comme on l'a fuppofé jufqu'ici; puifque pour la bander en ligne droite, cette pefanteur, ou ce poids K doit être nul (nomb. 3.) par rapport aux puiffances P, R, qui appliquées l'une contre l'autre, la banderoient ainsi.

COROLLAIRE. VII.

Il fuit pareillement des Corol. 4. 6. que fi l'on fait féparément un triangle qui ait fes trois côtez paralleles ou perpendiculaires aux directions des trois puissances P, R, K, chacun à chacune de ces directions; ces trois côtez de ce nouveau triangle feront encore entr'eux en raison de ces trois puiffances P, R, K, aux directions defquelles ils feront (Hyp.) tous trois paralleles ou perpendiculaires chacun à chacune; puifque ce nouveau triangle fera pour lors femblable à celui ABD du Corol. 4. où à celui MLI du Corol. 6. felon que les trois côtez feront paralleles ou perpendiculaires aux trois directions AP, AR, AX, des trois puiffances P, R, K, proportionnelles (Corol. 4.6.) aux trois côtez correfpondans de chacun de ces deux-ci ABD, MLI.

COROLLAIRE VIH.

Puifqu'en cas d'équilibre entre les puiffances P, R, K, ces trois puiffances font entr'elles (Corol. 4. 6. 7.) comme les côtez AB, BD, AD, du triangle ABD du Corol. 4. & comme les correfpondans de chacun des triangles des Corol. 6. 7. il eft vifible, que puifque chaque côté d'un triangle eft toûjours plus petit que la fomme des deux autres, de quelque maniere qu'on prenne ces trois puiffances, chacune d'elle fera auffi toûjours plus petite que la fomme des deux autres, tant que leurs directions feront angles entr'elles, ainfi qu'on l'a déja vû dans le nomb. 1. du Corol. 6.

COROLLAIRE IX.

En ce cas d'équilibre non feulement chacune des troispuiffances P, R, K, eft toûjours moindre (Corol. 8.) que

la fomme des deux autres, tant que leurs directions font des angles finis quelconques entr'elles, mais encore d'autant moindre (quoiqu'en raifon differente) que l'angle compris entre les directions de ces deux autres puillances, fera plus grand: par exemple, la puiffance K fera d'autant moindre que la fomme des deux autres P,R, que l'angle PAR compris entre leurs directions, fera plus grands puifqu'alors la diagonale AD du parallelogramme ABDC en fera d'autant moindre ( quoiqu'en raifon differente) par rapport à fes côtez AB, AC; & que (part. 3.) en ce cas d'équilibre la puiffance K eft toujours à chacune des deux autres P, R, comme cette diagonale AD eft à chacun de fes côtez correfpondans AB, AC. La même chofe fe trouvera de même de chacune des puiffances, P, R, en faifant auffi un parallelogramme qui ait fa diagonale fur la direction de cette puiffance, & fes côtez fur les directions de l'autre, & de la puissance K. Ainfi il eft également vrai de ces trois puillances P, R, K, que chacune d'elle eft d'autant moindre (quoiqu'en raifon differente) que l'angle compris entre les directions des deux autres eft plus grand.

Cela fuit encore du Corol. 6. du Lem. 8. & du précedent Corol. 4. Puifque (Lem. 8..Corol. 6.) plus fangle total, par exemple, PAR fera grand, plus le rapport de fon finus à chacun des finus des deux angles partiaux DAR, DAP, fera petit; & que fuivant le précedent Corol. 4. la puiffance K eft toujours ici à chacune des puiffances PR, comme le finus de cet angle total PAR à chacun des finus des deux partiaux DAR, DAP. Donc la puiffance K fera toûjours ici d'autant moindre que la fomme PR des deux autres P, R, que l'angle PAR fera plus grand. On trouvera de même en prolongeant les directions PA, RA, de ces deux puiffances-ci, à travers les angles RAX, PAX, que la puiffance P fera d'autant moindre que la fomme K+R des deux autres, que Tangle RAX fera plus grand; & que R fera d'autant moindre que KP, que l'angle PAX fera auffi plus grand.

COROLLAIRE

COROLLAIRE X.

Mais fi l'angle que font entr'elles les directions proTongées PG, RH, des puiffances P, R, étoit infiniment aigu, & confequemment auffi les angles PAD, RAD, c'est-à-dire (Lem. 6. Corol. 1.) fi ces deux directions étoient paralleles entr'elles, & ces deux puiffances dirigées en même fens directement contraire à celui de la troifiéme K en équilibre (Hyp.) avec elles, le finus de l'angle PAR fe trouvant alors (Lem. 7.) feul égal à la fomme des finus des deux autres angles partiaux PAD, RAD, la puiffance K ou le poids de ce nom remis à fa place, fe trouveroit auffi pour lors (Corol. 4.) feul égal à la fomme des deux autres puiffances P, R, prifes enfemble, ainfi qu'on l'a déja vu dans le nomb. 2. du Corol. 6. Et en tout autre cas d'équilibre, ce poids ou cette autre puiffance K feroit moindre (Corol. 6. nomb. 1. & Corol. 8.) que cette fomme des deux autres puiffances P, R.

