nelle, ainsi est reciproque à 3, car . 1 :: 1 .3; & en gene ral eft reciproque à 1 →n, car . 1 :: 1 . 1 + n. + n COROLLAIRE I. 638. IL fuit de là & des Corollaires qui précedent, que fi l'on prend quatre termes de la progreffion geometrique qui foient en proportion, les quatre fommes des quadrilateres hyperboliques prifes depuis le point G de l'unité, qui auront ces quatre termes moinsKG pour bases, feront une proportion arithmetique. Par exemple fi l'on prend KF.KI:: KL.Kn, les quatre fommes des quadrilateres hyperboliques prifes depuis AG, fçavoir AGFF, AGIi, AGLI, AGnm, feront une proportion arithmetique, & de même fi KR. K2 :: KQ. KP, les quadrilateres hyperboliques fur GR, GQ, GP feront une proportion arithmetique; car quatre termes de la progreffion geometrique, comme KF, KI, KL, Kn, ne fçauroient faire une proportion geometrique qu'il n'y ait un égal nombre de petits raports égaux à celui qui regne dans la progreffion entre le premier KF & le fecond KI, & entre le troifiéme KZ & le quatrième Kn; ainfi il y a le même nombre de ces petits raports égaux entre F & 1, qu'entre L & n; il y a donc le même nombre de petits quadrilateres hyperboliques égaux fur FI & fur Zn; par confequent l'excès de AGIi fur AGFƒ est égal à l'excès de AGnm fur AGLI; ce qui fait une proportion arithmetique. Il eft évident que la même démonstration convient à quatre termes tels qu'on voudra de la progreffion geometrique, qui feront une proportion geometrique. COROLLAIRE II. 639. QUAND deux termes de la progreffion geometrique font reciproques, comme KR (égal par exemple à 4), & K1 (égal à 3), les deux quadrilateres hyperboliques fur GR, GI, qui font fur les differences GR & GI de l'unité à ces deux termes, font égaux : car KR. KG :: KG. KI par la fuppofition; donc par le Corollaire précedent le quadrilatere sur GR est égal au quadrilatere fur GI. TROISIEME SUPPOSITION OU DEFINITION. 640. Si l'on conçoit écrits de fuite fur une même ligne, ou fi l'on veut dans une même colonne, tous les nombres depuis zero de la progreffion geometrique dans laquelle regne le raport qui ne differe du raport d'égalité que d'une grandeur infiniment petite, & qui vont en augmentant, de maniere que l'unité fe trouve placée entre tous les nombres moindres que l'unité & les nombres plus grands, c'eft à dire que l'unité foit précedée de tous les premiers mis de fuite, & fuivie des autres auffi mis de fuite, & que fur une ligne au-deffus, ou dans une colonne à côté, l'on conçoive zero écrit vis à vis de l'unité, la valeur d'un des petits quadrilateres hyperboliques écrite à côté du nombre immédiatement plus grand que l'unité avec le figne+, & encore vis à vis du nombre immédiatement moindre que l'unité avec le figne la fomme de deux de ces petits quadrilateres écrite vis à vis du fecond nombre plus grand que l'unité avec le figne +, & encore vis à vis du fecond nombre moindre qui la précede avec le figne; la fomme de trois quadrilateres écrite vis à vis du troifiéme nombre qui fuit l'unité avec +, & encore vis à vis du troifiéme qui la précede avec - ; & ainfi de fuite; la feconde ligne ou la feconde colonne contiendra une progreffion arithmetique, dont chaque terme s'appelle le logarithme hyperbolique du terme de la progreffion geometrique qui eft vis à vis, qu'on appellera fon terme correspondant; zero fera le logarithme de l'uniré, & fe trouvera entre les logarithmes négatifs qui le précedent, & qui font les logarithmes des nombres moindres que l'unité, & entre les pofitifs qui font les logarithmes des nombres plus grands que l'unité. Corollaire où l'on explique l'ufage des logarithmes. 641. L'USAGE des logarithmes eft pour diminuer la peine du calcul dans les Mathematiques practiques, comme dans la Geometrie practique, l'Aftronomie, &c. on change par leur moyen les multiplications & les formations des puiffances en de fimples additions, & les divifions & les extractions des racines en de fimples fouftractions, car le quatrième terme b+a d'une proportion arithmetique dont zero eft le premier terme o, a; b, b + a étant la fomme des deux moyens a,b; & le troifiéme terme a d'une proportion arithmetique dont zero est le dernier terme b + a, b ; a, o étant la difference du premier terme b+a & du fecond b, c'est à dire b+a -bas quand on a une multiplication à faire, c'eft à dire 642. qu'il faut trouver le quatrième terme d'une proportion geo- e er I Les formations des puiffances n'étant que des multiplications réïterées, & les extractions