deux puiffances P, R, en équilibre entr'elles fur cet appui ; & confequemment (part. 3.) ne confiftant que dans l'impression suivant EF résultante (Hyp.) fur lui du concours des puiffances P, R, doit aussi pour lors être dirigée fuivant EF, & être à chacune de ces puiffances comme la diagonale EF du parallelogramme GH eft à chacun de fes côtez EG, EH, qui leur répondent fur leurs directions. Ce qu'il falloit 4o. démontrer.

1

PART. V. Puifque (Hyp.) les puiffances P,R, font ici entr'elles comme les côtez EG,EH, du parallelogramme GH, qui leur répondent fur leurs directions, l'art. 1. du Corol. 1. du Lem. 3. fait voir que l'impreffion réfultante de leur concours fur la Machine, doit fe faire de E vers F fuivant la diagonale EF de ce parallelogramme. Donc cette ligne EF prolongée paffant (Hyp.) par l'appui A, toute la force résultante du concours de ces deux puiffances P, R, paffera auffi par cet appui A. Par confequent (part. 4.) elles feront en équilibre entr'elles fur cet axe ou appui A, alors chargé de toute cette force ou impreffion commune fuivant EF, & cette charge fera (part. 3.) non seulement ainfi dirigée suivant EF, mais encore à chacune de ces deux puiffances P, R, comme la diagonale EF à chacun des côtez correfpondans EG, EH, du parallelogramme GH. Ce qu'il falloit 5°.démontrer.

En cas d'équilibre, la part. 3. donnant ici le poids ou la puiffance à la charge de l'appui A :: EG. EF. Et cette charge à la puiffance R:: EF.EH. l'on aura ici ( en raison ordonnée) P. R : : EG. EH. c'est-à-dire, les puissances P, R, entr'elles en raifon des côtez EG, EH, qui leur répondent fur leurs directions dans le parallelogramme GH. Par confequent fi d'un point quelconque A de fa diagonale EF prolongée, on mene AM, AN, perpendiculaires fur les directions MP, NR, pareillement prolongées de ces deux puiffances P, R, ces mêmes puiffan ces feront entr'elles (Lem. 8.) en raifon reciproque de

ces perpendiculaires, c'est-à-dire, P. R:: AN, AM. Ce qui dans les Fig. 135.136.137.138. fignifie qu'en ce cas d'équilibre le poids ou la puiffance P y eft toûjours à la puiflance R, comme le rayon AN de la roue ou du tambour BNB, à la circonference duquel cette feconde puiffance R eft appliquée, eft an rayon AM du cylindre ou du rouleau CMC, à la circonference duquel l'autre puiffance P eft pareillement appliquée ; c'eft-à-dire, que ces deux puiffances P, R, en équilibre ( Hyp.) entr'elles, font alors entr'elles en raifon reciproque des rayons o des diamètres du rouleau & de la roue, aux circonferences defquelles ces deux puiffances font appliquées.

Y

COROLLAIRE. I›I.

Mais en prenant EA dans ces quatre Fig. 135. 1361 137. 138. & dans les quatre autres Fig. 139. 140.141. 142. c'est-à-dire, dans toutes celles de ce Théoreme-ci, pour le finus total: On fçait ( Déf. 9. Coral. 1.) que les perpendiculaires AM, AN, font les finus des angles AEM, AEN. Donc auffi (Corol. 1.) les puiffances P, R, fuppofées en équilibre, font par tout ici entr'elles en raifon reciproque des finus des angles AEM, AEN, que leurs directions MP, NR, prolongées y font avec celle EA de la charge de l'axe de la Machine, ou de l'appui A, qui exprime cet axe ; c'est-à-dire, le poids ou la puillance Pà la puiffance R, comme le finus de l'angle 'AEN eft au finus de l'angle AEM.

COROLLAIRE IL

Cela se voit encore en ce que la charge de l'appui A étant en ce cas d'équilibre (part. 3.) à chacune des puiffances P, R, comme la diagonale EF du parallelogramme GH eft à chacun de fes côtez EG, EH, qui leur répondent fur leurs directions, c'est-à-dire (en appellant cette charge A) A, P, R., en raison des trois grandeurs EF, EG, EH, ou ( à caufe de EH-GF) en raifon des trois côtez EF, EG, GF, du triangle EGF, ou( Lem. 8..

Corol. 2) en raison des finus de fes angles EGF, EFG, FEG, opposez à ces mêmes côtez, ou bien auffi en raison des finus des angles MEN, AEN, AEM, égaux à ceuxlà, ou leurs complemens à deux droits. Cequi donne, disje, encore en ce cas d'équilibre,

1o. Le poids ou la puiffance Pà la puiffance R, en raifon du finus de l'angle AEN au finus de AEM, ainfi que dans le Corol. 2.

2o. Et confequemment (Def. 9. Corol. 1.) ce poids ou cette puiffance P à la puiffance R, en raifon de AN à AM, ainfi que dans le Corol. 1.

COROLLAIRE IV.

