lelogramme AEDF fait enfuite (Hyp.) de la diagonale AF de celui-là, & de la troifiéme proportionnelle AE; cet effort refultant du concours des trois puiffances P, Q, R, contre le poids K, doit se faire (Lem. 3. Corol. 10.) de A vers D fuivant la diagonale AD de ce dernier parallelogramme & tout à la fois du parallelepipede BACFDHEG, doit (en cas d'équilibre entre le poids K & les trois puisfances P, Q, R,) être en ligne droite avec la direction AK du poids K, c'est-à-dire, qu'alors cette direction KA prolongée doit paffer par l'angle D de ce parallelepipede.

2o. Il fuit auffi de la part. 2. de ce Théoreme-ci, qu'en ce cas d'équilibre entre le poids K & les trois puiffances P, Q, R, ce poids doit être à chacune de ces puiffances, comme la diagonale AD du parallelepipede BACFDHEG eft à chacun de ses trois côtez AB, AC, AE, pris ( Hyp.) fur les directions de ces trois puiffances; puifque l'effort refultant de leur concours contre ce poids, lui (nomb. 1.) est égal, & eft (Lem. 3. Carol. 10.) en cette raifon à cha-cune de ces trois puiflances.

3°. Il fuit reciproquement de la part. 3. de ce Théore-me-ci, que fi la diagonale AD du dernier des deux parallelogrammes ABFC, AFDE, our du parallelepipede BACFDHEG, est en ligne droite avec la direction AK du poids K, c'est-à-dire, fi cette direction KA prolongée paffe par l'angle D de ce parallelepipede, & que ce poids foit à chacune de ces trois puiffances P, Q, R, comme la diagonale AD de ce même parallelepipede et à chacun de fes trois côtez AB, AC, AE, pris fur leurs directions; ces trois puiffances foûtiendront ensemble ce poids en équilibre avec elles: puifque (nomb. 1.) l'effort refultant de leur concours contre ce poids, lui fera dire&ement contraire & égal.

COROLLAIRE VIII.

Les trois puiffances P, Q, R, tirant encore contre le Fio poids K comme dans le précedent Corol. 7. avec des directions quelconques dans des plans differens, fur lefquel

les depuis le point A de leur concours, foient encore prifes AB, AC, AE, AD, proportionnelles à ces puiflances P, Q, R, & à ce poids K.

que

Py

1. En cas d'équilibre entr'elles & lui, fa direction paffera par le centre de gravité de la bafe BCE d'une ramide triangulaire BCED, qui aura fes quatre angles B, C, E, D, aux extrémitez des proportionnelles AB, AC, AE, AD, de ces trois puiffances P, Q, R, & du poids K. Car fi l'on mene la droite EF par le milieu F de BC, le Corol. 5. du Lem. I I. fait voir II. l'effort refultant du concours de ces trois puiflances P, Q, R, doit fe faire fuivant une ligne AG, qui divife EF en G de maniere qu'elle rende EG. GF:: 2. 1. c'est-à-dire (Def. 17.) en un point G, qui foit le centre de gravité de la bafe BCE de la pyramide BCED. Mais en cas d'équilibre entre le poids K & les trois puiffances P, Q, R,la direction AK de ce poids, doit être (part. 1.) en ligne droite avec la direction AG de l'effort refultant du concours de ces mêmes puiffances. Donc cette direction KA ou DA prolongée du poids K, doit alors auffi paffer par le centre de gravi.é G de la bafe BCE de la pyramide BCED, & confequemment auffi (Déf. 17.) par le centre de gravité de cette pyramide elle-mème.

2o. En ce cas d'équilibre le noud ou point commun A des quatre cordes ou directions AP, AQ, AR, AK, des puiflances P, Q, R, & du poids K, fera dans le centre de gravité de cette pyramide BCED. Car la part. 3. fait voir qu'en ce cas d'équilibre entre le poids K & les puiffances P, Q, R, ce poids eft à chacune d'elles comme 3×AG et à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE. Mais ( Hyp. ) ce poids eft auffi à chacune de ces puiffances, comme AD eft à chacune de ces mêmes proportionnelles correfpondantes. Donc en ce cas d'équilibre l'on aura AD=3×AG ; & confequemment la droite DG fera divifée en A de maniere qu'on aura AD. AG:: 3.1. Donc cette droite paffant auffi lors (nomb. I.) par le centre de gravité de la bafe BEC de la pyramide BECD,

pour

le

le point A fera alors ( Déf..7.) le centre de gravité de cette pyramide elle-même.

3°. Reciproquement fi le noeud ou point commun A des cordes ou directions des puiffances P, Q, R, & du poids K, est le centre de gravité de cette pyramide BECD; & que ces trois puiffances & ce poids foient entr'eux comme les diftances AB, AC, AE, AD, de ce centre A aux angles B, C, E, D, de cette pyramide; ces puiffances P, Q, R, & ce poids K, dirigées fuivant ces lignes, feront en équilibre entr'eux. Car fi A eft le centre de gravité de la pyramide BCED, l'on aura ( Déf. 17.) non feulement ÁD. AG:: 3.1.mais encore EG. GF:: 2. 1. Et BF FC. Ce qui fait voir que non feulement on aura ici AD=3×AĠ; mais encore que G y fera ( Déf. 13.) le centre principal d'équilibre des puiffances P, Q, R, entr'elles. Or (Hyp.) le poids K eft à chacune de ces puiffances P, Q, R, comme AD eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE. Donc ce poids eft auffi à chacune de ces trois puiffances comme 3×AG à chacune de ces mêmes proportionnelles correfpondantes. Donc fa direction AK ou AD étant ici (Hyp.) en ligne droite avec AG, & G étant le centre principal d'équilibre de ces trois puiffances P, Q, R, entr'elles, ce poids K doit ici (part. 4.) demeurer en équilibre avec elles.