la

Cela fe prouve encore par part. 1. 1. du Lem. 9. laquelle fait voir que lorfque l'angle PAR fe trouve infiniment aigu, la diagonale AD du parallelogramme BC fe trouve égale à la fomme des côtez AB, AC, de ce parallelogramme. Mais la part. 3. du prefent Th. 1. fait voir auffi que le poids K en équilibre (Hyp. ) avec les puissances P, R, est toûjours à chacune d'elles comme cette diagonale AD eft à chacun de ces côtez AB, AC. Donc en ce cas-ci d'équilibre, & d'angle PAR infiniment aigu, Ou ( Lem. 6. Corol. 1.) de directions paralleles entr'elles, le poids K doit être feul égal à la fomme des puiffances PR; & en tout autre cas d'équilibre moindre (Corol. 6. nomb. 1. & Corol. 8.) que cette fomme.

Ainfi en general en cas d'équilibre entre deux puissanpoids qu'elles foûtiennent ensemble avec des

ces & un

cordes feulement fuivant des directions paralleles à la fienne, & toutes deux en même fens directement consien, leur fomune doit toûjours être égale à la

traire au

feule pefanteur de ce poids ; & en tout autre cas d'équilibre encore (Corol. 6. nomb. 1. & Corol. 8.) toûjours plus grande.

COROLLAIRE XI

Au contraire dans le cas où l'angle PAR feroit infini ment obtus, c'est-à-dire ( Déf. 11.) où les directions PG, RH, des puiffances P, R, feroient en ligne droite, & ces deux puiffances directement contraires entr'elles.

1o. Si cette direction commune ne faifoit qu'un angle infiniment petit avec la verticale du poids K, en forte qu'elle fut auffi verticale, & (part. 1. 2.) confondue avec celle-là; alors le finus de l'angle total PAR fe trouvant (Lem. 7. Corol. 2.) égal à la difference des finus des angles partiaux PAD, RAD, le poids K feroit auffi égal à La difference des puiffances PR, fuppofées en équilibre

avec lui..

Cela fuit encore de l'Ax. 4. en ce qu'alors ce poids d'accord avec une de ces deux puiffances n'en faifant plus qu'une avec elle, directement oppofée à l'autre, cette autre puiffance feroit ( Ax. 4.) égale à la fomme faite de la premiere, & de ce poids; & par confequent ce poids K feroit encore alors égal à la difference de ces deux puiffances P, R.

2o. Mais fi les directions de ces deux puiffances rendues en ligne droite ( Déf. 11.) par l'angle infiniment obtus. PAR, font toûjours des angles finis PAD, RAD, avec celle du poids K fuppofé en équilibre avec ces deux puiffances P,R ; alors le finus de l'angle infiniment obtus. PAR se trouvant infiniment petit, & confequemment nul

par rapport aux finus des deux autres angles PAD, RAD, fuppofez finis, le poids K fe trouveroit aufli pour lors (Corol. 4.) nul par rapport aux deux puiffances P R, lefquelles agiffent alors feulement l'une contre l'autre conformément au nomb. 3. du Corol. 6. Ainfi tant qu'il refte un poids K entre ces deux puiffances P, R, attaché à leurs cordes, ces deux cordes prolongées doivent tou

jours faire 'entr'elles quelqu'angle fini PAR que ce foit, tant qu'elles en feront de finis avec la direction de ce poids K.

COROLLAIRE XII.

De-là on voit qu'il n'y a point de forces ou de puiffances imaginables, quelque grandes qu'on les conçoive, qui,appliquées aux extrêmitez d'une corde parfaitement flexible, la puiffent tellement bander, qu'elle devienne parfaitement droite, pour peu de pefanteur qu'on fuppofe à cette corde, ou fi elle n'en avoit aucune ( ainfi qu'on l'a fuppofé jufqu'ici, & qu'on le fuppofera toujours dans la fuite) quelque petit poids qu'on lui fuppofe appliqué entre ces deux puiffances; puifque quelque prodigieufes qu'on les imagine (à moins qu'elles ne foient infiniment grandes par rapport à la pefanteur de la corde, ou du poids qui lui feroit appliqué, fi elle n'en avoit aucune) elles auront toûjours quelques rapports à la pefanteur de cette corde, ou au poids qui feroit appliqué entre ces deux puiffances, fi elle n'en avoit aucune ; & par confequent cette corde fe courbera toûjours, ainsi qu'on l'a déja vû dans le nombre 4. du Corol. 6. Et cela parce que fi cette corde devenoit droite, les deux puiffances qui la banderoient ainsi, n'agiroient plus du tout contre fon poids, mais feulement l'une contre l'autre: raifon affez à la portée du vulgaire, pour diffiper feule toute la furprife où il eft de voir qu'une corde avec laquelle plufieurs chevaux traînent contre le courant d'une riviere un ou plufieurs bateaux chargez, ne se trouve jamais en ligne droite.

COROLLAIRE XIII.

Si l'on imagine prefentement de B en C une feconde diagonale du parallelogramme ABDC, il eft manifeste (Def. 13.) que le point T où cette feconde diagonale rencontrera la premiere AD, fera le centre principal d'équilibre des puiffances P,R; & qu'ainfi (conformé