140. 14

1421

Cette raifon de AN à AM, qui peut varier dans le F1 6. 1397 Treüil ou le Vindas des Fig. 139. 140. 141. 142. felon la difference des angles que la direction RN de la puisfance R, y peut faire avec le bras AD ou CD de cette Machine, auquel elle eft appliquée, & felon les differentes distances AR de l'axe ou appui A de cette même Machine au point R d'application de cette puiffance R à ce bras AD le rapport des puiffances P, R, requis Corol. 1. & 3. nomb. 2.) de AN à AM pour y faire équilibre entretr'elles, y peut varier auffi, & confequemment differentes puiffances R differemment appliquées à cette Machine, y peuvent faire équilibre fuccellivement avec le même poids P..

138.

Mais dans le Tour qu'expriment les Fig. 135. 136. F16. 135.5 137. 138. le rapport de AN à AM, n'y pouvant non 136.137 plus changer que ces rayons de la roue & du rouleau de cette Machine tant qu'elle demeure la même, quelques foient d'ailleurs les directions des puiffances P, R, qui y font ou feront appliquées : le rapport de ces puiffances PR,requis (Cor. 1.&3. nomb.2.) pour y faire équilibre entr'elles, n'y peut jamais varier ni changer, quel que changement qu'il arrive à leurs directions; & confequemment le même poids Pappliqué au rouleau de cette Machine, n'y peut jamais être foutenu en équilibre que par une

FIG. 139.

1420

même puiffance R appliquée à la roue de cette même Machine, quelques directions qu'on donne à ces deux puiffances P, R.

COROLLAIR E. V.

Les bras CD du Treüil ou da Vindas des Fig. 139. 140. 141. 140. 141. 142. étant (Hyp.) perpendiculaires à l'axe de fon rouleau, ou à la circonference CMC, qui reprefente ce rouleau, en forte que prolongez ils pafferoient tous par le centre A de ce cercle, lequel centre A exprime ici l'axe de ce rouleau ; fi la puiffance R tire ou pouffe perpendiculairement celui de ces bras auquel elle eft appliquée, c'eft-à-dire, fi elle lui eft appliquée fuivant une direction ER qui lui foit perpendiculaire & dans le plan du cercle CMC; alors AN perpendiculaire (Hyp.) à cette direction ER, tombant fur AR, & fe confondant alors avec ce bras de Treüil ou de Vindas, le Corol. 1. & le nomb. 2. du Corol. 3. font voir qu'en cas d'équilibre, le poids ou la puiffance P fera pour lors à la puiffance R, comme la longueur du bras AR fera au rayon AM du rouleau de cette Machine.

FIG. 135. & fuivantes

COROLLAIRE VI.

Il fuit auffi de la part. 5. pour tous les cas du Tour & du jufqu'à142 Treuil ou du Vindas, que fi les puiffances P, R, y font entr'elles en raifon reciproque des lignes AM, AN, menées de l'appui A perpendiculairement fur les directions MP, NR, de ces puiffances, c'eft-à-dire, fi P. R:: AN AM. il y aura équilibre entre ces mêmes puiffances P, R. Car fi l'on imagine un parallelogramme GH d'une diagonale quelconque EF prife fur la droite EA depuis le point de concours E des directions de ces deux puiffances dans l'angle GEH que ces directions font entr'elles, lequel foit confequemment auffi un angle de ce parallelogramme GH. Le Lemme 8, donnera pour lors EG. EH

AN. AM. (Hyp.):: P. R. Donc la diagonale EF prolongée paffant ainfi ( conftr.) par l'appui A de la Machine,

les puiffances P, R, demeureront par tout ici (part. 5.) en équilibre entr'elles.

En prenant ici AE pour le finus total, le Corol. de la Déf. 9. fait voir que les droites AM, AN, y feront les finus des angles AEM, AEN, que les directions MP,NR, des puiffances P, R, y feront avec cette droite AE. Donc (Corol. 6) lorfque ces deux puiffances P, R, feront entr'elles en raifon reciproque des finus des angles compris entre chacune de leurs directions, & la droite menée de l'appui A de la Machine au concours E de ces directions entr'elles ; ces mêmes puillances P, R, demeureront encore en équilibre fur cet axe ou appui A.

COROLLAIRE VIII.

Il fuit pareillement de chacune des part. 4 5. que fi la charge de l'axe ou appui A, tant du Tour que du Treuil ou du Vindas, réfultante du concours des puiffances P, R, qui y font appliquées, eft à chacune de ces deux puiffances, comme le finus de l'angle MEN compris entre leurs directions prolongées MP, NR, eit au finus de chacun des angles reciproquement pris AEM, AEN, que chacune de ces directions fait avec la droite EA menée de leur concours E à cet appui A ; ces deux puiffances P, R, demeureront en équilibre entr'elles fur cet appui A. Car fi l'on imagine encore le parallelogramme GH fait comme dans le Corol. 6. l'on verra pour lors les finus des angles EGF, FEG, EFG, du triangle EGF être les mêmes que ceux des angles MEN, AEM, AEN; & confequemment (Lem. 8. Corol. 2.) le premier de ces finus-ci être à chacun des deux autres, comme le côté EF de ce triangle EGF eft à chacun de fes deux autres côtez GF, EG, c'est-à-dire ( à cause de EHGF) comme la diagonale EF du parallelogramme GH eft à chacun de fes côtez EH, EG. Mais on fuppofe ici la charge de l'axe ou de l'appui A, résultante du concours des puiffances P,R,