des racines des divifions réïterées, pour trouver la 2o, la 3° puiffance, &c. d'un nombre; il n'y aura qu'à prendre le double, le triple du loga. rithme de ce nombre, &c. & le chercher dans la colonne des logarithmes, le nombre qui se trouvera vis à vis fera la 2o, la 3 puiffance, &c. du nombre propofé. De même pour trouver la racine 2, 3, &c. d'un nombre, il n'y aura qu'à prendre la moitié, le tiers, &c. du logarithme de ce nombre, & le chercher dans la colonne des logarithmes, & le nombre qui fera vis à vis fera la racine 2,3°, &c. que l'on cherche. Çe Corollaire est une fuite de la notion des logarithmes, & de ce que quatre termes de la progreffion geometrique correfpondante à la progreffion arithmetique des logarithmes, faifant une proportion geometrique, leur quatre logarithmes font une proportion arithmetique. Les formules pour trouver les logarithmes hyperboliques. 643. POUR OUR trouver le logarithme hyperbolique d'un nombre FIG. XLVII, quelconque plus grand que l'unité, qu'on marquera par 12, il faut imaginer que ce nombre eft une coupée, par exemple KF fur l'afymptote KL, & l'ordonnée correfpondante eft Ff, que fa premiere partie 1 eft KG, & fa feconde partie n➡GF; & la question se réduira à trouver le quadrilatere AG Ff, qu'on nommera 7, c'est à dire logarithme. L'équation à l'hyperbole équilatere est KGXG4=ƒF=== X X X X Idn 227, dn où eft ce même La differentielle de KF=1+ n eft dn ; ainfi l'élement du Quand le nombre propose sera moindre que l'unité, on le nommera in ; & l'on aura l'équation dind n; dl-ndl d n = 0; & l'on trouvera par la même methode le logarithme / USAGE DES FORMULES. 644. Il n'y a qu'à substituer le nombre dont on cherchera le logarithme à la place de I+n ou de in dans les formules, ou fimplement la difference de ce nombre d'avec l'unité à la place de n; & la fomme qu'on trouvera fera le logarithme. Mais comme il faut que les termes de la formule aillent en diminuant, & que les logarithmes d'un nombre moindre que l'unité, & celui de fon reciproque plus grand que l'unité, font égaux ; il vaudra mieux fe fervir de la feconde formule, & mettre le nombre representé par à la place de i-n dans la feconde formule; c'est à dire qu'il y faut met I La maniere de réduire les logarithmes hyperboliques aux logarithmes ordinaires des tables. 645. DANS les logarithmes des tables, le logarithme du nombre 10 eft l'unité précedée d'un grand nombre de zeros; les logarithmes de 100, de 1000, de 10000, &c. font 2, 3, 4, &c. précedés du même nombre de zeros. Or en concevant.les logarithmes ordinaires des tables écrits dans une 3o colonne à côté des logarithmes hyperboliques correfpondants, il est clair que le logarithme hyperbolique de 10, ( qu'on trouvera 2, 30258509299404568401799145468, fi l'on veut le calculer jusqu'à trente rangs), est au logarithme hyperboli- L 235, Quand on a le logarithme 1 d'un nombre, trouver ce nombre. 646. Il faut fe fervir de la methode du retour des fuites 234 & où l'on a mis ce même Problême pour exemple; c'est à dire, il faut par le retour des fuites, ayant /n= — n n + },{ n3 — — n*, &c. ou l=n+nn+n+ &c. trouver la valeur de n exprimée par / & par les puiffances de l, & y ajouter l'unité pour avoir la valeur du nombre 1++n, ou retrancher la fuite qu'on trouvera de l'unité pour avoir le nombre 1 n; & l'on trouvera 1+n=1+ 1+1+ · /++ &c. & 1 − n = 1 − { + / l l + 2x 3 x +/+ 1-n=1-&c. On trouveroit les mêmes formules par les équations dl=d", & d l =d, en réduifant la 1" à 1+nd"=0, & la 2 à 1-n=dn= n=dh = 0, & y appliquant enfuite la methode du fecond Probl. 175. I e dn 4 dn Avertiffement. te IB + 2 X 3 2×3 I 2×3×4 di 14 On ne s'arrêtera pas ici à donner plufieurs moyens de faciliter & d'abreger le calcul de ces logarithmes, étant obligé d'être court; pour dire cependant beaucoup de chofes en peu de mots, on s'attache dans ces ufages de l'Analyse à faire concevoir clairement aux Lecteurs les methodes generales qui leur feront refoudre une infinité de Problêmes. REMARQUE. 647. LE Es lignes droites peuvent avoir leurs logarithmes hyper- FIG.XLVII. boliques comme les nombres; pour le concevoir clairement il faut mener la droite KST, qui faffe avec l'afymptote KG tel angle qu'on voudra; prendre fur cette ligne la partie déterminée KS telle qu'on voudra, & la nommer a ; & nommant l'indéterminée ST(x), a+ x representera telle droite qu'on voudra. Il faut mener S& au point G où fe termine l'unité KG, & par chacune des ST (x), mener TF parallele X X x x ij |