ment petit, qui eft l'element de l'aire d'une courbe qui peut être conçue partagée en quadrilateres infiniment petits, & ainfi de tous les autres élemens de l'aire des courbes, quelque figure que puiffent avoir ces élemens. Cela fuppofe, le Problême de la transformation des differentielles & des courbes n'est pas borné à transformer une courbe dont les élemens font des rectangles ou des parallelogrammes infiniment petits, c'est à dire, dont les ordonnées font paralleles en une autre dont l'aire fera égale à l'aire de la premiere, & qui aura auffi ses ordonnées paralleles; mais il fert encore à transformer les courbes dont les ordonnées font paralleles en d'autres où elles partent d'un même point, ou dont les élemens de l'aire auront telle figure que l'on voudra, & à transformer les courbes dont les ordonnées partent d'un même point en d'autres qui auront les aires égales à l'aire de la premiere, & dont les ordonnées partiront auffi d'un même point, ce qui fait voir la grande étendue du troifiéme Problême: on en mettra feulement un exemple.

Par exemple on peut donner pour transformée à la differentielle ax dxx a + bx, la differentielle

a

Vat - abun

Vab

a

· abu2

du x

qui eft l'élement d'un fecteur d'ellipse du ×

dont le fommet eft au centre de l'ellipse, multi

plié par, en fuppofant V

a

; ce qui donnera du

I

a

2

b.

u, & celle

de a + bx", & celle de x2", & multipliant par le premier

terme du la quantité qui naîtra des fubftitutions, l'on aura

adi

elliptique infiniment petit dont le fommet eft au centre de
l'ellipse; ainsi l'integrale de la transformée fera égale à l'aire
du fecteur entier S.
multipliée par 4. Ce fera
auffi l'intégrale de la propofée qu'on a réduite à la quadra-
ture fuppofée d'un fecteur d'ellipfe.

X. 2 Vababu

Si l'on veut avoir le grand axe de cet ellipfe avec fon parametre, (ce qui fuffit pour la décrire par l'article 361,) & l'expreffion de fon ordonnée, il faudra fuppofer l'élement d'un fecteur d'ellipfe, qu'on a trouvé dans l'article 608, en nommant 2a le grand axe, p fon para

aapdu

гарии

zV2a3p
metre, & vaap

-

24

=

puu l'ordonnée; il faudra, dis.je, fuppofer

cet élement égal à l'élement

ôter l'équivoque que cauferoita prise differemment, on nommera 27 le grand axe de l'ellipfe, & l'on aura

adu

2 V 26 — ab uu

rrpdu 2 V2r3p2rpuu.

& prenant 27 & p pour deux indétermi nées, il faudra en trouver les valeurs exprimées par a & b, par le moyen de l'équation précedente, & l'on aura d'abord pprt xab — aa × 2 pr3 — 2pruu, qui fe réduit à abpr3 — abpr3uu. a b pr3u u = 2aarr— 2aarr — 2aauu; & fuppofant abpr 2aarr, & abpr3uu = zaauu, la premiere équation don

=

nera p=

rr =

a

=; ainfi la moitié du grand axe de l'ellipfe dont on a trouvé l'élement, eft r=v; mettant cette valeur de r

leur du parametre de la même ellipfe : mettant ces valeurs der & de p dans l'ordonnée indéterminée de l'ellipse

on trouvera uz pour l'ordonnée de la

même ellipfe dont le fecteur S.

746.

eft la valeur de l'integrale de la differentielle propofée, &
dont la coupée est u.

On peut avec cette integrale fuppofée, trouver par le pre

mier Problême les integrales des differentielles bx1a¬1dx
올 dx

a + b x n

dx111dx &c. & les mettre dans une table à

a+b.xn " a+b.xn

côté de leurs differentielles : & fi l'on avoit d'autres diffe-
rentielles femblables, où l'expofant du figne p de la gran-
deur complexe a + bx fût un nombre entier pofitif ou
négatif different de l'unité négative-1, qui eft l'expofant de
la grandeur complexe des differentielles précedentes, il eft
évident que l'on en trouveroit les integrales par le fecond
Problême par le moyen des integrales fuppofées des diffe-
rentielles précedentes; & l'on pourroit auffi mettre ces inte-
grales à côté de leurs differentielles dans une table.

d'un fecteur de cercle* où bb eft pris pour l'unité arbitraire * 607. qui eft auffi le diametre du cercle,) en supposant x =

ce 4° terme par le premier du, on aura — a ×

x

du

2 Vu―bbun

qui est l'élement d'un fecteur de cercle multiplié par la
conftantea, qu'il faut encore multiplier par dans la
fuppofition qu'on prend 6 pour l'unité arbitraire, & de plus
pour le diametre.

