$77. $78. l'équation à la parabole px = yy, les valeurs en y de dx, dx', en quarrant dx P = = 23dy P = 459 + PP dy2, & √dx2 + dy2 = d? √4yy+pp• PP la formule les valeurs de dx, dx2, — ddy, & l'on aura cD=2= dx2 + dy2 X↓ dx2 + dy2 - dxddy 4yyppx. xV4yypp 2033 43y+PP × √4vy + pp. C'est la valeur indéterminée du rayon de la developée, qui convient à chaque point de la parabole. Et fi l'on veut trouver pour chaque point particulier de la parabole, le point de la developée qui y répond, étant déterminée pour chacun des points de la parabole, il faudra mettre cette valeur de y dans le rayon qu'on vient de trouver, & il ne contiendra que des connues; mener par ce point de la parabole la perpendiculaire à ce point-là, c'est à dire à la tangente de la parabole en ce point-là, & lui donner la longueur déterminée du rayon, & fon extremité fera le point correspondant de la developée. Si l'on veut trouver la longueur du rayon de la developée pour le fommet A où yo; il n'y a qu'à fuppofer y = 0 dans la valeur indéterminée du rayon qui convient à chaque point de la parabole, & elle deviendra pour le rayon du point A qui eft le fommet ; & comme l'axe AB est pendiculaire au fommet A de la parabole, en prenant fur AB une longeur =1⁄2p, l'on aura fur l'axe le point de la developée qui correspond au fommet A. per Si l'on veut trouver l'équation de la developée, on me- PP = PP & en fubftituant les valeurs de dx, dy, on trouvera bP=1, '55°. cP = * 12/√dx2+dy2, & en substituant les valeurs de dx, dx2, dy', on trouvera cP={√4yy+pp; par confequent PD= D-CP = 25V4yy+pp. L'on aura enfuite, à cause des triangles semblables, Pcb, PDV, cP (±√4yy+pp) .cb (y) :: PD (27) √4yy+PP) . à DV (t) = $. On aura auffi cb (y) .bP (p) :: DV (t=4). PV=299. Par confequent AV (u) = AP + PV — 33 + 1p. Ayant les valeurs de z & det en y, il eft facile de trouver l'équation de la developée qui ne contienne pas d'autres changeantes que u & t; & le calcul étant plus court en mettant au lieu de y fa valeur y Vpx, on aura u = 3x + 1p, & u —p=3x,(qu'on fuppofera pour abreger) =s; ainfi x=s. Mettant dans t = 4, la valeur de y en x, on aura tVpx; où fubftituant la valeur de x en s, on aura t = =Vps, qui fe réduit à 27ps3, qui eft l'équation de la developée de la parabole; d'où l'on voit que cette developée eft la feconde parabole cubique, dont le parametre 17 eft 17 du parametre p de la parabole donnée, l'axe s—u-— pfe prend fur l'axe AB, & le fommet eft éloigné du fommet A dep. On trouvera de la même maniere les équations des developées des courbes données. 1 16 579. Qua = 27 тър REMARQUE S. I. UAND une courbe eft la developée d'une courbe geometrique, il est évident qu'on peut trouver une ligne droite connue égale au rayon de la developée pour chacun des points de la developée; & comme le rayon d'un point de la developée eft égal à la partie de la courbe developée, qui eft depuis le point de cette courbe où commence le developement, jufqu'au point du rayon, en y ajoutant dans quelques developées une droite connue, (ce que l'on peut connoître, comme on l'a vu ci-deffus, par l'équation de la developée, & même par l'expreffion du rayon de cette developée); il eft clair que l'on peut trouver la longueur de la developée, ce que l'on appelle la rectification de la courbe; c'est à dire, on peut trouver une droite égale à la longueur 580. 581. de la developée & de chacune de fes parties; d'où l'on voit II. On a déduit les fix formules du rayon de la developée des courbes dont les ordonnées font perpendiculaires aux coupées, des formules des courbes dont les ordonnées partent d'un même point, pour être court; mais on en a mis fix pour chacun de ces cas, felon les trois fuppofitions qu'on peut faire de l'une des trois differences du, dx, dy, conftante; parcequ'il y a des cas où le calcul eft plus facile dans l'une de ces fuppofitions que dans les autres, ce que l'on diftinguera facilement dans la pratique. I I I. On auroit pu faire des formules pour les courbes qui tour, nent leur convexité vers l'axe ou vers le pole des ordonnées; mais comme l'on trouve le même