Element de l'hyperbole. 587. Ex fuppofant les mêmes dénominations pour l'hyperbole E16. XLVII. par raport à fon premier axe, 2 KA = 2a, & que l'équation * 289. est 25 yy = XX1 aa ; on trouvera de la même maniere Cc (du) = dx √ Pxx + 24xx=243; quand p=2a, du 2axx que xx-aa? = dxv 2xx-aa Mais par raport à fon fecond axe DKd, qu'on nommera 26; fon paramettre, la coupée Kb prife fur le fecond axe (x); l'ordonnée bC (y) parallele au premier axe KA, l'équation =xx + bb; & l'on trouvera de la même maniere fera 26 yy 'xx + 2 b xx + 2 b3 ; quand = 26 2a dans ce Manieres particulieres de trouver l'élement des courbes. 1°. L'élement d'un arc de cercle. 588. EN N nommant le rayon CA(r) du cercle AFE, la coupée F1 G. XXXV. AB(x), l'ordonnée BF (y =√zrx xx*), menant l'ordonnée Gg infiniment proche de la premiere, & Fi parallele à AC, le triangle CBF rectangle en B fera femblable au triangle iFg rectangle en i; car otant les deux angles droits BFi, CFg, l'angle commun CFi, les angles aigus restants BFC, i Fg font égaux. On aura donc BF (y=Varx-xx) .CF(r): Fi(dx). Fg (du): dx. C'est l'element d'une demi-circonference AFE, ou de tel arc AF qu'on voudra de la demi-circonference dont AB(x) est le finus verse : ainfi u S.dx_ = à l'arc AF. .589. *289. FIG. XLI. = 12rx-xx rdx √2rx-xx Si l'on nomme la coupée CB(x) en prenant l'origine au centre C, alors BF — Vrr-xx*, & les mêmes triangles femblables donneront BF (√rr-xx). CF (r) :: Fi(dx). Fg (du) C'est l'élement du quart de circonference, ou de tel arc MF qu'on voudra moindre que le quart de la circonference dont la ligne CB ( x ) est le finus droit: ainfi-u à l'arc MF. S Si l'on imagine que FH est une partie infiniment petite de la demi-circonference AHFE, & qu'on tire les cordes AH, AF, EF, EH, on aura le petit triangle FLH, qu'on peut regarder pendant le calcul comme rectangle en Z, puif +ELA-que l'angle exterieur FLH ne differe du droit interieur LHA que de l'angle interieur FAH qui eft fuppofe infiniment petit, & n'avoir aucun raport fini avec aucun angle d'une grandeur finie & donnée quelque petit qu'il puiffe être. Or le petit triangle FLH eft femblable au triangle AH E rectangle en H, car les angles aigus LHF, EAH ont pour de f la moitia melure, le premier l'arc EF, le fecond l'arc EF H, qui ne + la moitie de differe du premier que de l'arc infiniment petit FH; ainsi nommant le diamettre AE (2r), la corde AH (x), LF sera dx, EH fera V4rr-xx; & l'on aura EH (√4rr—xx). AE(27): LF (dx). HF= C'est encore l'élement 590. 2 rdx 4rr - xx de la demi-circonference AHE, & de tel arc AH qu'on S. 2 rdr ✔4rr-x.x Enfin fi l'on prend l'arc Rr infiniment petit, & que du FIG. XLI. = xdx ✔rr + xx = rectangles en e & en q, donneront ON (√rr + xx) . Os (r) :: rrdx rr rdx jrr + xx rdx ✔rr+xx d. C'est encore l'élement du quart de circonference, ou de tel arc e R qu'on voudra moindre que le quart de la circonference dont eN(x) serà la tangente; ainsi u = à l'arc e R. 2°. L'élement de la parabole. = 2x, 591. SUPPOSANT que ACc eft une parabole dont l'axe eft AB(x), FIC, XLII. 2x Pdx+4xdx. L'une & l'autre Vpx+4xx, & divisant par x) — Pdx+ 4xdx expreffion est l'élement d'un arc de parabole dont la coupée eft x. 592. x"= 2m m 2111-2 mm 3°. L'element des paraboles de tous les degrés, & des hyperboles de tous les degrés par raport aux asymptotes. L'EQUATION "Iy reprefente les paraboles de tous les degrés quand l'expofant m eft un nombre pofitif entier ou rompu, & les hyperboles de tous les degrés par raport aux afymptotes quand l'expofant m eft négatif. On prend l'unité sso. pour le parametre, afin d'abreger le calcul. On trouvera*que la foutangente eft = 1x, & que la tangente =V xx+yy (en mettant x2TM au lieu de yy ) Vi+ mmx -2. L'on aura donc (à cause des triangles semblables TBC, C dc, BT (1x) •CT( 1x √1+m2x2m—; -2) :: Cd (dx). Cc (du) — dx√ —m2x2C'est l'élement de toutes les paraboles & hyperboles, il n'y aura qu'à fubftituer au lieu de m l'expofant particulier de chacune de ces courbes; par exemple pour la feconde parabole cubique, m = ; l'équation x =— 1 y fera x3=1yy, du={dx√4+9x. On peut changer par la multiplication l'expreffion generale du dx Vi+m2x2 'en ces deux autres équivalentes du = dx Vixx + m2 x ; du 593. QUAND 2011-2 x m 2 2m 2m-2 REMARQUE. Ixxdxm'x1mdx x Vixx+m2x2m & AND on peut trouver l'integrale de l'élement d'une courbe, cette courbe peut être rectifiée; mais on ne connoît pas encore la rectification de celles qui ont des élemens dont on n'a pas pu trouver les integrales; la circonference & les arcs de circonference, la parabole du premier genre, l'ellipfe & l'hyperbole font de la derniere forte, auffi- bien qu'un tres grand nombre de courbes plus compofées geometriques & méchaniques. Quand on ne peut pas trouver la rectification des courbes plus compofées que les fections coniques, on tâche de réduire leur rectification à celle des fections coniques, de maniere que la rectification de ces dernieres étant fuppofée, on a la rectification de ces autres plus compofées qu'on peut y réduire. C'eft pour cela qu'on a mis ici les élemens de la rectification des fections coniques; on en verra l'usage dans la troifiéme Partie. II. Les II. Les formules generales pour trouver l'element de l'aire des courbes. 