747. 5. Enfin il pourra quelquefois arriver que le troifiéme
Problême de la transformation des differentielles ou des
courbes, fera trouver une differentielle transformée qui aura
une integrale exacte, ou une courbe transformée, dont la
quadrature fera exacte, d'une differentielle propofee, ou
d'une courbe propofée dont on ne peut pas avoir l'integrale
ou la quadrature exacte par les methodes des integrales.

HHhhh

REMARQUE IV.

Où l'on explique une methode particuliere pour trouver les inte grales finies des differentielles qui fe peuvent réduire à la quadrature du cercle ou de l'hyperbole équilatere.

748. OUTRE les methodes generales pour trouver par les quadratures, ou par les rectifications fuppofées des courbes les plus fimples, les integrales finies des differentielles dont on ne peut pas les trouver exactes, contenues dans les trois Problêmes précedens, & dans les formules des articles 694. & 695, il y en a de particulieres pour les differentielles dont la quantité complexe (qui eft fous le figne dont l'exposant eft p, qu'on fuppofe ici égal à +1,) multipliée par dx & par quelque conftante, est l'expreffion de l'element de la quadrature d'une des fections coniques. On mettra feulement ici une de ces methodes pour les differentielles qui contiennent l'élement de la quadrature du cercle ou celle de l'hyperbole équilatere adx x aa + x

2

, ou adxx

Quand une differentielle est le produit d'une grandeur complexe ou incomplexe hors du figne par dx xaaxx

x4

V2ax -xx

- 29

+

ou par dx × 2axxx comme 2ax — xxx dx × √ zax—xx; 1°. fi l'expofant est positif, c'est à dire fi la quantité qui est fous le figne se trouve au numerateur, il faut la réduire au dénominateur en multipliant le numerateur & le dénominateur de la differentielie par Vzax-x2, & l'on aura : Quand la quantité incommenfurable eft déja au dénominateur, cette préparation eft inutile. 2°. Il faut multiplier le numerateur & le dénominateur par x ou par une puiffance de x qui foit telle que l'expofant de la plus haute puiffance de x hors du figne, foit moindre d'une unité que celui de la plus haute puiffance de x fous le figne, (ce qui eft poffible, parcequ'en multipliant la grandeur hors du figne par x ou une puiffance de x, il faut pour conferver l'égalité de ce multiplicateur commun, mustiplier la quan

x3

tité qui eft fous le figne par le quarré de x ou de cette puiffance de x5) cette puiffance de x eft ici x3 pour le numera& x pour le dénominateur; & l'on aura la differen

teur,

tielle préparée

8

x7 — 4ax + 4aax3 x dx

γ

'dx × — x3 + 2ax1

7

=x3dx—4ax°dx+4a2x3x

qui n'a point changé de valeur.

3o. Il faut partager la differentielle préparée en parties,

comme on le voit ici, x2 — 4àxo+4a2x3 × dx × −x3 + 2ax2

aadx
2 V2ax -xx

14

Il faut faire ce partage avec ces deux conditions, 1o, qu'on puiffe prendre l'integrale de chaque partie, si ce n'est de la derniere qui eft l'élement même d'un fecteur de cercle, (en prenant a pour le rayon) multiplié par 14, & qui eft fuppofé connu; 2°. que la fomme de ces parties foit égale à la differentielle préparée qui est égale à la propofée: ainfi en mettant une quantité pour faire la premiere de ces parties avec le figne + ou -, il faut dans la partie fuivante mettre la même quantité ou une quantité équivalente avec le figne oppofé ―ou, & ainfi de fuite. Les Lecteurs verront dans la pratique qu'on va donner de la methode appliquée à notre exemple, qu'elle fait trouver certainement ces quantités, qu'il faut mettre fous des fignes oppofés, & non par des tentatives: c'eft pourquoi au lieu de leur faire trouver l'integrale de chacune des quatre premieres parties, on leur fera découvrir l'integrale comme fr le partage n'avoit pas été fait en faifant cet autre partage naturel de la differentielle préparée x'dx × — x3 → 2ax'

B

2

C

A premiere pattie,
+

zax? +4a2x3dx ×

— 4ax3dx × — x3 + 24x2

X1X

24x

HHhhh ij

7