rayon avec les formules que l'on a données pour le côté de la concavité, avec cette feule difference qu'il eft négatif, il auroit esté inutile de les mettre ici : On remarquera feulement que dans les courbes qui ont un point d'inflexion ou de rebrouffement, c'est à dire, dont une partie eft concave vers l'axe ou vers le pole des ordonnées, & l'autre convexe, les rayons de la developée font pofitifs dans la partie concave, & négatifs dans l'autre, (ce qui eft visible même par les figures 42, 44, 45, où deux rayons infiniment proches vont fe rencontrer au point de la developée D, qui eft d'un côté dans la partie concave, & du côté oppofé dans la convexe), & le point d'inflexion ou de rebrouffement eft celui où fe fait le changement de pofitifs en négatifs, c'est pourquoi il faut * que le rayon de la developée foit infini ou zero au point d'inflexion ou de rebrouffement. IV. Tous les Problêmes qui fe refolvent par les formules qu'on a données depuis le commencement de cette fection, n'ont befoin que du feul calcul differentiel. La résolution des fuivants fe commence par le calcul differentiel, qui donne l'équation du Problême, & elle s'acheve ordinairement par le calcul integral. 554. Où l'on fait découvrir les formules des principaux Problêmes dont la réfolution commence par le calcul differentiel, & s'acheve par le calcul integral. 582. EN XLV. I. La formule pour la rectification des courbes. N nommant a la courbe ou l'arc de la courbe dont on cherche la longueur, du marquera chaque partie infiniment petite de la courbe; & fuppofant dans les courbes dont les ordonnées, qu'on nommera y, font paralleles, qu'elles font FIG. XLII. auffi perpendiculaires aux coupées x; & dans les courbes XLIV. dont les ordonnées y partent d'un même point qu'en prenant les ordonnées infiniment proches de chaque petite partie du de la courbe, on tire du centre commun avec le rayon y un petit arc de cercle, qu'on nommera dx, jusqu'à l'ordonnée infiniment proche; il eft évident que chaque petit triangle dont du eft l'hypotenufe, dx & dy les côtés, est toujours rectangle. Par consequent la formule generale de la rectification des courbes est du — √dx2 + dy3. USAGE DE LA FORMULE. 583. Pour trouver la longueur d'une courbe ou d'une partie de cette courbe, il faut trouver par l'équation de la courbe la valeur de dy2 en x, dx, dx2; ou la valeur de dx2 en y, dy, dy2; & fubftituer l'une ou l'autre de ces valeurs dans la formule, & alors Vdx2 + dy' fera changée en une quantité qui n'aura qu'une feule inconnue avec les differences, qui fera égale à du. Ce fera l'équation que l'on cherchoit par la formule pour la rectification de la courbe, il ne reftera plus qu'à en trouver l'integrale; ce que l'on enseignera dans la Partie fuivante. 584. Pour trouver, par exemple, la longueur de la 2o parabole cubique, dont l'équation est x3 = pyys on prendra d'abord les differences de l'équation, & l'on aura 3xxdx zpydy, ce qui donne dy = 3xx dx, & dy2 = 9x dx'; où fubftituant au lieu de pyy fa valeur x', on aura 4РРУУ = dy = 27 dx'. On substi tuera cette valeur de dy1 dans la formule generale, & l'on 3 27 JP X 4p+9x1 — 3. C'est la longueur de telle partie de la 2* parabole cubique qu'on voudra, en déterminant la valeur de la coupée x de cette partie, & la substituant au lieu de x dans cette équation. DEFINITION. X 585. L'EXPRESSION × 49 de chaque partie infiniment dx 2J8 Il faudra entendre la même chofe dans les formules fuivantes de l'aire des courbes, des furfaces courbes, & de la folidité des corps formés par la revolution des courbes au tour d'une ligne droite. 586. SUPPOSANT Element de l'ellipfe. PPOSANT que le grand axe Aa soit = 2a; son =2a; fon parame- Fro. XLVI. FIG. trep; que les coupées KB, Kb, Kb, &c. font = x, les ordonnées BC, bc, bx, &c. =y, & que l'équation de l'elxx; ce qui donne 2ayyaap-pxxi lipfe eft 22 yy = da en prenant les differences on trouvera 24 ydy= l'on aura Ce, xe (dy) xdx; d'où pxdx & dy2 PPxx_dx2 = Lay Pxx X - 24xx 4aayy mettant la valeur de zayy) xxx dx2. Substituant, cette valeur de dy2 dans la formule generale du: |