fance F en fait fur lui fuivant la méme ligne, pour ou contre, comme A2, est à AP.

III. Que le furplus de force fuivant AN, AM, des puiffances E, F, fe détruit ou s'empêche toûjours mutuellement.. IV. Qu'enfin le corps EFGH ainfi pouffé par ces deux puiffances E, F, à la fois, parcourra la diagonale AD du parallelogramme BC, ou la valeur de cette diagonale fuivant · fa direction de A vers D, par le concours d'action de ces deux puiffances E, F, dans le même tems que feparément elles lui auroient fait parcourir les côtez correspondans AC, AB, de ce parallelogramme, ou des longueurs équivalentes à ces côn tez fuivant leurs directions de A vers C, B...

DEMONSTRATION..

PART. I. Soient ET, EV, perpendiculaires en T, V,à CN, CQ, prolongées ; & FR, FS, perpendiculaires auffi en R, S, à BM, BP, prolongées, s'il eft necessaire. (Corol. 2. du Lem. 2.) La puiffance E dirigée ( Hyp. ) fuivant EC, fait feule fur le point E du corps EFGH la même impreffion que deux autres puiffances feroient enfemble fur ce point, l'une fuivant EV, l'autre fuivant. ET, à chacune defquelles dirigées fuivant ces lignes, la puiffance E feroit comme EC à chacune de ces mêmes lignes EV, ET. Le corps EFGH reçoit donc en fon point E deux impreffions differentes à la fois de la feule puiffance E: fçavoir, une fuivant EV, ou AQ, d'une force qui eft à celle de cette puiffance E (Lem. 2. Corol. 1.) ::EV.EC:: AQ. AC. Et l'autre fuivant ET ou AN, d'une force qui eft auffi à cette même puiffance E (Lem. 2. Corol. 1.): ET. EC:: AN. AC. On démontrera de même que ce même corps EFGH reçoit en fon point E deux impreffions differentes à la fois de la feule puiffance F: fçavoir, une fuivant FS ou AP, d'une force qui eft à celle de cette puiffance F:: FS. FB:: AP. AB. Et l'autre fuivant FR, ou AM, d'une force qui est auffi à cette même puiffance F:: FR. FB:: AM. AB. Ce qu'il falloit 10. démontrer.

PART. II. Cela étant, fi l'on appelle Q, N, ce que la puiffance E employe ainfi de forces ou fait d'efforts fuivant AQ, AN, fur le corps EFGH; & P,M, ce que la puiflance F en fait de même fur lui fuivant AP, AM; l'on aura ici Q.E:: AQ.AC. Et P. F. :: AP. AB. Donc (en raifon ordonnée entre ces deux dernieres analogies) l'on aura ici P. E:: AP. AC. ou E. P:: AC. AP. Donc auffi (en raison ordonnée entre cette derniere analogie & la premiere de toutes) l'on aura pareillement ici Q. P:: AQ. AP. C'eft-à-dire, fuivant les noms précdens, que ce que la puiffance E employe de force ou fait d'effort (Q) fur le corps EFGH fuivant la diagonale AD, du parallelogramme BC, eft à ce que la puiffance F en fait (P) fur ce corps fuivant la même direction fur ce corps en même fens, ou en fens contraire, comme AQ. eft à AP. Ce qu'il falloit 20. démontrer.

PART. III. La Part. 1. donnant encore fuivant les noms précedens de la Part. 2. N. E:: AN. AC. Et M.F :: AM. AB. La fuppofition qu'on fait ici de F.E:: AB, AC. donnera (en raison ordonnée entre ces deux dernieres analogies) M.E:: AM. AC. ou E. M:: AC. AM. Donc (en raison encore ordonnée entre cette derniere analogie, & la premiere de toutes celles-ci) l'on aura pa-reillement ici Ñ. M:: AN. AM. De forte que les trian-gles (conftr.) femblables APB, DQC, qui ont AB CD, & AB. CD:: BP. CQ:: AM. AN. donnant ainsi AM= AN, donnent auffi MN: c'est-à-dire, les efforts M, N, fuivant AM, AN, des puiffances F, E, non feulement directement contraires, mais encore toûjours égaux entr'eux. Donc (Ax. 3.) ces efforts M, N, fe détruisent ou s'empêchent toûjours mutuellement. Ce qu'il falloit 3° démontrer.

2

PART. IV. Puifque la Part. 2. donne Q. P::AQ: AP. l'on aura aussi Q. Q±P:: AQ. AQAP. Mais on voit dans cette Part. 2. que la Part. 1. donne E. Q:: AC. AQ. Donc (en raison ordonnée) E. Q +P:: AC. AQ✦ AP. Or le parallelogramme BC, & les angles (conftr.)

droits en P, Q, rendant les triangles APB, DQC, femblables & égaux en tout, donnent AP-DQ. Donc auffi E.Q+P:: AC. AQ_± DQ. fçavoir E. CP:: AC. AQ+DQ. AC. AD. dans les Fig. 4. 6. Et E. Q—P :: AC. AQ-DQ:: AC. AD. dans les Fig. 5. 7. Or (Part. 1.2.3.) la fomme +P des forces P, Q, dans les Fig. 4.6.& leur difference Q-P dans les Fig. 5. 7. eit tout ce que les puiffances E, F, dirigées fuivant leurs proportionnelles AC, AB, en impriment par leur concours d'action au corps EFGH. Donc ce corps fera ici pouffé de A vers D fuivant AD par le concours de ces deux puiffances E, F, & d'une force à laquelle elles feront comme les côtez correfpondans AC, AB du parallelogramme ABCD font à la diagonale AD. Donc auffi (Ax. 8.) ce corps EFGH, libre d'ailleurs, parcourra la diagonale AD du parallelogramme BC, ou une longueur équivalente fuivant la même direction de A vers D, par le concours d'action de ces deux puiffances E, F, dans le même tems que chacune d'elles feparément lui auroit fait parcourir les côtez correfpondans AC, AB, de ce parallelogramme, lefquels leur font (Hyp.) proportionnels, ou des longueurs équivalentes fuivant leurs directions de A vers C, B. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