594. L'AIRE d'une courbe comprise par la feule courbe entiere F1G, XLII. quand elle rentre en elle-même comme le cercle, l'ellipfe & les autres femblables; comme auffi l'aire comprise par les courbes qui ne rentrent pas en elles-mêmes comme les paraboles, les hyperboles & les autres femblables, & par des lignes droites comme font leurs coupées & leurs ordonnées; enfin une partie finie de l'aire d'une courbe comme un fegment, un fecteur, &c. chacune de ces aires ou de ces plans curvilignes ou mixtes, c'est à dire, en partie curviligne, en partie rectiligne, peut être conçue partagée en une infinité de figures rectilignes, dont l'aire ou l'efpace eft infiniment petit par raport à l'efpace entier. Ces petites figures rectilignes qui rempliffent l'espace entier, peuvent être, felon les differentes courbes, de petits rectangles, ou de petits triangles, ou de petits parallelogrammes, ou de petits trapezes,&c. chacune eft la difference ou l'element de l'aire entiere; & leur fomme, qui eft l'integrale de l'élement, eft l'aire entiere de la figure. On appelle la mesure de l'aire d'une figure curviligne ou mixte, la quadrature de la courbe qui fait le circuit, ou une partie du circuit de la figure. On rapportera à deux cas la connoiffance de l'aire des courbes, ou la quadrature des courbes. Le premier comprendra les courbes qui ont des ordonnées paralleles, & on les fuppofera perpendiculaires aux coupées, afin que les élemens de l'aire foient de petits rectangles. Le fecond comprendra les courbes dont les ordonnées partent d'un même point, & leurs élemens feront de petits triangles dont chacun fera compris entre deux ordonnées infiniment proches, & aura pour base une partie infiniment petite de la courbe. Il y a des courbes qui peuvent appartenir aux deux cas, comme le cercle, l'ellipfe & autres femblables. Car en concevant dans un demi-cercle & dans une demi-ellipfe les ordonnées infiniment proches perpendiculaires à l'axe, les élemens feront des rectangles; & en concevant du centre dans le cercle & dans l'ellipfe des rayons infiniment proches terminés à la courbe, & encore dans l'ellipfe concevant des lignes tirées d'un des foyers à l'ellipfe, les élemens feront de petits triangles. Les fegmens d'une courbe comme ACA (fig. 42), peuvent le rapporter au fecond cas. PREMIER CAS. Formule generale pour trouver l'élement de l'aire des courbes dont les ordonnées font perpendiculaires aux coupées. 595. EN nommant les coupées AB(x), les ordonnées BC(y), FIG. XLII. la difference Bb(dx) de la coupée fera la largeur de l'élement CBbc de l'aire; l'ordonnée BC (y) fera la base de ce petit rectangle; & ce petit rectangle CBbc fera ydx; ainfi nommant l'aire entiere ACB, ou cet espace entier (e), l'on aura de=ydx. C'est la formule pour trouver la quadrature des courbes. L USAGE DE LA FORMULE. le 596. Il faut, pour trouver l'aire des courbes, prendre par moyen de l'équation de chacune, la valeur de y en x, & quand il y a dans l'équation dy, la valeur de dy en dx; & fubftituer ces valeurs dans la formule, qui n'aura, aprés la fubftitution, qu'une feule inconnue x & fa difference dx, ce fera l'élement de l'aire, il ne reftera plus qu'à prendre l'integrale de cet élement pour avoir la quadrature de la courbe, ou de telle partie qu'on voudra déterminer dont la coupée fera x. On pourroit auffi trouver l'élement de chaque courbe en y & dy au lieu de x & de dx. & L'élement de l'aire de la parabole & fa quadrature. 597. POUR trouver, par exemple, l'aire de la parabole dont l'équation eft yy =px, on prendra la valeur de y en x, l'on aura y = √px; on fubftituera cette valeur dans la formule, & l'on aura de de l'aire de la parabole. I I l'élement dxvpx= p2x2dx pour Si l'on veut trouver ici l'integrale de 532. cette difference, on la supposera representée *par nax"— 'dx, & fon integrale qu'on cherche par ax"; ainfi l'exposant n = 1, x = x, dx dx= l'élement, x' 3 dx, pi =a. 1°. Il faut mettre dans 3 — x1 à'la place de x13, ce qui donnera =x p2x2dx. 2°. Il faut multiplier de par, & l'on aura le divi 1 3 feur dx. 3°. Il faut divifer pxdx par ce divifeur, & l'on |