à SG; & le quadrilatere AGFƒ fera le logarithme hyperbo adl+xdl a-x Trouver l'aire d'un fecteur elliptique aKG exprimé par la tangente aT au fommet a du grand axe Ka. 648. LE fecteur GKa, en fuppofant les deux tangentes aT, GT, FIG. XLVI. eft partagé par la moitié par KT; car en concevant les deux ordonnées GM, aM au demi-diametre Kx, l'on aura pour 386. l'une & l'autre ordonnée * KT. Kx Kx. KM; ainfi le point M leur eft commun, & elles font une même droite, & K partage cette droite aG par la moitié en M, d'où l'on déduit aifément que Kx partage le fecteur entier a KG en deux moitiés. Pour trouver la premiere moitié a Kë, on fuppofera la tangente AT=t, la moitié Ka du premier axe égale à r, la moitié KD du second axe égale à 1. On tirera Kt infiniment proche de KT, & les petits arcs tλ, xo du centre K avec les rayons Kt, Kx ; & l'on aura les triangles rectangles femblables KaT, tλT, qui donneront KT (√Ka' + aT =Vrr+tt). Ka (r) :: Tt (dt). tλ= rdt rryy En nommant xb(y), l'on aura à cause des triangles femblables KaT, Kb× ; àÃ2 (tt). ñb2 (yy) :: KA' (rr) · Kb2 = *380. On aura auffi par la proprieté de l'ellipfe * KD (1) ⋅ xb2 (yy) 2 -2 Les petits lecteurs femblables + Kλ, KO donneront K₺ (Vīr+ti). ta (d) :: Kx (√). xq=rdt × √; rdt +I I tt + 1 x rrit Par confequent le petit fecur xKx, qui eft l'element du I ainfi nommant s le secteur aKx, on aura ds = qui fe réduit à rdt tt I On trouvera par cette équation, en employant la methode du Problème, article 175, le fecteur a Kx (s) = {r× I I 7 It { t3 + } t ' — }; t' + &c. & le secteur aK G, double de +3 + &c. On trouvera par la même methode precifément la même fuite pour un fecteur femblable du cercle, & la même suite auffi, en rendant tous les termes pofitifs, pour un fecteur femblable hyperbolique, dont le fommet eft au centre de l'hyperbole, en fuppofant l'hyperbole équilatere, ou, fi elle ne l'eft pas, en fuppofant fon fecond axe 1. Un fecteur elliptique AFC dont le fommet F eft à un des foyers F 649. ON fuppofe la moitié KA du premier axe connue = 93 FIG, XLVI. * 380. 2 rr pourtant in Par la proprieté de l'ellipfe * KD2 (rr) · KA' (qq) :: KD — BC2 (rr—xx).KB 1 x rr-xx ; ainfi KB = 4√rr-xxi KA-KB—BA=q-2√rr-xx, & FA-BA=FB − q + 1 √ rr — xx. Or la difference Bb de BA=q Vrr-xx, eft + BC (x), on aura du demi-segment BCA. Multipliant auffi FB par BC, & le demi-segment BCA faifant ensemble le fecteur CFA (y), rentielle ou à l'élement du fecteur CFA qui eft dy. On aura donc cette équation ¶r → : — q x V w — * x d x = {¦dy, qui se 1 Vrr-xx réduit à d× qr + t − q x √ ïr — x x — √πT-xx dx ay x =o. C'eft l'équation par le moyen de laquelle on trouvera, comme = dans l'article 231, qui contient ce même exemple, la valeur 504016110 1200417 On auroit pû trouver l'élement du même secteur en cherchant immédiatement le petit fecteur CFc Cgx FC; mais le calcul étant bien plus embaraffé, on s'est déterminé à la voye qu'on a fuivie, où il est bien plus court & plus facile. AVERTISSEMENT. 650. LE Problême précedent donne la résolution directe d'un Problême d'Aftronomie dont avoit befoin Kepler, & qu'il n'a pû trouver que par des voyes indirectes. Aprés avoir fait voir dans le chapitre 59 de fon Aftronomie nouvelle touchant les mouvemens de Mars, que cette planette décrit une ellipfe ADa FIG. XLVI. dont le Soleil occupe l'un des foyers F, que le temps entier de fon mouvement moyen autour du Soleil, par exemple depuis le point A où elle eft plus éloignée du Soleil, jufqu'à fon retour à ce point, doit être mefuré par l'aire entiere de Pellipfe qu'on peut concevoir exprimée par le nombre 360, & chaque partie du même temps par l'aire d'un secteur, comme CFA de la même ellipfe dont le fommet est au foyer F, & qui fera une des parties de 360; nommant chacun de ces fecteurs CFA l'anomalie moyenne, il falloit trouver l'angle CFA de ce fecteur au foyer F, ce qu'il nomme l'anomalie veritable. Le Problême précedent fait trouver cet angle CFA pour tel fecteur CFA qu'on voudra affigner; car nommant le fecteur y, l'on trouve par le Problême précedent la valeur de l'ordonnée BC (x) qui est un côté du triangle rectangle FBC, & BC(x) étant connue on trouve le fecond côtê FB ➡t- q + 1 √rr — xx ; & l'on aura par confequent l'angle CFA qu'il falloit trouver. 651. En prolongeant BC jufqu'au point H de la circonfe* 384. rence Ala qui a pour diametre le grand axe Aa, l'on aura* BC. BH :: KD. KIKA; ce qui fera auffi trouver BH & l'angle HFA, que cherchoit auffi Kepler. REMARQU E. Les exemples qu'on a mis pour trouver l'aire des courbes par l'élement de cette aire, & pour trouver les lignes inconnues qui entrent ou qu'on peut faire entrer dans cet élement, fuffifent pour faire voir clairement qu'on trouvera de la même maniere les aires des autres courbes par leurs élemens, & qu'on trouvera auffi les lignes inconnues qui entrent dans ces élemens; ce qu'on doit auffi entendre des élemens des folides & des surfaces courbes. Qù l'on fait voir l'usage de l'Analyse pour découvrir PREMIERE SECTION. Où l'on fait voir l'ufage de l'Analyfe pour trouver les regles du calcul integral. PREMIERE DEFINITION. 652. QUAND on a une differentielle quelconque, la maniere de trouver la grandeur entiere ou l'integrale dont elle est la differentielle, eft ce qu'on appelle le calcul integral. PREMIERE PROPOSITION FONDAMENTAL E. 653. QUAND 532. UAND une grandeur differentielle eft incomplexe, qu'elle ne contient qu'une feule changeante x multipliée ou divisée par une conftante, &, fi c'eft une fraction, que le dénominateur ne contienne que des conftantes, on en trouve toujours l'integrale, 1o, en augmentant dans la differentielle donnée l'expofant de la changeante d'une unité; 2°, en divifant enfuite la differentielle par l'expofant de la changeante ainfi augmenté de l'unité & multiplié par la differentielle dx de la changeante x lineaire; car le quotient fera l'integrale. * Ainfi axdx a pour integrale x': 4x2dx a pour integralex3: a pour integrale : Vxxdxa pour integrale xx: ax ̄'dx a pour integrale = ∞ ; c'est à dire, la methode donne une integrale infinie, ou plutôt elle ne fait rien découvrir, il faut avoir recours à d'autres manieres de trouver l'integrale: en general nax"-'dx a pour integrale ax"; & ax"dx a pour integrale 4x+1. Cette propofition eft une fuite évidente du calcul differen* 532. tiel*. Îl faut faire ici la même remarque qu'on a faite dans l'art. 533. da -bb სას Jaa x4 bb N+I Corollaires |