COROLLAIRE I.

le

Des forces égales fuivant les mêmes directions ayant Ax. 2.) les mêmes effets, c'est la même chofe que corps EFGH foit pouffé en fes points E, F, par les puiffances E, F, fuivant EC, FB, ou qu'il foit tiré en fes points G, H, par les mêmes puiffances, ou par d'égales fuivant les mêmes directions GC, HB, Donc foit que ce corps EFGA foit pouffé, ou tiré à la fois vers C, B, fuivant les directions AC, AB, par deux puiffances E, F, ou G, H, qui foient entr'elles comme ces côtez du parallelogramme ABCD.

1. Ces deux puiffances E, F, lui donneront enfemble par leur concours d'action (Part. 4.) une impreflion

ou force de A vers D fuivant la diagonale AD de ce parallelogramme BC, capable de la lui faire parcourir, ou une longueur équivalente en même fens de A vers D, dans le même tems que chacune d'elles feparément lui auroit fait parcourir chacun des côtez AC, AB de ce parallelogramme, lefquels leur font (Hyp.) proportionnels; & confequemment les directions de ces deux puiffances E, F, & de la force résultante de leur concours, feront toutes trois dans un même plan.

2o. Cette force réfultante du concours de ces deux puiffances E, F, ou G, H, à ce corps AFGH fuivant cette diagonale AD du parallelogramme BC, fera donc (Ax. 8) à chacune de ces deux puiffances, comme cette diagonale AD à chacun des côtez correfpondans AC, AB de ce parallelogramme, proportionnels (Hyp.) à ces puiffances, defquelles ils font auffi (Hyp. ) les directions.

3°. Ce que chacune de ces deux puiffances E, F, ou G, H, employe de force ou fait d'effort fuivant cette même ligne AD en même fens dans les Fig. 4. 6. ou en fens contraires dans les Fig. 5. 7. eft (Part. 2.) à chacune d'elles comme chacune des parties AQ, AP, de cette même ligne AD, prolongée dans les Fig. 5.7. est à chacun des côtez. correfpondans AC, AB du parallelogramme ABCD.

4°. Ce que ces deux puiffances E, F, ou G, H, em-ployent de force fur le corps EFGH fuivant AD, étant tout ce que leur concours d'action fur lui leur en laiffe; puifque (Part. 3.) le furplus de ce qu'elles en auroient feparément fuivant AN, AM, se détruit ou s'empêche mutuellement par fon égalité & contrarieté directe: fis l'on arrête ou détruit aufli cette force ou impreffion commune fuivant AD, en lur oppofant directement un ob-stacle invincible, ou du moins qui lui foit égal en quelque point X, où cette direction AD prolongée rencontre le corps E, F, G, H; ces deux puiffances E, F, ou. G, H, demeureront en équilibre entr'elles avec ce corps. en repos fur cet appui X, fans qu'aucune d'elles fe puiffe

faire pancher ou mouvoir d'aucun côté, chacune d'elle fe trouvant alors entierement épuifée de force par une extinction de leurs compofantes fuivant AN, AQ, pour la premiere E ou G de ces deux puiffances, & fuivant AM, AP, pour la feconde F ou H.

5o. Enfin de ce que les efforts de A vers D fuivant AD, des puiffances E, F, font en general (Part. 2.) :: AQ. AP:: :: AQ×AD. AP×AD. Il fuit que fi l'angle BAC des directions de ces puiffances eft droit, par exem→ ple, dans quelqu'une des Fig. 4. 6. un tel angle rendant AC=AQ×AD, & AB=AP-AD, les efforts fuivant AD, de ces deux puiffances E, F, feront auffi pour lors

-2

2

entr'eux :: AC. AB. c'eft-à-dire (nomb. 2.) comme les quarrez de ces mêmes puiffances.

COROLLAIRE II.

Il fuit de ce Corol. 1. nomb. 1. que tant que les dire ations de deux forces ou puiffances qui agiffent enfemble fur un même corps, feront enfemble quelqu'angle entr'elles, ce corps doit fe mouvoir fuivant une troifiéme ligne à travers de cet angle du côté que ces deux forces ou puillances confpirent à le pouffer ou à le tirer, à moins que quelque obftacle ne s'y oppofe comme dans le nomb. 4. de ce Corol. 1. Par confequent s'il arrive que ce corps ainfi pouffé ou tiré demeure en repos, fans que rien d'ailleurs l'empêche d'être mû par le concours d'action des deux puiffances qui le pouffent ou le tirent, il faut,

1°. Que ces deux puiffances foient dirigées fuivant une même ligne droite.

2o. Qu'elles y agiffent en fens contraires ; autrement elles s'accorderoient à le mouvoir fuivant cette ligne.

3°. Qu'elles foient égales entr'elles ; autrement il s'y meuvroit encore (Ax. 5.) dans le fens de la plus forte des deux.

Ainfi lorfqu'un corps pouffé ou tiré par deux forces

à la