I Si l'on vouloit que le rayon fût exprimé par une lettre r, & non par l'unité, l'on trouveroit l'arc AF(u) = x + -—-—x3 ➡2334x+ -1276x2 + 115278 +&c. qu'on peut réduire à cette expreffion équivalente «= x + 2x277 x2 + + 40r4 35 3×3×5×5 x2+ 2X3 X4 X5 X6X7r6 X 3rr 6rr 3X3 2 X3 X4 XSrt x2+ &c. On peut trouver de même l'expreffion de l'arc AF par le finus de complement CB, comme auffi par le finus verse AB. La même longueur exprimée par la corde. 628. EN nommant le diametre AE(1), la corde AH(x), l'arc FIG. XLI. AH(u), les triangles femblables *AHE, LHF donneront * 589. EH√I—xx). AE( 1 ) :: LF (dx). HF (du) FIG. XXXV. & LXI. + =0, = fe réduit à 1-xxduo, qui eft femblable à l'équation précedente; & l'on trouvera par confequent la même fuite pour la longueur de l'arc AH (u). 6D2 Si l'on vouloit qué le diametre A E fût exprimé par une lettre D, on trouveroit l'arc AH(u) = x + 11 x2 + 40D+ X5 x3 3.✖ → 111D5 x2 + 1131 De '+ &c. qu'on peut réduire à cette expreffion équivalente AH(u)=x+2×1 Ð2x2 + + 2 X 3 X 4 X5 X6 X 7D6 X 7 + 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 X 8 X9Dx2+ &c. & encore à celle-ci AH (u) =x+ =x+2x2;D2 Axx + 3x b: Bxx Cxx + Exx+&c. dans laquelle A fignifie 3X3 4X5D' tout le premier terme x, qui multiplie le fecond; B, tout le fecond terme Axx, par lequel le troifiéme eft multiplié; C, tout le troifiéme ; & ainfi des lettres capitales fuivantes; ce qui fert à abreger les formules, & à faire connoître la maniere facile de les continuer. 629. TROUVER la longueur de l'une des lignes inconnues de l'élement, comme du finus droit BF (x); ou de la corde AH(x) exprimée par la longueur de l'arc AF ou de l'arc AH, qu'on fuppofera connus. FIG. XXXV. Il faut fe fervir de la methode du retour des fuites 234, & & XLI. l'on trouvera le finus droit BF (x), ou la corde AH(x) l'arc AF ou AH. Si l'on veut exprimer le rayon par la lettre 7, l'on aura BF (x) — u — u3 2014 us veut exprimer le diametre par D, il n'y aura qu'à mettre D dans laquelle A fignifie le premier terme second terme Ann avec fon figne 2 X 3 rr u; B, tout le -; C, tout le troifiéme terme avec fon figne & ainfi des autres lettres ca Buu pitales fuivantes. 630. UN arc, qu'on nommera a, étant donné de tel nombre de degrés 4 1 qu'on voudra, & fa corde c étant tre étant D; trouver la corde x d'un autre arcu, qui ait avec It 1 & l'on + &c. Il faut auffi exprimer l'arc a que l'on cherche par I 2X 3×3 2 X3 X4 X5D4 fa xs 2o. Il faut faire cette proportion donnée, a. u:: 1 . n; ce qui donnera, en multipliant les extrêmes & les moyens, & mettant les valeurs de a & de u à leur place, x+ 3°. Il faut chercher par la methode du retour des fuites, art. 238, la valeur de la corde x qu'on demande, exprimée par une fuite qui ne contienne que des c, c3, &c. & l'on trouvera, en réduifant à un même dénominateur les grandeurs qui font les parties du coéficient du même terme, la corde x=nc + &c. C'est la formule que l'on cherchoit, & qu'il eft facile 631. maniere x = nc+ 497 nn IO X IID' Gc"+ &c. en fuppofant que A re prefente le premier terme nc; B, le fecond terme + & ainfi des lettres capitales suivantes. Cette formule fuffit pour conftruire les tables des finus, car le finus d'un arc eft la moitié de la corde du double de cet arc; ainfi une feule corde d'un arc étant connue (plus l'arc dont elle fera la corde fera petit, & moins il faudra de termes pour avoir une valeur tres approchante des cordes de tout autre arc), on pourra trouver les valeurs des cordes de tous les autres arcs qui auront avec l'arc donné tel raport qu'on voudra; par exemple fi l'on veut la corde de l'arc