures folides.

mes,

Enfin on a vu l'utilité de cette diftinction des differences fecondes & troifiémes,&c. dans la réfolution de plufieurs beaux Problêmes, c'eft pourquoi on les a auffi réduites au calcul que voici. Suppofitions ou demandes, & définitions.

I.

5 44. L'oN marque ainfi les differences fecondes, troifiémes, &c.

ON

$45.

$46.

547.

des differences premieres, la difference de dx eft ddx ou d'x; la difference de d2x eft dddx ou d3x, & ainfi à l'infini; de même ddu, d3u, d+u, &c. font les differences fecondes, troifiémes, quatrièmes de z ; & ainfi des autres. On nomme auffi les differences premieres, les differences du premier genre; les fecondes, les differences du fecond genre, &c. Les puiffances d'une difference premiere font auffi des differences du fecond genre, du troifiéme, &c. ainfi dxdx ou dx2; dxdxdx ou dx'; dx*, &c. font des differences du fecond genre, troifiéme, du quatrième, &c. & il faut remarquer que d3x eft dddx; mais dx3 est dxdxdx, &c. Les produits des differences de differentes changeantes font auffi des differences du second genre, du troifiéme, &c. comme dxdy, dxdy2, dx2 dy2,&c.

I I.

du'

Comme les grandeurs finies changeantes font les integrales des differences premieres, de même les integrales des differences fecondes font des differences premieres; les integrales des differences troifiémes font des differences fecondes; & ainfi des autres. Et comme un nombre fini de differences premieres ne fait qu'une difference premiere, & qu'il faut une infinité de differences premieres pour faire une grandeur finie; il en eft de même des differences fecondes l'égard des premieres; des troifiémes à l'égard des fecondes, &c. I I I.

Comme une grandeur finie conftante n'a point de difference, de même quand une difference premiere eft fuppofée conftante, elle n'a point de feconde difference, c'eft à dire fa feconde difference, & par confequent les fuivantes font zero. D'où l'on voit que comme une integrale changeante + ou - une constante a la même difference que s'il n'y avoit point de conftante, ce qui eft caufe que pour retourner à l'integrale, il faut quelquefois, aprés avoir trouvé l'integrale de la difference, ajouter à cette integrale une conftante finie, ou l'en retrancher; il faut quelquefois de même en retournant des differences fecondes aux premieres qui en font les integrales, ajouter ou retrancher une difference premiere conftante pour avoir l'integrale complete.

IV.

aug

Lorfque plufieurs changeantes comme x, y, z, &c. mentent ou diminuent enfemble, on en confidere ordinaire

repre

ment une, laquelle on veut, comme recevant à chaque instant
des accroiffemens égaux, ou des diminutions égales, & par
confequent la difference de cette changeante eft confiderée
comme conftante qui n'a pas de feconde difference pendant
que les autres en ont, parcequ'elles reçoivent des accroiffe-
mens inégaux, ou des diminutions inégales. Pour le
senter à l'imagination, fuppofe que Cc, cf foient deux par- FIG. XLII.
ties infiniment petites de la courbe, & que Ce qui eft auffi
une partie de la tangente en C, foit prolongée en g; que du
centre c avec le rayon cf on tire l'arc fis qu'on prolonge ef
en g; qu'on mene par f, fl parallele à ce, & parl&i, lm, in
paralleles à Hf; en fuppofant, 1, l'accroiffement Cd (dx)
conftant, c'eft à dire Cd ce(dx), il est évident que les
triangles rectangles Cdc, ceg font femblables & égaux ; par
confequent eg= dedy; d'où l'on voit que de(dy) va en
diminuant, puifque le fecond dy qui eft ef eft moindre
le premier qui eft de; leur difference eft eg- - ef = fg; ainfi
fg eft la difference feconde ddy; & quand les dy vont ainfi en
diminuant, la difference feconde fg (ddy) eft négative;
ce qu'il faut bien remarquer. Par la même raifon ig eft ddw,
étant la difference de cg Cc du, & de cf = ci; & les Cc,
cg=
cf(du) allant en diminuant, - ddu eft négative. 2°. Si l'on
fuppofe de(dy)=ef = lm, c'est à dire dy conftant, les trian-
gles rectangles Cdc, cml feront femblables & égaux; & l'on
verra que me fera ddx, & li fera ddu. 3°. Si l'on fuppofe
Cc (du) conftant, c'eft à dire Cc(du) cfci, les triangles
rectangles Cdc, cni feront semblables & égaux, & ne fera ddx,
& iK fera ddy. Il faut remarquer que quand on fuppofe une
difference conftante comme dx, fon integrale x n'eft
pour cela conftante, puifque fa difference eft dx; mais elle
n'a point de differences fecondes, troifiémes, &c.

PROBLÉME II.

que

pas

$48. TROUVER les differences des expressions qui contiennent des differences.

N

On les trouvera de la même maniere qu'on trouve les dif-
ferences premieres par le premier Problême; & il fuffira ici,
pour le faire concevoir, d'en mettre quelques exemples.

Pour trouver la difference de xdx, on regardera ce pro-
duit comme compofé des deux grandes changeantes x & dx,
O oo o ij

I

dx

I

que

dx2

& on prendra la difference de chacune multipliée par l'autre, & on trouvera dx + xddx pour la difference l'on cherchoit, d'où il fuit que la difference de dx eft zdxddx. La démonstration est semblable à celle qu'on a donnée pour trouver la difference des produits xy, xx, &c. D'où il fuit que la difference de dx-1 eft dx-1- ddx ddx; la difference dey dy dx, en fuppofant dx conftante, eft dy'dx-'+yddydx-1=d+ddy; mais en supposant dy constante, la difference de ydydx-1 sera dy3dx ̄1 — ydydx ̄2ddx ydyddx; la difference de du dx2 + dy2, en sup. pofant dx conftante, sera duddu dyddy; en fuppofant dy conftante, elle fera duddu― dxddx; en fuppofant du conftante, elle fera dxddx dyddy; & en ne fuppofant aucune de ces differences conftante,elle fera duddu dxddx dyddy; La difference de du —√dx2 + dy2 dx2 + dy2 2, en suppofant dx conftante, eft ddu dyddy × dx2 + dy2

dy

dx2

= =

=

=

I

dyddy Vdx2 + dy' & en fuppofant du constante, elle eft o

; en fuppofant dy constante, elle est ddu —

fe réduit à dxddx - dyddy. La difference

dxd dx

Vdx dy'

dxddx + dyddy, qui Vdx2 + dy2

de my"-dy=dx,

2

en fuppofant dx conftante, eft mm - 1m x yTM-2dy2 + myTM-1ddy

en supposant dx constante (on ne peut pas fuppofer dy constante, parcequ'il y a ddy qui feroit zero fi dy étoit constante, ) est 3 dy ddy × dx2 + dy12 × — 'dxddy ́1 — dxd'y × dx2+dy1 2 × — dxddy qu'on peut réduire, fi l'on veut, à cette expression équiva

Ces exemples fuffifent pour faire concevoir la maniere de trouver les differences de toute quantité qui contient des differences quelconques.