Cela fe peut encore démontrer indépendemment de la part. 4. Car puifque l'hypothefe donne ici EG. GF:: 2. 1. & BF=FC, avec AB, AC, AE, proportionnelles aux trois puiffances P, Q, R, agiffantes fuivant ces lil'effort résultant de leur concours, fera (Lem. I I. gnes; ·Corol. 5. ) de A vers G fuivant AG, & à chacune d'elles comme 3×AG à chacune de leurs proportionnelles correfpondant es. Mais le poids K eft auffi (Hyp.) à chacune de leurs trois puiffances P, Q, R, comme AD eft à chacune de ces mêmes proportionnelles AB, AC, AE; & de plus l'hypothefe vient de donner AD=3xAG. Donc ce poids eft ici égal à l'effort fuivant AG, refulzant du concours des trois puiffances P, Q, R, Donc la

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direction AK ou AD de ce poids étant ici (Hyp.) en ligne droite avec la direction AG de cet effort en fens contraire ; ce poids K doit ici (ax. 4.) demeurer en équilibre avec cet effort, c'est-à-dire, avec les trois puiflances P, Q, R, du concours d'action defquelles cet effort refulte.

4°. Reciproquement encore fi trois puiffances quelconques P, Q, R, & un poids K auffi quelconque font équilibre entr'eux fuivant autant de cordes ou directions AP, AQ, AR, AK, qui du centre A de gravité de quelque pyramide triangulaire BCED que ce foit, paffent par les quatre angles. B, C, E, D, de cette pyramide; ces trois puiffances P, Q, R, & ce poids K feront entr'eux comme les diftances correfpondantes de ce centre A à ces quatre angles. Car fi cela n'étoit pas, foit ( fi l'on veut) le poids K aux puiffances P, Q, R, comme AD à AL, AM, AN, quels que foient ces rapports. Le nomb. 1. fait voir que dans le cas prefent d'équilibre entre ce poids & ces trois puiffances, le noud ou concours A de leurs cordes ou directions, fe trouveroit au centre de gravité d'une pyramide triangulaire, qui auroit les quatre angles ou les quatre pointes aux extrêmitez D, L, M, N, de ces quatre proportionnelles. Mais on fuppofe ici ce noud ou concours A des cordes ou directions des puiffances P, Q, R, & du poids. K, au centre de gravité de la pyramide BCED. Donc ces deux pyramides auroient le même centre de gravité A, & la même pointe D; ce que la Déf. 17. fait voir aux moindres Géométres être impoflible. Par confequent dans la prefente hypothefe d'équilibre entre les trois puiffances P, Q, R, & le poide K, fuivant des directions qui du centre de gravité A de la pyramide BCED paffent par les quatre angles de cette pyramide; il eft pareillement impoffible que ces trois puillances P, Q, R, & ce poids. K, ne foient pas entr'eux comme les diftances correfpondantes AB, AC, AE, AD, de ce centre à ces angles.

COROLLAIRE IX.

Les Corol. 2. 3. 7. font voir en Géométrie qu'il peut y avoir une infinité de parallelepipedes, dont les trois côtez contigus & la diagonale qui part du concours ou de Pangle folide fait des trois plans qui paffent par ces trois côtez, feroient les mêmes dans tous. Car les puiffances P, Q, R, K, fuppofées en raison des grandeurs données AB, AC, AE, ÂD, pouvant avoir une infinité de directions differentes AP, AQ, AR, AK, en differens plans, & cependant ( Corol. 2. 3.) faire toûjours équili bre entr'elles fur le point A concours ou noeud de ces directions ou de ces cordes, fur lefquelles font données les proportionnelles AB, AC, AE, AD; trois quelconques AB, AC, AE, de ces quatre proportionnelles pourroient être les côtez d'une infinité de parallelepipedes BACFDGEH differens felon la varieté infinie des angles qu'elles feroient alors entr'elles autour du point A dans differens plans de forte qu'alors la puiffance K feroit aux trois autres P, Q, R-, comme là quatriéme proportionnelle AD feroit à ces trois côtez AB, AC, AE, de chacun de tous ces parallelepipedes. Mais cette puiffance K feroit auffi pour lors (Corol. 7. nomb. 2.) à ces trois autres P, Q, R, comme la diagonale qui pafferoit par l'angle A de chacun de tous ces parallelepipedes, feroit à ces trois côtez AB, AC, AE, les mêmes pour tous. Donc la diagonale par A feroit dans tous égale à AD; & confequemment ils auroient tous la même diagonale & les mêmes côtez par ce point A. Ce qu'on voit de la proportionnelle AD par rapport aux trois autres AB, AC, AE, fe démontrera de même de chacune de celles-ci par rapport à celle-là & aux deux autres. Donc

il

peut effectivement y avoir une infinité de parallelepipedes, dont les trois côtez contigus, & la diagonale qui paffe par leur concours ou angle folide, feroient les mê mes dans tous, quelle que foit celle de ces quatre lignes

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