qui est le tiers du donné, il n'y aura qu'à mettre la corde de l'arc donné dans la formule à la place de c, & à la place de n, & fuppofer que x eft la corde que l'on cherche, & la formule aprés les fubftitutions donnera fa valeur. Quand l'expofant du raport de l'arc dont on cherche la corde, avec l'arc dont la corde eft donnée, est un nombre impair, comme }, { 7, &c. il est visible que la fuite qui eft la valeur de x fera finie. On peut de même trouver une formule pour construire les tables des tangentes, par l'art. 626. REMARQUE. para CES I I. Problêmes où l'on fe fert des élemens de l'aire des courbes pour 632. ON fuppofe que ACc eft une hyberbole équilatere entre FIG.XLVII, les asymptotes KL, KM qui font un angle droit en K ; que = le demi-axe est KA, le fommet A, la perpendiculaire du +x aadx = KGXGA b+x pour l'éle +x) b+x ment du quadrilatere fFIi (l); ainfi /= S. andx, & dl=aadx; + &c. dx COROLLAIRE. I I I 633. NOMMANT KP (c), PF (x), KI (e), IZ ( z ) ; fi l'on prend .༢ I 2ce terme de la valeur du premier quadrilatere est égal au terme Avertissement. L'invention des logarithmes hyperboliques, par le moyen defquels on forme bien plus facilement les logarithmes des tables que par la methode ordinaire des tables des logarithmes, dépend du Problême précedent & de fon Corollaire; on va l'expliquer en peu de mots. Des logarithmes hyperboliques. PREMIERE SUPPOSITION. 634. On peut concevoir fur l'afymptote KZ des coupées KR, FIG. XLVII. K2, KP,KG,KF, &c. en progreffion geometrique à l'infini, V Vu u iij & de maniere que le raport qui regne dans la progreffion ne differe du raport d'égalité que d'une quantité infiniment petite; le terme K où commence la progreffion eft zero; le premier terme KR eft une grandeur infiniment petite audeffus de zero, le fecond terme K2 furpaffe le premier d'une grandeur infiniment petite, & de même le 3o, le 4°, &c. à l'infini, la coupée KG qui fe termine à l'ordonnée AG du fommet A, & qui lui eft égale, fe prendra pour l'unité; & comme l'on peut concevoir tous les nombres poffibles dans cette progreffion, tous les nombres moindres que l'unité feront depuis K jufqu'à G; tous les nombres qui furpaffent l'unité pris de fuite iront depuis l'origine K jusqu'au delà de G à l'infini. COROLLAIRE I 635. ON N peut imaginer toutes les ordonnées de ces coupées; & * 633 il eft clair que tous les quadrilateres hyperboliques qui ont 634. pour bafes les differences des coupées voifines, feront égaux entr'eux. Par exemple fi PG, GF font deux differences ou deux reftes des termes voifins de la progreffion geometrique, en ôtant les moindres, de ceux qui font immédiatement plus grands; les quadrilateres CPGA, AGFf seront égaux. L COROLLAIRE I I. 636. It fuit de là que les fommes de tous ces petits quadrilateres prifes de fuite, font une progreffion arithmetique, dont la difference eft l'un de ces petits quadrilateres égaux. Par exemple nommant 1 l'un de ces quadrilateres, la fomme des deux fera 2, celle des trois fera 3, & ainfi de fuite. SECONDE SUPPOSITION. 637. ON exprimera tous les nombres qui feront plus grands que l'unité par l'unité plus la quantité dont ils furpaffent l'unité, & ceux qui feront moindres que l'unité feront exprimés par l'unité moins la quantité dont l'unité les surpasse; ainfi 9, 10, &c. feront exprimés par 1+ 8, 1+9, &c., feront exprimés par 1- 8, 1I , &c. & en general tout nombre qui furpaffe l'unité fera exprimé par i +n; & ceux qui font moindres par 1―n. دو I 2. 10 9910 On nommera auffi reciproques les termes de la progreffion geometrique, entre lesquels l'unité eft moyenne proportion-. |